Parametrik denklem

Matematikte, bir parametrik denklem, bir grup niceliği parametreler olarak adlandırılan bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonları olarak tanımlar.^[1] Parametrik denklemler genellikle bir eğri veya yüzey gibi geometrik bir nesneyi oluşturan noktaların koordinatlarını ifade etmek için kullanılır ve sırasıyla parametrik eğri ve parametrik yüzey olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda, denklemler, toplu olarak nesnenin parametrik temsili^[2] veya parametrik sistem,^[3] veya parametrelendirilmesi (alternatif olarak parametrelendirme olarak yazılır) olarak adlandırılır.^[1][4][5]

Örneğin,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$$

denklemleri, t parametre olmak üzere birim çemberin parametrik bir temsilini oluşturur: Bir nokta (x, y) birim çember üzerindedir ancak ve ancak t değeri varsa bu iki denklem o noktayı oluşturur. Bazen skaler çıktı değişkenleri için parametrik denklemler vektörler içinde tek bir parametrik denklemde birleştirilir:

$${\displaystyle (x,y)=(\cos t,\sin t).}$$

Parametrik gösterimler genellikle benzersiz değildir (aşağıdaki "İki boyutta örnekler" bölümüne bakın), bu nedenle aynı büyüklükler bir dizi farklı parametrelendirme ile ifade edilebilir.^[1]

Eğriler ve yüzeylere ek olarak parametrik denklemler, parametre sayısı manifoldun veya varyetenin boyutuna eşit olacak şekilde, daha yüksek boyutu olan manifoldları ve cebirsel varyeteleri tanımlayabilir ve denklem sayısı manifold veya varyetenin göz önünde bulundurulduğu uzayın boyutuna eşittir (eğriler için boyut "bir" ve "bir" parametre kullanılır, yüzeyler için boyut "iki" ve "iki" parametre vb.).

Parametrik denklemler genellikle kinematik alanında kullanılır; burada bir nesnenin yörüngesi parametre olarak zamana bağlı denklemlerle temsil edilir. Bu uygulama nedeniyle, tek bir parametre genellikle t olarak etiketlenir; ancak, parametreler diğer fiziksel büyüklükleri (geometrik değişkenler gibi) temsil edebilir veya kolaylık sağlamak için keyfi olarak seçilebilir. Parametrelendirmeler benzersiz ve tek değildir; birden fazla parametrik denklem kümesi aynı eğriyi belirtebilir.^[6]

Kinematikte, nesnelerin uzaydaki yolları genellikle parametrik eğriler olarak tanımlanır ve her bir uzaysal koordinat açıkça bağımsız bir parametreye (genellikle zaman) bağlıdır. Bu şekilde kullanıldığında, nesnenin koordinatları için parametrik denklemler kümesi toplu olarak konum için bir vektör-değerli fonksiyon oluşturur. Bu tür parametrik eğriler daha sonra terimsel olarak integrallenebilir ve türevlenebilir olabilir. Böylece, bir parçacığın konumu parametrik olarak şöyle tanımlanırsa

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,}$$

o zaman hız şu şekilde; $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}}$$

ve ivme de aşağıdaki gibi bulunabilir $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}}$$

Parametrik denklemlerin bir diğer önemli kullanımı bilgisayar destekli tasarım (CAD) alanındadır.^[7] Örneğin, hepsi düzlemsel eğrileri tanımlamak için yaygın olarak kullanılan aşağıdaki üç gösterimi inceleyin.

Tür	Biçim	Örnek	Tanım
Açık	${\displaystyle y=f(x)\,\!}$	${\displaystyle y=mx+b\,\!}$	Doğru
Örtük	${\displaystyle f(x,y)=0\,\!}$	${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}$	Çember
Parametrik	${\displaystyle x={\frac {g(t)}{w(t)}};\,\!}$ ${\displaystyle y={\frac {h(t)}{w(t)}}}$	${\displaystyle x=a_{0}+a_{1}t;\,\!}$ ${\displaystyle y=b_{0}+b_{1}t\,\!}$	Doğru
		${\displaystyle x=a+r\,\cos t;\,\!}$ ${\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}$	Çember

Her bir gösterimin CAD uygulamaları için avantajları ve dezavantajları vardır.

Açık gösterim çok karmaşık olabilir, hatta mevcut olmayabilir. Dahası, geometrik dönüşümler ve özellikle de rotasyonlar altında iyi sonuç vermez. Öte yandan, parametrik bir denklem ve örtük bir denklem açık bir gösterimden kolayca çıkarılabileceğinden, basit bir açık gösterim mevcut olduğunda, diğer iki gösterimin avantajlarına sahiptir.

