| İstatistik dizisinin bir parçası |
| Olasılık teorisi |
|---|
 |
|
|
|
|
Olasılık uzayı rastgele oluşan durumlar içeren bir deney ortamı sunan matematiksel uzaydır. Ele alınacak durum ya da deneye özgüdür.
Olasılık uzayı şu üç kısımdan oluşmaktadır:
)
Uzay Yarışı, Amerika Birleşik Devletleri ile Sovyetler Birliği arasında 20. yüzyılın ikinci yarısında gerçekleşen resmî olmayan uzay rekabetidir. Kökeni, II. Dünya Savaşı'ndan sonra iki ülke arasında balistik füze temelli nükleer silahlanma yarışına dayanmaktadır. Uzaya uydu, roket ve sonda yollamak, insan göndermek; Ay'a insan indirmek gibi çabalar içermektedir. Bu yarış, aynı zamanda ABD ile SSCB arasındaki Soğuk Savaş'ın (1947–1991) bir parçasıdır. Uzay Yarışı, yapay uyduların öncü fırlatmalarını, Ay'a, Venüs'e ve Mars'a yollanan robotik uzay sondalarını ve alçak Dünya yörüngesinde ve nihayetinde Ay'da insanlı uzay uçuşunu getirmiştir.
Fantastik Dörtlü, Marvel Comics tarafından yayımlanan bir hayalî karakterler topluluğudur. Yaratıcıları Stan Lee ve Jack Kirby'dir. İlk Fantastik Dörtlü çizgi romanı 1961 yılının kasım ayında yayımlanmıştır. Türkiye'de ise 1 Nisan 1988 yılında Alfa yayınları tarafından orijinal 190'ıncı sayıdan itibaren Fantastik Dörtlü adıyla yayınlanmaya başlanmıştır.
Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.
Bir olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Değerler olay için mümkün olan tüm sonuçları kapsamalıdır ve olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır. Örneğin, bir rassal olay olarak madeni paranın tek bir defa havaya atılıp yere düşmesi ele alınsın; değerler 'yazı' veya 'tura' veya bunlar isimsel değişken ölçeğinde ifade edilirse 0 (yazı) veya 1 (tura) olur; olasılıklar ise her iki değer için ½ olacaktır. Böylece madeni bir paranın tek bir defa atılma olayı için iki değer ve ilişkili iki olasılık bu rassal olayın olasılık dağılımı olur. Bu dağılım ayrık olasılık dağılımıdır; çünkü sayılabilir şekilde ayrı ayrı sonuçlar ve bunlara bağlı olan pozitif olasılıklar vardır.
Matematik bilim dalında bir bozulmuş dağılım desteği sadece tek bir noktadan oluşan bir ayrık rassal değişken için bir olasılık dağılımıdır. Bu rassal değişken için örnekler her iki tarafı da yazı olan özel bir madeni disk veya her altı yüzü de aynı sayıyı gösteren özel bir zar olabilir. Örneklerden de görülebildiği gibi, bu türlü rassal değişken günlük yaşantıya göre hiç rastgelelik niteliği taşımamaktadır; ancak matematik bilimi içinde bulunan rassal değişken tanımlama özelliklerinin hepsini tatmin etmektedir.
Olasılık teorisi ya da ihtimaliyet teorisi rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır. Olasılık teorisinin ana ögeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuç büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.
Olasılık kuramı içinde bir olasılık dağılımı eğer bir olasılık kütle fonksiyonu ile karakterize edilmiş ise ayrık olarak anılır. Böylelikle bir rassal değişken olan X için dağılım ayrık ise o zaman X bir ayrık rassal değişken olarak bilinir. Bu halde
Bayes teoremi, olasılık kuramı içinde incelenen önemli bir konudur. Bu teorem bir rassal değişken için olasılık dağılımı içinde koşullu olasılıklar ile marjinal olasılıklar arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu şekli ile Bayes teoremi bütün istatistikçiler için kabul edilir bir ilişkiyi açıklar. Bu kavram için Bayes kuralı veya Bayes savı veya Bayes kanunu adları da kullanılır.
Olasılık kuramı bilim dalında bir olasılık kütle fonksiyonu bir ayrık rassal değişkenin olasılığının tıpatıp belli bir değere eşit olduğunu gösteren bir fonksiyondur. Olasılık kütle fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonundan farklıdır; çünkü olasılık yoğunluk fonksiyonu yalnızca sürekli rassal değişkenler için tanımlanmış olup doğrudan doğruya olasılık değerini vermezler. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun bir belli değer aralığı için integrali alınırsa bu rassal değişkenin belirlenen değer aralığı için olasılığını verir.
