Nyquist’i̇n kararlılık kriteri

Nyquist'in kararlılık kriteri, Bell Telefon Laborauarlarında çalışan İsveç kökenli Amerikan bir elektrik mühendisi olan Harry Nyquist Bell tarafından 1932 yılında keşfedilen, bir dinamik sistemin kararlılığını araştırmaya yarayan bir yönteme ‘’’Nyquist'in Kararlılık Şartları’ denir. Bu kriter Kararlılık teorisinde ve Kontrol teorisinde kullanılmaktadır. Bu metodu uygulayabilmek için yalnızca açık sistem fonksiyonunun Nyquist grafiğini bilmek gerektiğinden, kapalı yahut açık sistemin kutup ve sıfırları tam olarak bilinmese dahi bu yöntem uygulanabilir. Diğer bir ifadeyle bu yöntemin uygulanabilmesi için sistemin matematiksel modeli bilinmesine gerek yoktur; sistemin sadece frekans cevabı kullanılarak kararlılığına Nyquist metoduyla bakılabilir. Dolayısıyla sağ yarı düzlemde tekillik olan transfer fonksiyonlarına hatta rasyonel olmayan transfer fonksiyonlarına bu yöntem uygulanabilir. Üstelik bu yöntem çok giriş çıkışlı sistemler üzerinde kullanılacak şekilde genellenebilir.

Nyquist kriteri geribeslemeli sistemlerin tasarımı ve analizinde elektrik ve kontrol mühendisleri tarafında sıklıkla kullanılan bir yöntemdir. Bu kriter oldukça genel kullanımı olan bir kararlılık testi olmasına rağmen kullanım yalnızca doğrusal zamanda değişmeyen(LTI) sistemlerle sınırlıdır. Doğrusal olmayan sistemlerin kararlılığı Lyupanov kriteri, çember şartı gibi karmaşık yöntemlerle test edilir.

Açık çevirim transfer fonksiyonu $G(s)$ , geribesleme transfer fonksiyonu $H(s)$ olan bir sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu ${\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}$ olur. Sistemin kararlılığın belirleyen şey de $1+G(s)H(s)$ ifadesini sıfır yapan değerlerdir. Nyquist şartları frekans değiştikçe sistemin kararlılığının nasıl değiştiğini gösterir

Cauchy'nin Argüman Prensibi

Nyquist kriterleri kompleks analizdeki argüman prensibi üzerine kurulmuştur. Argüman prensibi şunu söyler:

Önbilgi: s-düzleminde bir yönü olan kapalı çizgiye kontür denir. $\Gamma _{s}$ ile gösterilir. Herhangi bir sürekli F(s)fonksiyonu s- düzlemindeki bir kontürü F(s)-düzleminde başka bir kontöre - $\Gamma _{F}(s)$ - çevirecektir.

s-düzleminde çizili F(s)'in kutup ya da sıfırlarının üzerinden geçmeyen bir kontür, F(s)- düzleminde orijini $N=Z-P$ kere çevreler. Burada F(s)'in s-düzlemindeki kontürün içinde olan kutup sayısı P, sıfır sayısı Z dir. Örneğin F(s) = N(s)/D(s)'in bütün kökleri ve sıfırları kontürün içinde kalmışsa N(s) polinomunun kök sayısı Z'yi, D(s) polinomunun kök sayısı P'yi ifade eder.

Argüman Prensibinin Kararlığı Test İçin Kullanılması

Yukarıda kararlılığın frekansla değişimini araştıracağımızı söylemiştik. 1+G(s)H(s) ifadesinin sıfır olduğu an kararlılığın bittiği noktadır. Dolayısıyla 1+GH ifadesinin sıfırlarını (Z) araştırmalıyız. Bu ifadeyi 1+KN/D şekline yazabiliriz. O halde:

$1+G(s)H(s)=1+{\frac {KN(s)}{D(s)}}={\frac {D(s)+KN(s)}{D(s)}}$

$F(s)=D(s)+KN(s)/D(s)$

Sitemin kararlı olması için F(s) polinomunun sağ yarı-düzlemde sıfır yapan değer bulunmamalıdır. Bu yüzden kararlılığı test etmek için bütün sağ yarı-düzlemi kapsayan bir kontör çizip Z'nin sıfır olup olmadığına bakarız. D(s) polinomunun kontör içindeki kökleri P'yi verir. D(s) +KN(s)'in kökleri olan Z'yi araştırmaktayız. N'yi bulursak Z'yi bulabiliriz.

