Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ üzerinde pozitif veya sıfır değerleri alır;
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ üzerinde integral değeri bulunabilir;
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx=1}$ koşuluna uyar, yani eğri altındaki tüm alan bire eşittir.

Xin a ve b değerleri arasındaki olasılık, yani ${\displaystyle P(a<X\leq b)}$ şu ifade kullanılarak hesaplanır:

${\displaystyle P\left(a<X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f\left(x\right)\,dx}$

Yani olasılık değeri f(x) integralini ${\displaystyle P(a<X<b)}$ f(x) fonksiyonunu X=a ve X=b değerleri arasında entegrasyonu ile elde edilir.

Örneğin: X rassal değişkeninin [4.3,7.8] aralığında olasılık şöyle bulunur:

${\displaystyle \Pr(4.3\leq X\leq 7.8)=\int _{4.3}^{7.8}f(x)\,dx.}$

Bu maddenin başlangıcında verilmiş olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımın bir sürekli dağılım ile ilişkili değişkenin [a; b] aralığı ile ilişkili çift-değerli ayrık değişkenler seti kullanılarak yapılmıştır.

Diğer bazı aralıklı rassal değişkenleri temsili, Dirac delta fonksiyonu aracılığı ile olasılığın yoğunluğun bulunması suretiyle de yapılabilir. Örneğin, bir çift-değerli her biri ½ olasılığı olan -1 ve 1 değerli bir rassal değişken ele alınsın. Bu değişkenle ilişkili olasılık yoğunluğu şöyle verilir:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}$

Daha genel olarak, eğer bir ayrık değişken reel sayılar arasından 'n' tane değişik değer alınsın; o halde bunlarla ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

${\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}\,\delta (t-x_{i}),}$

Burada ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ değişken ait değerler olur ve ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ bu değerlerle ilişkili olasılıklardır.

Bu ifade bir ayrık değişken için istatistiksel özellikleri (örneğin ortalama, varyans, çarpıklık, basıklık) sürekli dağılım için geliştirilmiş formülleri kullanarak hesaba başlayarak sonuçların bulunmasını sağlar.

Bir olasılık dağılımı için yoğunluk fonksiyonu ancak ve ancak yığmalı dağılım fonksiyonu F(x) mutlak süreklilik gösteriyorsa mümkündür. Bu halde F için nerede ise her yerde türev bulunabilir ve F için alınan birinci türev olasılık ile yoğunluk şöyle bulunur:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)}$

Eğer bir olasılık dağılım için yoğunluk bulunması mümkün ise rassal değişken için her bir nokta değer (a) için olasılık 0 olacaktır.

Her olasılık dağılımı için bir yoğunluk fonksiyonu bulunamaz. Başta ayrık rassal değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu yoktur. Hiçbir noktaya pozitif olasılık vermeyen, yani hiç aralık parçası olmayan Kantor dağılımı için de yoğunluk fonksiyonu bulunmaz.

Bir yığmalı dağılım fonksiyonunun türevi ile olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki ilişkinin karmaşık matematik biçimlerden biraz aranmış açıklaması istatistiksel fizik dalında geliştirilmiştir ve bu genellikle olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımı olarak kullanılabilir. Bu tanım şöyle yapılır:

dt sonsuz derece küçük bir sayı olarak alınsın. ${\displaystyle X}$in (t, t + dt) aralığında bulunacağı ${\displaystyle f(t)\,dt}$ ifadesine eşittir; yani

${\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt~}$

Sürekli X rassal değişkeni için ninci momenti E(Xⁿ) gösterilip şu ifade ile verilir:

${\displaystyle E(X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f_{X}(x)\,dx,}$

Beklenen değer o zaman birinci moment olup şöyle verilir:

${\displaystyle E\left(X\right)=\int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx}$

Varyans ise şöyle verilir:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=E(X-E(X))^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-E(X))^{2}f_{X}(x)\,dx}$

Bu ifade açılırsa

${\displaystyle V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left[E\left(X\right)\right]^{2}}$

olur.

Sürekli rassal değişkenler olan ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ için, bu değişkenlerinin tümünü kapsayan rassal vektör için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Buna ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir. n değişkenli bu yoğunluk fonksiyonu matematik notasyon biçimleriyle şöyle tanımlanır. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ değişkenlerin değerleriyle tanımlanan n-boyutlu uzayda bulunan herhangi bir D sahası alınsın; bu değişken setinin D sahası içine düşen bir realizasyonun bulunacağının olasılığı şöyle verilir:

${\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{N}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{N})\,dx_{1}\cdots dx_{N}.}$

i=1, 2, …,n için tek bir değişken ${\displaystyle X_{i}}$ ile ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu ${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})}$ olarak ifade edilsin. Bu olasılık yoğunluğu ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ rassal değişkenlerle ilişkili olasılık yoğunluklarından n - 1 tane diğer değişkenlerle entegrasyonu suretiyle elde edilir:

${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}}$

Sürekli rassal değişken olan ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ birbirlerinden bağımsız olmaları için

${\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{N})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}$

koşuluna tam olarak uymaları gerekir.

Eğer n elemanlı bir rassal değişken vektörünün ortak olasılık dağılımı tek bir değişken için n değişik fonksiyona faktörize edilebilirse; yani

${\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),}$

ise, o halde, n değişkenin hepsi birbirlerinden bağımsızlık gösteriyor demektir. Bu halde her bir fonksiyon için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:

${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(y_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}$

Çoklu boyutlu olasılık yoğunluk fonksiyonlarının verilen tanımını biraz daha açığa kavuşturmak için basit bir örneğin alınsın; bu iki bilinmeyenli bir rassal vektör olsun. Koordinatları ${\displaystyle (X,Y)}$ olan iki boyutlu rassal vektör, ${\displaystyle {\vec {R}}}$ olarak isimlendirilsin. Pozitif x ve pozitif y kuadrantları içinde ${\displaystyle {\vec {R}}}$ için olasılık elde etmek şöyle

${\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}$

olur.

• de Laplace, Pierre Simon (1812). Théorie Analytique des Probabilités. 

fr: İlk defa olasılık kuramı ile değişkenler hesabını bileştiren temel eser.

• Kolmogorov, Andrei Nikolajevich (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung. 

de:Olasılık kuramının ilk defa modern ölçü-teorisi temeline konulması. İngilizce tercümesi Foundations of the Theory of Probability olarak 1950de yayınlanmıştır.

• Olasılık dağılımı
• Olasılık kütle fonksiyonu
• Rassal değişken