İçeriğe atla

Oran testi

Jean le Rond d'Alembert

Matematikte oran testi, terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir

serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen d'Alembert's oran testi olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in n sonsuza giderken limiti temsil ettiği

sayısını kullanmaktadır.

Oran testi şunu ifade etmektedir:

  • L < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
  • L > 1 ise, seri ıraksaktır.

Eğer L = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır.

Örnekler

Yakınsayan

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

=

Bu yüzden, , 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.

Iraksayan

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

=

Bu yüzden, , 1'den büyük olduğu için seri ıraksaktır.

Sonuçsuz

ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela,

serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani

Diğer taraftan,

serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine

Sonuç olarak,

şartlı yakınsaktır ama

L=1 ve Raabe testi

Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder:

ise ve

ifadesini sağlayan pozitif bir c varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4. baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Limit</span> Sayıların ucu

Limit kelimesi Latince Limes ya da Limites 'den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamındadır. Öklid ve Arşimet tarafından eğrisel kenarlara sahip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır. Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibniz'in eserlerinde görülmüştür. Mesela, diferansiyel hesapta bir eğri sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sahip bir çokgen olarak kabul edilir. Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pek çok fizik probleminin kolayca ele alınmasını sağlar.

Seri, bir dizi olmak üzere toplamı. Bir seri kısaca şeklinde gösterilir. Bir serinin bütün terimleri pozitifse, seriye pozitif terimli seri, negatifse negatif terimli seri; bir pozitif bir negatif ise almaşık seri veya alterne seri adı verilir. , , , ..., toplamlarına serinin kısmi toplamları, dizisine de kısmi toplamlar dizisi denir. Bir seri dizisi olarak da tanımlanabilir. Bu dizi yakınsak ise seri de yakınsaktır.

<span class="mw-page-title-main">Dizi</span> aynı tip elemanların sıralı listesi (sonlu veya sonsuz)

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

<span class="mw-page-title-main">Zeta dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

Matematikte bazen doğrudan karşılaştırma testi adı da verilen karşılaştırma testi, terimleri gerçel veya karmaşık sayılar olan bir serinin yakınsak veya ıraksak olup olmadığını anlamak için kullanılan bir ölçüttür. Yakınsaklık özelliği bilinen bir serinin terimleri ile yakınsaklığı belirlenmek istenen serinin terimleri karşılaştırılır.

Matematikte Abel testi sonsuz bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test matematikçi Niels Abel'e ithafen bu şekilde isimlendirilmiştir. Abel testinin farklı iki çeşidi vardır – birisi gerçel sayıların serileriyle kullanılır; diğeri ise karmaşık analizdeki kuvvet serileriyle kullanılır.

Almaşık seri testi, matematikte sonsuz bir serinin yakınsaklığını göstermek için kullanılan bir yöntemdir. Gottfried Leibniz tarafından keşfedildiği için Leibniz ismiyle de atfedilir.

Matematikte Dirichlet testi, bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir ve matematikçi Johann Dirichlet'nin arkasından isimlendirilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">İntegral testi</span>

Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14. yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir.

<span class="mw-page-title-main">Kök testi</span>

Matematikte kök testi bir sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır.

Matematikte terim testi, ıraksaklık testi veya ıraksaklık için n'inci terim testi bir sonsuz serinin ıraksaklığını belirlemenin basit bir yöntemidir:

<span class="mw-page-title-main">Harmonik seriler</span>

Harmonik seri ıraksak bir seridir, harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Geometrik seri</span> (sonsuz) geometrik dizilişin toplamı

Matematikte geometrik seri art arda gelen iki terimi arasında sabit bir oran bulunan seridir. Örneğin,

Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi Yunanca: γ (gama) ile gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Kuvvet serisi</span>

Matematikte kuvvet serisi

Matematikte, bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı negatif olmayan bir gerçel sayı veya ∞ olan bir niceliktir. Verilen bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı serinin yakınsak olduğu bölgeyi gösterir. Bu yakınsaklık yarıçapının içinde kalan bölgede, kuvvet serisi mutlak yakınsak ve aynı zamanda tıkız yakınsaktır. Seri yakınsak ise, o zaman bu seri bir analitik fonksiyonun bu yakınsaklık yarıçapının belirlediği bölgenin içinde kalan bölgede yakınsayan bir Taylor serisidir.

<span class="mw-page-title-main">Dizinin limiti</span>

Matematikte, bir dizinin limiti, dizinin terimlerinin yaklaştığı değerdir. Eğer böyle bir limit varsa diziye yakınsak denir. Yakınsamayan diziye ıraksak denir. Bir dizinin limiti, analizin nihai olarak dayandığı temel kavram olarak görülür.

Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan hipergeometrik fonksiyonlar matematik, fizik, mühendislik ve olasılıkta karşımıza çıkar.

Matematikte eğer bir serinin terimlerinin mutlak değerlerinin toplamı yakınsak ise bu seri mutlak yakınsak olur. Daha iyi anlatmak gerekirse, gerçek veya karmaşık bir seri olan serisinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan serisi yakınsak ise bu seri mutlak yakınsaktır. Benzer şekilde eğer bir fonksiyonun has olmayan integrali,, yine bu fonksiyonun mutlak değerinin integrali olan sağlanır ise bu integral mutlak yakınsaktır.

Matematikte bir seri veya integral mutlak yakınsak olmayıp halen yakınsak ise koşullu yakınsak olur.