Parçalı fonksiyon

Parçalı fonksiyon, matematikte tanım aralığı alt aralıklara parçalanan ve her bir alt aralık için farklı bir fonksiyon olarak tanımlanan bir fonksiyon türüdür.

Parçalı fonksiyonlar şu şekilde gösterilir:

  ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x),&x<a{\text{ ise}}\\h(x),&a\leq x<b{\text{ ise}}\\p(x),&b\leq x{\text{ ise}}\end{cases}}}$

f fonksiyonu x'in a'dan küçük olduğu durumlarda g(x), x'in a'ya eşit veya büyük ve b'den küçük olduğu durumlarda h(x) ve x'in b'ye eşit veya küçük olduğu durumlarda p(x) değerini alır.

Parçalı fonksiyona örnek olarak mutlak değer fonksiyonu incelenebilir:

${\displaystyle \left\vert x\right\vert ={\begin{cases}-x,&x<0{\text{ ise}}\\+x,&x\geq 0{\text{ ise}}\end{cases}}}$

f fonksiyonu x'in 0'dan küçük olduğu bütün durumlar için -x değerini, x'in 0'a eşit veya büyük olduğu bütün durumlar için +x değerini alır.

Aşağıdaki şartları sağlayan parçalı fonksiyonlara parçalı sürekli denir;

1) Parçalı fonksiyonun alt aralıklarında tanımlanan fonksiyonlar sürekli olmalıdır.

2)Alt aralıkların uç noktalarında sağdan ve soldan limit bulunmalıdır.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x),&x<a{\text{ ise}}\\h(x),&a\leq x<b{\text{ ise}}\\p(x),&b\leq x{\text{ ise}}\end{cases}}}$

f parçalı fonksiyonunun parçalı sürekli olabilmesi için x'in a'da küçük olduğu bütün durumlar için g(x) sürekli, x'in a'ya eşit veya büyük ve b'den küçük olduğu durumlarda h(x) sürekli ve x'in b'ye eşit veya küçük olduğu durumlarda p(x) sürekli olmak zorundadır.

Parçalı sürekli için şu örnek incelenebilir:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2,&x<1{\text{ ise}}\\x+5,&x\geq 1{\text{ ise}}\end{cases}}}$

Sabit fonksiyonlar sürekli olduğu için x'in 1'den küçük olduğu durumlarda 2 fonksiyonu süreklidir. Buna ek olarak x+5 fonksiyonu da x'in 1'e eşit veya büyük olduğu durumlarda süreklidir. f parçalı fonksiyonu her iki alt aralıkta da sürekli olduğu için parçalı süreklidir.

Bir parçalı fonksiyonun içerdiği alt fonksiyonlar tanımlandıkları açık aralıklarda türevlenebilirse bu parçalı fonksiyona parçalı türetilebilir denir.^[1]

Parçalı türetilebilir için ${\displaystyle sin\left\vert x\right\vert }$ örneği incelenebilir:

${\displaystyle sin\left\vert x\right\vert ={\begin{cases}-sin(x),&{\text{-π}}\leq x\leq 0{\text{ ise }}\\sin(x),&0\leq x\leq {\text{ π }}{\text{ ise}}\end{cases}}}$

-sin(x) fonksiyonu [-π,0] aralığına türevlenebilirdir ve türevi -cos(x) fonksiyonudur. sin(x) fonksiyonu [0,π] aralığına türevlenebilirdir ve türevi -sin(x) fonksiyonudur. O zaman, ${\displaystyle sin\left\vert x\right\vert }$ fonksiyonu parçalı türetilebilirdir.