Parçacık istatistiği

Parçacık istatistiği, çoklu parçacıklar istatistiksel mekaniğinin özel tanımıdır. Ana kavram, istatistiksel veriler aracılığıyla ayrı parçacıkların parametreleri belirlenirken, büyük sistemin özelliklerinin bir bütünmüş gibi vurgulanmasıdır. Veri grubu benzer özellikler gösteren parçacıklar içerdiğinde, bu parçacıkların numaraları parçacık numarası olarak adlandırılır ve “N” ile gösterilir.

Klasik istatistiksel mekaniğinde sistemdeki bütün parçacıklar (ana ve bileşik parçacıklar, atomlar, moleküller, elektronlar vb.) ayırt edilebilir olarak düşünülür. Bu sistemdeki her bir taneciğin işaretlenebileceği ve izlenebileceği anlamına gelir. Sonuç olarak, herhangi 2 taneciğin sistemde yerinin değişmesi, bütünüyle farklı bir sistem düzenine sebep olur. Ayrıca sisteme ulaşılabilir bir durum verildiğinde birden fazla taneciğin sistemde yer almasında herhangi bir sınırlama yoktur. Klasik istatistik Maxwell – Boltzman İstatistiği olarak adlandırılır.

Kuantum mekaniğini klasik istatistikten ayıran ana özellik, parçacıkların parçacık çeşidinin birbirlerinden ayırt edilebilmesidir. Bu durum benzer parçacıklar içeren bir birleşmede, iki parçacığın değişimi sistemde yeni bir düzene neden olmamaktadır. (Kuantum mekaniğinde bu durum, sistemin dalga fonksiyonunun değişen parçacıklara göre belirli bir aşamaya kadar sabit olması olarak açıklanır.) Sistemin farklı tip parçacıklara sahip olduğu durumda (örneğin proton ve elektron gibi) sistemin dalga fonksiyonu, birleşen iki parçacık için farklı olmak üzere belirli bir aşamaya kadar sabittir.

Taneciğin uygun tanımı onun basit hatta çok ufak olduğunu gerekli kılmaz ancak düşünülen fiziksel problemle alakalı serbestlik derecelerinin (ya da iç durumlarının) bilinmesini gerekli kılar. Bütün kuantum parçacıkları (lepton ve baryon gibi) evrende 3 dönüştürülebilir hareket (dalga fonsiyonlarıyla ifade edilir) ve 1 ayrı (spin olarak bilinen) serbestlik derecesine sahiptir. Gittikçe karmaşık hale gelen parçacıklar, devamlı olarak daha fazla sayıda içsel serbestlik (örneğin atomda çeşitli kuantum numaraları gibi) elde ederler ve özdeş parçacıkların oluşturduğu bir grubun içsel durumlarının sayısı onların parçacık numalarının büyümesini önlediğinde, kuantum istatistiğinin etkisi göz ardı edilebilir hale gelir. Bu yüzden Helyum sıvısı ya da Amonyak gazı (onların molekülleri büyüktür ancak akla uygun sayıda içsel duruma sahiptirler) düşünüldüğünde kuantum istatistiği kullanışlıdır fakat makro moleküllerin oluşturduğu sistemler için kullanışsızdır.

Klasik istatistik ve kuantum istatistiğinin sistem tanımlarının arasındaki bu fark bütün kuantum istatistikleri için temel olmasına karşın, kuantum parçacıkları sistem simetrisine dayanan 2 sınıfa daha ayrılır. Dönme – istatistik teoremi, 2 özel çeşitin birleşimsel simetrisi ile 2 özel çeşitin dönme simetresini (bozon ve fermion olarak adlandırılan) birleştirir.

Bose-Einstein istatistiğinde (B-E istatistiği) karşılıklı değişen herhangi 2 parçacık sistemin son durumundan simetrik bir durumda ayrılırlar. Başka bir deyişle, değişimden önceki sistemin dalga fonksiyonuyla, değişimden sonraki sistemin dalga fonksiyonu birbirine eşittir.

Sistem dalga fonksiyonunun kendi kendine değişmediğini vurgulamak önemlidir. Bu, sistemin durumu üzerinde önemli sonuçlar doğurur: parçacıkların yer aldığı bir durumda (sisteme erişimde) parçacık sayısında herhangi bir sınırlama yoktur. Bose-Einstein istatistiğine uyan parçacıkların, tam sayıda dönülere sahip olduğu bulunmuştur ve sonuç olarak bunlar bozon (Bose'dan sonra adlandırılmıştır) olarak isimlendirilmiştir. Bozon örnekleri, foton ve Helyum-4 (atom ve çekirdek bir arada) içerirler. B-E istatistiğine uyan sistem çeşitlerinde birisinde, bütün parçacıkların birleşmesi aynı durumda gerçekleşir.

Fermi – Dirac istatistiğinde karşılıklı değişen herhangi 2 parçacık sistemin son durumundan asimetrik bir durumda ayrılırlar. Başka bir deyişle, değişimden önceki sistemin dalga fonksiyonuyla, değişimden sonraki sistemin dalga fonksiyonu bütünüyle birbirlerinin eksi işaretlisidir.

B-E istatistiğinde olduğu gibi sistem dalga fonksiyonunun kendi kendine değişmez. Fermi – Dirac istatistiğindeki negatif işaret aşağıdaki yolla anlaşılabilir:

Karşılıklı değişen parçacıkların aynı duruma ait olduğu farz edilir çünkü parçacıkların birbirlerinden ayırt edilemediği düşünülür ve parçacıkların koordinatlarının değişmesinin sistemin dalga fonksiyonunda herhangi bir değişime yol açmaması gerekir (çünkü varsayımımıza göre parçacıklar aynı durumdadır). Bu sebeple, benzer koşulların değişiminden önceki dalga fonksiyonuyla, benzer koşulların değişiminden sonraki dalga fonksiyonu birbirine eşittir.

Yukarıdaki cümleyle, Femi – Dirac sisteminin asimetrisinin birleştirilmesi, değişimden önceki sistemin dalga fonksiyonunun 0'a eşit olduğu sonucunu çıkartmamıza neden olur.

Bu durum gösterir ki, Fermi – Dirac istatistiğinde 1'den fazla parçacık sisteme erişme durumunu meydana getiremez. Buna “Pauli’nin dışarıda bırakma prensibi” adı verilir.

Parçacıkların yarı-tamamlayıcı dönülerinin (ya da fermiyonları) Fermi – Dirac istatistiğine uyum gösterdiği ortaya çıkarılmıştır. Bu fermiyonlar elektron, proton, Helium-3 vb. (atom ve çekirdek ile birlikte) içerirler.