Ortak bölen

Matematikte, sıfır olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayının en büyük ortak böleni, tam sayıların hepsini de bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin; 8 ve 12’nin ebob’u 4’tür.^[1][2]

En büyük ortak bölen aynı zamanda en büyük ortak faktör (ebof),^[3] en yüksek ortak faktör (eyof)^[4] ile de isimlendirilir.

A ve B iki tam sayı ise, en büyük ortak bölenleri ebob(A,B) şeklinde gösterilir. A, B, C ve D tam sayılarının en büyük ortak böleni ise ebob(A,B,C,D) şeklinde gösterilir.

54 ve 24'ün en büyük ortak böleni nedir?

54 sayısı, iki tam sayının çarpımı şeklinde ifade edilebilir:

${\displaystyle 54\times 1=27\times 2=18\times 3=9\times 6}$

Böylece 54’ün bölenleri: ${\displaystyle 1,2,3,6,9,18,27,54}$

Benzer şekilde 24’ün bölenleri ise: ${\displaystyle 1,2,3,4,6,8,12,24}$

Bunların en büyüğü 6'dır. Yani 54 ve 24'ün en büyük ortak böleni

${\textstyle ebob(54,24)=6}$ olur.

Örneğin ${\displaystyle 24\times 60}$ dikdörtgen bir alan yandaki görseldeki gibi bir ızgaraya bölünebilir: 1'e 1 kare, 2'ye 2 kare, 3'e 3 kare, 4'e 4 kare… 6'ya 6 kare… 12x12 kare. Bu nedenle 12 sayısı 24 ve 60'ın en büyük ortak bölenidir.

Böylece 24x60 bir dikdörtgen alan, bir kenarı (24/12 = 2) iki kare ve diğer kenarı (60/12 = 5) beş kare olan 12x12‘lik bir ızgaraya bölünebilir.

En büyük ortak bölen, kesirleri en küçük sayılara indirgemede yararlıdır.^[5] Örneğin 42 ve 56 sayılarının en büyük ortak böleni yani ebob(42, 56) = 14’dür bu nedenle 42/56 kesiri şu şekilde 3/4’e indirgenir:

${\displaystyle {\frac {42}{56}}={\frac {3\cdot 14}{4\cdot 14}}={\frac {3}{4}}.}$

İki tam sayının sıfır olmayan en küçük ortak katsayısı, bu sayıların en büyük ortak böleninden şu bağıntı kullanılarak hesaplanır:

${\displaystyle \operatorname {ekok} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {ebob} (a,b)}}.}$

İki sayının asal çarpanlarını bulup sonra bu çarpanları karşılaştırarak En büyük ortak bölenleri (EBOB) hesaplanabilir. Örneğin ebob(48, 180) hesaplamak için önce 48 ve 180 sayılarının şu asal çarpanları buluruz;

48 = 2⁴ · 3¹ ve 180 = 2² · 3² · 5¹.

Bu durumda Venn şemasında gösterildiği gibi EBOB sayısı;

2^min(4,2) · 3^min(1,2) · 5^min(0,1) = 2² · 3¹ · 5⁰ =12’dir.

Karşılık gelen En küçük Ortak Kat (EKOK) sayısı ise 2^max(4,2) · 3^max(1,2) · 5^max(0,1) = 2⁴ · 3² · 5¹ = 720’dir.

^[6]

Bu yöntem yalnızca küçük sayılar için uygundur çünkü sayıları asal çarpanlarına ayırma çok uzun sürer.

• Ortak kat