Olasılık teorisinde Kolmogorov aksiyomları, temel üç aksiyomdur. Belirli bir E olayı için P olasılığı varken matematik notasyonla 
Olasılık kuramı bilim dalında matematiksel beklenti veya beklenen değer veya ortalama birçok defa tekrarlanan ve her tekrarda mümkün tüm olasılıklarını değiştirmeyen rastgele deneyler sonuçlarından beklenen ortalama değeri temsil eder. Bir ayrık rassal değişkennin alabileceği bütün sonuç değerlerin olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Bir sürekli rassal değişken için rassal değişken ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpımının aralığı belirsiz integralidir. Fakat dikkat edilmelidir ki bu değerin genel pratik anlamla rasyonel olarak beklenmesi pek uygun olmayabilir, çünkü matematiksel beklentiin olasılığı çok düşük belki sıfıra çok yakın olabilir ve hatta pratikte matematiksel beklenti bulunmaz. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki değerler ağırlık katsayıları verilen olasılık kütle fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
Olasılık kuramında bir olayın meydana gelme olasılığı 1 ise bu olay neredeyse kesin olarak gerçekleşir. Kavramın ölçü kuramındaki "neredeyse her yerde" söz öbeği ile koşut olduğu düşünülmektedir. Neredeyse kesin ve kesinlikle her ne kadar basit olasılık deneylerinde aynı anlama gelse de, bu deyişler sonsuzluk kavramının kullanıldığı karmaşık durumlar için farklı anlamlar içermektedir. Bu terimin kullanıldığı başlıca konular sonsuz zaman, düzenlilik özellikleri ve işlev uzaylarını da içine alan sonsuz boyutlu uzaylardır. Kavram, büyük sayılar yasası ve Brown hareketinin sürekliliğinde de kullanılmaktadır.
Olasılık kuramında Borel–Cantelli önermesi olay dizilerine ilişkin bir savdır. Ölçü kuramının bir sonucu olan önerme Émile Borel ve Francesco Paolo Cantelli'ye adanmıştır.
Olasılık kuramında olay, kendisine bir olasılık değeri atanan sonuç kümesine verilen addır. Örnek uzayın sonlu olması durumunda bu kümenin herhangi bir altkümesi bir olay oluşturmaktadır. Ne var ki, bu yaklaşım örnek uzayın sonsuza uzandığı durumlarda işe yaramamaktadır. Bu nedenle, olasılık uzayı tanımlamalarında örnek uzayın bazı altkümeleri göz önüne alınmaz.
Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır. Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır.
Matematiğin vektör uzaylarıyla ve bu uzayların üzerinde tanımlı operatörlerle uğraşan bir alt dalı. Kökleri fonksiyon uzayları kuramının geliştirilmesine; hatta diferansiyel ve integral denklemlerinin çalışılmasına kadar gitmektedir. Özelde mesela Fourier dönüşümü gibi fonksiyon dönüşümlerinin çalışılmasında da kullanılmıştır. Fonksiyonel kelimesinin ilk kullanımı varyasyonlar hesabına kadar takip edilebilir. Ancak, genel anlamda kullanımı İtalyan matematikçi ve fizikçi Vito Volterra'ya atfedilmektedir. Yine de temeli büyük ölçüde Stefan Banach ve çevresindeki Polonyalı matematikçiler tarafından atılmış ve geliştirilmiştir. Çağdaş anlamda, fonksiyonel analiz bir topolojiye sahip vektör uzaylarının çalışılmasında, özellikle sonsuz boyutlu uzaylarda, gözükmektedir. Tanımdan yola çıkılarak fonksiyon analizinin sonlu boyutlu uzaylar kuramını da içerdiği düşünülebilir; ancak bu uzayları bir topolojisi olmadan inceleyen alan doğrusal cebirdir. Fonksiyonel analizin önemli bir işlevlerinden biri de ölçü, integral ve olasılık kuramı gibi genel kuramları sonsuz boyutlu uzaylara yaymaktır ki bu işlevin özelde adı sonsuz boyutlu analizdir.
Çifte doğrusallık, matematik'te, çiftdoğrusal işlemci her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.
Matematikte, bir uzay belirli bir matematiksel yapıya sahip bir kümedir.
Uzay, nesnelerin ve olayların göreceli konuma ve yöne sahip olduğu sınırsız üç boyutlu bir boyuttur. Modern fizikçiler genellikle zamanla, uzay-zaman olarak bilinen sınırsız dört boyutlu bir sürekliliğin parçası olduğunu düşünmesine rağmen, fiziksel alan genellikle üç doğrusal boyutta düşünülür. Mekan kavramının fiziksel evrenin anlaşılması için temel öneme sahip olduğu düşünülmektedir. Bununla birlikte, filozoflar arasında kendisinin bir varlık mı, varlıklar arasındaki ilişkinin mi yoksa kavramsal çerçevenin bir parçası mı olduğu konusunda anlaşmazlık devam eder.
Örnek uzayı, bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesidir. (S) ile gösterilir. Örnek uzayın bir elemanına örnek veya örnek nokta denir. Deneme, birden fazla sonucun mümkün olduğu süreç ve prosedürdür. Örnek uzayı, bir denemenin S sembolü ile gösterilir. Örnek uzay, olası mümkün olan tüm deney sonuçlarından oluşan bir küme düzeneğidir. Deney, teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa ve birden fazla tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen ve olası sonuçların iyi tanımlandığı bir süreçten oluşur. Deney sonuçlarından her birine veya bir kısım özellikleri taşıyan deney sonuçları kümesine de olay adı verilir.Örnek uzayın her bir alt kümesine olay adı verilir. Alt küme olan örnek uzaya kesin olay, boş kümeye ise olanaksız olay denir. Eleman sayısı sonluysa “sonlu örnek uzay” denir. S uzayında olaya karşı gelen sayı bu sayıların toplamı 1'e eşitse ve eksi değilse S'ye “sonlu uzay” denir. S uzayında sayıların tümü eşit ise “eş olumlu örnek uzay” denir. Eş olumlu örnek uzayın olma olasılığı, uygun sonuçların sayısına oranıdır.
