Otoregresif hareketli ortalamalar modeli

Otoregresif hareketli ortalamalar modelleri (İngilizce:"autoregressive moving averages (ARMA) models"), istatistik biliminde George Box ve Gwilym Jenkins'e ithafen Box-Jenkins modelleri olarak da bilinen zaman serisi kestirimi ve öngörme yöntemi olup eşit zaman aralıklarında gözlenen zaman serisi verilerinde uygulanır.

X_t şeklinde bir zaman serisi verisi (datası) verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle p otoregresif kısmın derecesi, q ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA(p,q) modeli şeklinde gösterilir.

AR(p) ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR(p) modeli şöyle gösterilir:

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}X_{t-i}+\epsilon _{t}.\,}$

${\displaystyle \phi _{1},\ldots \phi _{p}}$, modelin parametrelerini; ${\displaystyle c}$, sabit terimi; ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ₁| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir.

AR(1) süreci:

${\displaystyle X_{t}=c+\phi X_{t-1}+\epsilon _{t},\,}$

şeklinde tanımlanır. ${\displaystyle \epsilon _{t}}$, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ varyanslı bir süreçtir. Eğer, ${\displaystyle |\phi |<1}$ sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer ${\displaystyle \phi =1}$ sağlanıyorsa süreç birim kök içermektedir ve durağan olduğu söylenemez. ${\displaystyle \phi =1}$ durumu aynı zamanda rassal yürüyüş olarak da bilinen özel bir durumdur. Bu özel durumda ${\displaystyle X_{t}}$ için "beklenen değeri" hesaplamak mümkün değildir.

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}X_{t-i}+\epsilon _{t}.\,}$

denklemi ile verilen bir AR(p) modeli ${\displaystyle \phi _{i}}$ parametrelerine dayanır. Bu parametreler Yule-Walker denklemleri ile hesaplanır:

${\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}\gamma _{m-k}+\sigma _{\epsilon }^{2}\delta _{m}}$

m = 0...p olup sonuçta p+1 tane denklem ortaya çıkar. ${\displaystyle \gamma _{m}}$, X'in otokorelasyon fonksiyonu olup ${\displaystyle \sigma _{\epsilon }}$ girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. δ_m ise Kronecker Delta Fonksiyonu'nu gösterir.

Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\gamma _{1}\\\gamma _{2}\\\gamma _{3}\\...\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\gamma _{-2}&...\\\gamma _{1}&\gamma _{0}&\gamma _{-1}&...\\\gamma _{2}&\gamma _{1}&\gamma _{0}&...\\...&...&...&...\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\phi _{3}\\...\\\end{bmatrix}}}$

m=0 için bütün ${\displaystyle \phi }$ler elde edildiğinde.

${\displaystyle \gamma _{0}=\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}\gamma _{-k}+\sigma _{\epsilon }^{2}}$

ifadesi ortaya çıkar ki bu ${\displaystyle \sigma _{\epsilon }^{2}}$ değerini bulmamızı sağlar.

MA(q) ifadesi, q. dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,}$

θ₁, ..., θ_q modelin parametreleridir ε_t, ε_t-1,... modelin hata terimleridir. Bundan açıktır ki "hareketli ortalamalar" modelinde belirli bir zaman noktasındaki bir zaman serisi değişkeninin değeri (yani t'de X_t değeri) q tane daha önceki her bir zaman noktasıda yapılan hataların (yani her t zaman noktası için i gecikmeli ε_<t-i hatasının) ağırlıklı olarak bileştirilmesi ile açıklanmaktadır.

Bu model, AR(p) and MA(q) modellerinin bir birleşimidir,

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,}$

şeklinde gösterilir.

Model sadece AR(p) ile kurulursa "Yule-Walker denklemleri" çözüm için yeterli olacaktır ARMA(p,q) şeklinde bir model kurulduğunda ise önce p ve q değerlerinin kaç olacağına karar verilir, yâni kaç adet gecikmeli değişken kullanılacağı önem kazanır. Genelde p ve q'nun küçük seçilmesi tavsiye edilir. p ve q sayıları seçildikten sonra ise model en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilebilir.

• Box, George Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel ve Lon-Mu Liu (2009), Time Series Analysis, 4.ed.. Pearson Education, ISBN 0-13-147142-2 (İngilizce)
• Mills, Terence C. ve Raphael N. Markellos (2008) The Econometric Modelling of Financial Time Series 3.ed. Cambridge:Cambridge University Press. ISBN 0-521-71009-X (İngilizce)