Örtük gösterimler eğri üzerinde noktalar oluşturmayı ve hatta gerçek noktalar olup olmadığına karar vermeyi zorlaştırabilir. Öte yandan, verilen bir noktanın bir eğri üzerinde olup olmadığına veya kapalı bir eğrinin içinde mi yoksa dışında mı olduğuna karar vermek için çok uygundurlar.

Bu tür kararlar parametrik bir gösterimle zor olabilir, ancak parametrik gösterimler bir eğri üzerinde noktalar oluşturmak ve bunu çizmek için en uygun olanıdır.^[8]

Tam sayı geometrisi alanındaki çok sayıda problem parametrik denklemler kullanılarak çözülebilir. Bu tür klasik bir çözüm Öklid'in dik üçgenleri, kenarlarının a, b ve hipotenüslerinin c uzunlukları aralarında asal tam sayılar olacak şekilde parametrize etmesidir. a ve b çift olmadığından (aksi takdirde a, b ve c çift olmazdı), a çift olacak şekilde değiştirilebilir ve parametrelendirme şu şekilde olur:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}}$$

burada m ve n parametreleri her ikisi de tek olmayan pozitif aralarında asal tam sayılardır.

a, b ve c'yi rastgele bir pozitif tam sayı ile çarparak, üç kenarı tam sayı uzunluğunda olan tüm dik üçgenlerin parametrizasyonunu elde ederiz.

Bir dizi parametrik denklemin tek bir örtük denkleme dönüştürülmesi, t değişkeninin eşzamanlı ${\displaystyle x=f(t),\ y=g(t).}$ denklemlerinden çıkarılmasını içerir. Bu işlem, örtükleştirme (İngilizce: implicitization) olarak adlandırılır. Bu denklemlerden biri t için çözülebilirse, elde edilen ifade diğer denklemde yerine konularak yalnızca x ve y içeren bir denklem elde edilebilir: ${\displaystyle y=g(t)}$ çözülerek ${\displaystyle t=g^{-1}(y)}$ elde edilir ve bu ${\displaystyle x=f(t)}$ içinde kullanılırsa ${\displaystyle x=f(g^{-1}(y)),}$ açık denklemini verirken, daha karmaşık durumlarda ${\displaystyle h(x,y)=0.}$ şeklinde örtük bir denklem elde edilir.

Eğer parametrizasyon,

$${\displaystyle x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}},}$$

rasyonel fonksiyonları tarafından veriliyorsa bir resültant hesaplaması örtükleştirmeye izin verir, burada p, q ve r küme bazında aralarında asal polinomlarıdır. Daha doğrusu, örtük denklem xr(t) - p(t) ve yr(t) - q(t)'nin t'ye göre resültantıdır.

Daha yüksek boyutlarda (ikiden fazla koordinat veya birden fazla parametre), rasyonel parametrik denklemlerin örtükleştirilmesi Gröbner temeli hesaplamasıyla yapılabilir; bkz Gröbner temeli § Yüksek boyutta örtükleştirme.

Yarıçapı a olan çember örneğini ele alırsak, parametrik denklemler;

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{aligned}}}$$

x ve y terimlerinde Pisagor trigonometrik özdeşliği aracılığıyla örtükleştirilebilir.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{aligned}}}$$

değerlerini

$${\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,}$$

özdeşliğinde yerine koyarak

$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,}$$

elde ederiz ve buradan

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$$

bulunur. Bu da orijin merkezli bir çemberin standart denklemidir.

Bir parabol için en basit denklem olan,

$${\displaystyle y=x^{2}}$$

serbest bir parametre t kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

$${\displaystyle x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

elde edilir.

Daha genel olarak, açık bir denklemle verilen herhangi bir eğri,

$${\displaystyle y=f(x)}$$

serbest bir parametre t kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

$${\displaystyle x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

bulunur.

Daha kapsamlı bir örnek ise aşağıdaki gibidir. Sıradan (Kartezyen) denklemle tanımlanan birim çemberi düşünün;

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

Bu denklem aşağıdaki gibi parametrelendirilebilir:

$${\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad \mathrm {for} \ 0\leq t<2\pi .}$$

Kartezyen denklem ile bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol etmek daha kolaydır. Parametrik seçenek ile bir çizim üzerinde noktalar elde etmek daha kolaydır.

Bazı bağlamlarda, eğer varsa, sadece rasyonel fonksiyonları (yani iki polinomun kesirlerini) içeren parametrik denklemler tercih edilir. Çember durumunda, böyle bir rasyonel parametrelendirme şöyledir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

Bu parametrik denklem çifti ile (-1, 0) noktası t'nin gerçek değeri ile değil, t sonsuza yöneldiğinde x ve y'nin limit değeri ile temsil edilir.

Yarı eksenleri a ve b olan kanonik konumdaki bir elips (merkezi orijinde, ana eksen x ekseni boyunca) parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}}$$

Genel konumdaki bir elips şu şekilde ifade edilebilir:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignedat}}}$$

t parametresi 0 ile 2π arasında değişir. Burada (X_c , Y_c) elipsin merkezidir ve φ x ekseni ile elipsin ana ekseni arasındaki açıdır.