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.

Matematikte, Laplace dönüşümü, zaman tanım kümesinde tanımlı bir fonksiyonu, frekans tanım kümesinde tanımlı bir başka fonksiyona dönüştürmek amacıyla kullanılır.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

\text{[math]}

Köklerin yer eğrisi, kontrol teorisinde, bir kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarının sistemin $\text{[math]}$ kazancına göre değişimini gösteren çizimlerdir.

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zⁿ 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin adıyla adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

Karmaşık analizdeki kalıntı teoremi veya bilinen bir diğer adıyla rezidü teoremi, analitik fonksiyonların kapalı eğriler üzerindeki çizgi integrallerini bulmak için kullanılan önemli bir araçtır ve ayrıca sık bir şekilde gerçel integralleri bulmak için de kullanılır. Cauchy integral teoremini ve Cauchy integral formülünü genelleştirir.

Matematikte bir çizgi integrali, integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır.

Karmaşık analizde kalıntı veya rezidü, bir meromorf fonksiyonun bir tekillik etrafındaki çizgi integrallerinin davranışını açıklayan bir karmaşık sayıdır. Kalıntılar oldukça kolay bir şekilde hesaplanabilir ve bilindiklerinde kalıntı teoremi sayesinde çok karışık gerçel integrallerin belirlenmesi yolunu açarlar.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

<span class="mw-page-title-main">Kök (matematik)</span>

Matematikte gerçel, karmaşık veya daha genel bir anlamda vektör değerli bir fonksiyonun kökü, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan ve fonksiyonun 0 değerini aldığı noktalardır. Yani, eğer bir V kümesinden bir W vektör uzayına tanımlı bir fonksiyonu

\text{[math]}

Z dönüşümü, matematikte ve sinyal işlemede bir dönüşüm. Zaman tanım kümesinde gerçel ve sanal bileşenleri olan herhangi bir ayrık işareti, frekans tanım kümesindeki biçimine dönüştürür.

Matematikte, tetrasyon, üslü sayıdan sonra gelen ilk aşırı işlecin tekrarlı üssüdür. Tetrasyonun İngilizce karşılığı olan tetration kelimesi ilk kez matematikçi Reuben Louis Goodstein tarafından, tetra- (dört) ve iteration (tekrar)dan türetilerek kullanılmaya başlandı. Tetrasyon çok büyük sayıların gösterimi için kullanıldı. Fakat birkaç pratik uygulaması vardır. Bu yüzden sadece saf matematik incelenir. Burada aşırı işlecin ilk dört örneğin gösteriliyor. Tekrasyon dördüncüsüdür:

toplama
Normal bilinen toplama işlemi.
çarpma
$\text{[math]}$
genellikle temel işlemlerden birini ifade eder. Fakat doğal sayılar gibi özel durumlar için kendine n kere eklenen a olabilir.
üs alma
$\text{[math]}$
a nın kendisi ile n kere çarpılması.
tetrasyon
$\text{[math]}$
a 'nın kendisiyle n kere üssünün alınması.

Matematiksel analizde son değer teoremi (SDT), frekans domeni ile ilgili bir ifadenin zaman domenindeki davranışının sonsuza yakınsak zamandaki karşılığı olan bir teoremdir. Bir son değer teoremi, frekans domeni ifadesine bir sınır koyarak doğrudan hesaplanması için zaman domeni davranışını belirler. Zaman domeni ifadesine dönüştürüldüğünde bazı sınır değerler alır.

\text{[math]}

Fourier optiği dalgaların yayılma ortamını kendisinin doğal modu olduğunu kabul etmek yerine, belirli bir kaynağa sahip olmayan düzlemsel dalgaların üstdüşümlerin olarak addeden Fourier dönüşümlerini kullanan klasik optiğin bir çalışma alanıdır. Fourier optiği, dalgayı patlayan bir küresel ve fiziksel olarak Green's fonksiyon denklemleriyle tanımlanabilen tanımlanabilen ve bu kaynağından dışarıya ışıma yapan dalganın üstdüşümü olarak adddeden Huygens-Fresnel prensibinin ikizi olarak da görülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Bézout teoremi</span> aciklama

Bézout teoremi, cebirsel geometride $n$ değişkenli $n$ polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.