Normlu vektör uzayı

Matematikte normlu vektör uzayı gerçel ya da karmaşık sayılar üzerinde tanımlanmış ve bir norm fonksiyonuna sahip olan vektör uzayıdır. norm fonksiyonu uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.

Normlu uzaylar ve normlu uzayların en temel örneklerinden biri olan Banach uzayları, fonksiyonel analizin yapı taşlarıdır.

Tanım

Bir $\mathbb {K}$ cismi ( $\mathbb {R}$ ya da $\mathbb {C}$ olabilir) üzerinden tanımlanmış bir $V$ vektör uzayı üzerinde tanımlanmış gerçel değerler alan bir $\lVert \cdot \rVert :V\to \mathbb {R}$ fonksiyonuna aşağıdaki özellikleri sağladığı takdirde norm adı verilir:

Negatif olmamalık özelliği: Her $x\in V$ için, $\;\lVert x\rVert \geq 0$ .
Kesin pozitiflik özelliği: Bir $x\in V$ için $\;\lVert x\rVert =0$ ise, bu ancak ve ancak $x$ sıfır vektörüyse olabilir.
Mutlak homojenlik özelliği: $\lambda \in \mathbb {K}$ ve $x\in V$ ise, $\lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert$
Üçgen eşitsizliği: Her $x,y\in V$ için, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

O zaman, $V$ vektör uzayı ve bu uzay üzerinde tanımlanmış bir norm fonksiyonu çiftine normlu vektör uzayı denir ve $(V,\lVert \cdot \rVert )$ ile gösterilir. Sadece bir tane vektör uzayından bahsediliyorsa veya norma vurgu yapmaya gerek yoksa, $(V,\|\cdot \|)$ yerine sadece $V$ normlu vektör uzayıdır biçiminde kullanım da mevcuttur ve bu uzay sadece $V$ ile gösterilir.

Norm fonksiyonu üzerinden $d(x,y):=\|y-x\|$ biçiminde tanımlanan bir fonksiyon bir metrik olur. Bu metriğe, norm tarafından doğurulmuş metrik denir. Bu metrik sayesinde, her normlu vektör uzayı aynı zamanda bir metrik uzayıdır ve yine bu yüzden topolojik vektör uzayıdır. Eğer bu metrik uzay üstelik tamsa, o zaman bu normlu uzaya Banach uzayı adı verilir. Her Banach uzayı normlu bir uzaydır; ancak, nun tersi doğru değildir. Yine de, normlu vektör uzayları bir Banach uzayına genişletilebilir. Bu Banach uzayı ise biriciktir.

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Hiperbolik sayılar</span>

Gerçel sayılarda olmayan ve karesi 1 olan bir sayının kümeye katılmasıyla üretilen kümeye hiperbolik sayılar kümesi denir. Tıpkı karmaşık sayılarda olduğu gibi, hiperbolik sayılar $\text{[math]}$ şeklinde yazılabilen sayılardır, ancak karmaşık sayılardan tek farkı hiperbolik birim denilen sayının

\text{[math]}

Vektör uzayı veya Yöney uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesnelerin (vektörlerin) uzayına verilen isimdir. Daha resmî bir tanımla, bir vektör uzayı, iki elemanı arasında vektör toplamasının ve skaler denilen sayılarla çarpımın tanımlı olduğu ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. Skalerler, rasyonal veya reel sayılar kümesinden gelebilir, ama herhangi bir cisim üzerinden bir vektör uzayı oluşturmak mümkündür. Vektör uzayları, skalerlerin geldiği cisime göre reel vektör uzayı, kompleks vektör uzayı veya genel bir cisim üzerinden K vektör uzayı şeklinde adlandırılır.

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir D bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır. Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır.

Metrik uzay, üzerinde bir uzaklık fonksiyonu tanımlanmış vektör uzayıdır. metrik uzay, boş olmayan bir X cümlesi ve bir uzaklık fonksiyonu olup d'den oluşan bir ikilidir.

Matematikte Hilbert uzayı, sonlu boyutlu Öklit uzayında uygulanabilen lineer cebir yöntemlerinin genelleştirilebildiği ve sonsuz boyutlu da olabilen bir vektör uzayıdır. Daha kesin olarak, bir Hilbert uzayı, uzayın tam metrik uzay olmasını sağlayan bir uzaklık fonksiyonu üreten bir iç çarpımla donatılmış bir vektör uzayıdır. Bir Hilbert uzayı, bir Banach uzayının özel bir durumudur. Matematik, fizik ve mühendislikte sıkça kullanılmaktadır. Kuantum mekaniğiyle uyumludur. Adını David Hilbert'ten almaktadır.