Her iki parametrelendirme de tanjant yarım-açı formülü kullanılarak ve

${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

alınarak rasyonel yapılabilir.

Bir Lissajous eğrisi elipse benzer, ancak x ve y sinüzoidler fazda değildir. Kanonik konumda, bir Lissajous eğrisi şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}}$

burada k_x ve k_y şeklin lob sayısını tanımlayan sabitlerdir.

Doğu-batı açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}}$$

veya, rasyonel olarak,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

Kuzey-güney açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}}$$

veya, rasyonel olarak

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

Tüm bu formüllerde (h , k) hiperbolün merkez koordinatları, a yarı büyük eksenin uzunluğu ve b yarı küçük eksenin uzunluğudur. Bu formüllerin rasyonel formlarında, sırasıyla (-a , 0) ve (0 , -a) noktalarının t'nin gerçek bir değeriyle temsil edilmediğine, t sonsuza giderken x ve y'nin limiti olduğuna dikkat edin.

Bir hipotrokoid, r yarıçaplı bir çembere bağlı bir noktanın, R yarıçaplı sabit bir çemberin içinde yuvarlanmasıyla izlenen bir eğridir; burada nokta, iç çemberin merkezinden d uzaklıktadır.

• 
  r = d olan bir hipotrokoid
• 
  R = 5, r = 3, d = 5 olan bir hipotrokoid

Hipotrokoidler için parametrik denklemler şunlardır:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}}$$

Bazı örnekler:

• 
  R = 6 r = 4 d = 1
• 
  R = 7 r = 4 d = 1
• 
  R = 8 r = 3 d = 2
• 
  R = 7 r = 4 d = 2
• 
  R = 15 r = 14 d = 1

Parametrik denklemler yüksek boyutlu uzaylarda eğrileri tanımlamak için uygundur. Örneğin:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$$

yarıçapı a olan ve dönüş başına 2πb birim yükselen üç boyutlu bir eğriyi, helezon tanımlar. Denklemler düzlemde bir çember için olanlarla aynıdır.

Yukarıdaki gibi ifadeler genellikle şu şekilde yazılır:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}}$$

burada r üç boyutlu bir vektördür.

Büyük yarıçapı R ve küçük yarıçapı r olan bir torus, parametrik olarak şu şekilde tanımlanabilir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}}$$

burada t ve u parametrelerinin her ikisi de 0 ile 2π arasında değişir.

• 
  R = 2, r = 1/2

u, 0 ile 2π arasında değişirken, yüzeydeki nokta torustaki delikten geçen kısa bir çember etrafında hareket eder. t, 0 ile 2π arasında değiştikçe yüzeydeki nokta torustaki deliğin etrafında uzun bir çember çizer.

${\displaystyle \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}$ noktasından geçen ve ${\displaystyle a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}$ vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi;^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

şeklindedir.

n bilinmeyenli bir m doğrusal denklem sistemi birden fazla çözüme sahipse eksik belirlenmiştir. Bu durum, sistemin matris ve artırılmış matris aynı rank r'ye sahip ve r < m olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda, m - r bilinmeyenleri parametre olarak seçilebilir ve tüm çözümleri, tüm bilinmeyenlerin seçilenlerin doğrusal birleşimi olarak ifade edildiği parametrik bir denklem olarak temsil eder.

Yani, bilinmeyenler ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ise, çözümleri şu şekilde ifade etmek için bunları yeniden düzenleyebiliriz:^[10]

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\beta _{1}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{1,j}x_{j}\\\vdots \\x_{r}&=\beta _{r}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{r,j}x_{j}\\x_{r+1}&=x_{r+1}\\\vdots \\x_{n}&=x_{n}.\end{aligned}}}$$

Böyle bir parametrik denklem, sistemin çözümünün parametrik formu olarak adlandırılır.^[10]

Çözümün parametrik formunu hesaplamak için standart yöntem, artırılmış matrisin indirgenmiş satır eşelon formunu hesaplamak için Gauss eliminasyonu kullanmaktır. Daha sonra parametre olarak kullanılabilecek bilinmeyenler, herhangi bir başat girdi içermeyen sütunlara karşılık gelenlerdir (yani bir satırdaki veya matristeki en soldaki sıfır olmayan giriş) ve parametrik form doğrudan çıkarılabilir.^[10]

• Eğri
• Parametrik tahmin
• Konum vektörü
• Vektör-değerli fonksiyon
• Yay uzunluğuna göre parametrizasyon
• Parametrik türev

• Curlie'de Graphing Software (DMOZ tabanlı)
• Web application to draw parametric curves on the plane