Okamoto-Uchiyama şifreleme sistemi

Okamoto–Uchiyama kriptosistemi, 1998'de T. Okamoto ve S. Uchiyama tarafından bulundu. Sistem ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ kümesinde çalışır, n p²q ya eşittir ve p ve q büyük asal sayılardır.

Çoğu açık anahtarlı kriptosistemler gibi, bu sistemde ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ kümesinde çalışır. Bu kriptosistemin temel farkı n in p²q ya eşit olması, bu p ve q sayılarının büyük asal sayı olmalarıdır. Bu sistem homomorfik ve bununla birlikte kolay biçimlendirilebilirdir.

Homomorfik, iki tane şifreli sayının toplamının iki sayının ayrı ayrı elde edilmesine gerek kalmadan deşifre edilebilmesinin sağlanmasıdır.

Bir açık/gizli anahtar çifti aşağıdaki gibi oluşturulur:

• p ve q olarak iki büyük asal sayı bulunur ve ${\displaystyle n=p^{2}q}$ denkleminde n hesaplanır.
• Öyle bir sayı olsun ki ${\displaystyle g\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ bu denklem sağlanabilsin ${\displaystyle g^{p}\neq 1\mod p^{2}}$.
• Son olarak h = gⁿ mod n hesaplanır.

Bu şekilde açık anahtarımızı (n, g, h) ve gizli anahtarımızı (p, q) çarpanları olarak elde ediyoruz.

m mesajını şifrelemek için, m ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ de bir öğe olarak alınır.

• Rastgele bir ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ seçin. Denklemi hesaplayın.

${\displaystyle C=g^{m}h^{r}\mod n}$

Fonksiyonumuz bu olsun;

${\displaystyle L(x)={\frac {x-1}{p}}}$,

deşifrelemek için gereken fonksiyon;

${\displaystyle m={\frac {L\left(C^{p-1}\mod p^{2}\right)}{L\left(g^{p-1}\mod p^{2}\right)}}\mod n}$

Bütün mesajın güvenliği n'in asal çarpanlarına ayrılmasına bağlıdır.

• Okamoto, Tatsuaki; Uchiyama, Shigenori (1998). "A new public-key cryptosystem as secure as factoring". Advances in Cryptology — EUROCRYPT'98. Lecture Notes in Computer Science. 1403. Springer. ss. 308-318. doi:10.1007/BFb0054135.