Paillier şifrelemesi , 1999’da Pascal Paillier tarafından geliştirilen olasılıksal açık anahtarlı şifreleme yöntemidir. n’inci kök sınıflarını hesaplamanın zorluğunu kullanan Paillier şifreleme sistemi, kararsal bileşik kök sınıfı varsayımı üzerine kurulmuştur. Sistem, toplama işlemine göre homomorfik özellik gösterir; yani sadece açık anahtarı, $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ ’nin şifrelemesini kullanarak $\text{[math]}$ ’nin şifrelenmiş hâli hesaplanabilir.

Matematikte Öklid uzayı, Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayıdır ve bu kavramlar, çok boyutlu olarak genelleştirilir. “Öklid” terimi bu uzayları, Öklid geometrisi olmayan eğimli uzaydan ve Einstein'nın genel görelilik kuramından ayırt eder. Bu adı Yunan matematikçi Öklid'den dolayı almıştır.

Matematik'te L^p uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz tarafından Bourbaki grubu Bourbaki 1987 olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue Dunford & Schwartz 1958, III.3, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını L^p uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

18. yy. ve sonrasında geliştirilmiş, genellikle vektörel mekanik olarak nitelendirilen ve orijinalinde Newton mekaniği olarak bilinen analitik mekanik, klasik mekaniğin matematiksel fizik kaynaklarıdır. Model harekete göre analitik mekanik, Newton’un vektörel enerjisinin yerine, hareketin iki skaler özelliği olan kinetik enerjiyi ve potansiyel enerjiyi kullanır. Bir vektör, yön ve nicelik ile temsil edilirken bir skaler, nicelik ile(yoğunluğu belirtirken) temsil edilir. Özellikle Lagrange mekaniği ve Hamilton mekaniği gibi analitik mekanik de, sorunları çözmek için bir sistemin kısıtlamalarının ve tamamlayıcı yollarının kavramını kullanarak klasik mekaniğin kullanım alanını etkili bir şekilde yapılandırır. Schrödinger, Dirac, Heisenberg ve Feynman gibi kuram fizikçileri bu kavramları kullanarak kuantum fiziğini ve onun alt başlığı olan kuantum alan teorisini geliştirdiler. Uygulamalar ve eklemelerle, Einstein’a ait kaos teorisine ve izafiyet teorisine ulaşmışlardır. Analitik mekaniğin çok bilindik bir sonucu, modern teorik fiziğin çoğunu kaplayan Noether teoremidir.

Matematikte, bir uzay belirli bir matematiksel yapıya sahip bir kümedir.

Doğrusal cebirde, germe verilen bir $\text{[math]}$ vektör kümesini kapsayan en küçük doğrusal altuzaydır. $\text{[math]}$ 'yi içeren tüm doğrusal altuzayların kesişimi veya $\text{[math]}$ 'nin elemanlarının doğrusal kombinasyonlarının kümesi olarak tanımlanabilir. Dolayısıyla, bir vektör kümesinin germesi bir vektör uzayıdır. Germeler matroidlere ve modüllere genelleştirilebilir.

Matematiksel analizde, M metrik uzay olmak üzere, elemanları M 'de olan her Cauchy dizisinin yine M'de bir limiti varsa,veya alternatif olarak, M'deki her Cauchy dizisi yine M'de yakınsaksa M metrik uzayına tam denir.

Lineer cebirde, taban, bir vektör uzayını tanımlamak için yeterli vektör kümesidir. Bir $V$ vektör uzayının alt kümesi $B$ bu uzayın tabanıysa, $V$ 'nin tüm elemanları $B$ 'nin elemanlarının biricik sonlu doğrusal birleşimleri şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal birleşimlerin katsayıları, vektörün $B$ üzerindeki bileşenleri ya da koordinatları olarak adlandırılır. Taban $B$ 'nin elemanlarına taban vektörleri denir.

Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde, tam normlu vektör uzayılarına Banach uzayı denir. Tanımı gereği, Banach uzayı, vektör uzunluğunun ve vektörler arasındaki mesafenin hesaplanmasına vesile olan bir metriğe sahip bir vektör uzayıdır ve bu metrik uzayda herhangi bir Cauchy vektör dizisinin her zaman uzayın içinde kalan ve iyi tanımlanmış bir limiti olması anlamında tamdır.

Matematikte, bir càdlàg fonksiyon, gerçek sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlı ve bu tanım kümesinin her noktasında sağdan sürekli, soldan limitli olan bir fonksiyondur. Cadlàg fonksiyonlar, özellikle sıçramaları olan stokastik süreçlerin incelenmesinde önemlidir. Bir tanım kümesi üzerindeki càdlàg fonksiyonların kümesine Skorokhod uzayı denir.

Matematikte Radon-Nikodym teoremi, aynı ölçülebilir uzayda tanımlanmış iki ölçü arasındaki ilişkiyi ifade eden bir sonuçtur. Burada ölçü ile kastedilen ölçülebilir bir uzayın ölçülebilir alt kümelerine tutarlı bir büyüklük atayan bir küme fonksiyonudur. Ölçü örnekleri arasında alan ve hacim verilebilir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.