Newton'un evrensel kütleçekim yasası

Newton'un evrensel çekim yasası (klâsik mekaniğin bir parçasıdır) aşağıdaki gibi ifade edilir;

Her bir noktasal kütle diğer noktasal kütleyi, ikisini birleştiren bir çizgi doğrultusundaki bir kuvvet ile çeker. Bu kuvvet bu iki kütlenin çarpımıyla doğru orantılı, aralarındaki mesafenin karesi ile ters orantılıdır:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

Burada:

• F iki kütle arasındaki çekim kuvvetinin büyüklüğü,
• G Evrensel çekim sabiti 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2 ,
• m₁ birinci kütlenin büyüklüğü,
• m₂ ikinci kütlenin büyüklüğü,
• r ise iki kütle arasındaki mesafedir.

SI birimlerinde, F Newton (N), m₁ ve m₂ kilogram(kg), r Metre (m) dir ve G sabiti yaklaşık olarak 6.67×10⁻¹¹ N m² kg⁻²’a eşittir. G ilk kez İngiliz bilim insanı Henry Cavendish tarafından, "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica"nın basımından 111 ve Newton’un ölümünden 71 yıl sonra ölçülmüştür; bu yüzden Newton’un hesaplamalarının hiçbirinde “G” sabiti kullanılmamış, bunun yerine bir kuvvete bağıl başka bir kuvvet hesaplamıştır.

Newton'un çekim yasası Coulomb yasası'na benzer. Newton'un yasası iki kütle arasındaki çekim kuvvetini hesaplamak için kullanılırken, benzer şekilde, Coulomb yasası yüklü iki iletkenin arasındaki elektriksel kuvvetin büyüklüğünü hesaplamak için kullanılır. Coulomb yasası'nun denkleminde Newton'un denklemindeki kütlelerin yerine yüklerin çarpımını içerir. Böylece Coulomb yasası'na göre elektriksel kuvvet yüklerin çarpımının aralarındaki mesafeye bölümüyle doğru orantılıdır.

a₁'e birinci kütleye etkiyen yerçekimi ivmesi diyelim. Newton'un ikinci yasasına göre F = m₁ a₁, a₁ = F / m₁'dır. Fi önceki denklemden yerine koyarsak:

${\displaystyle a_{1}=G{\frac {m_{2}}{r^{2}}}}$ olur.

Aynı şekilde a₂'de buna benzerdir.

SI birimlerinde, yerçekimi ivmesi (veya genel olarak ivme), metrenin saniyenin karesine oranıdır (m/s² or m s⁻²). SI olmayan birimlerde ise birimi Galileo (Gal), g-kuvveti (İng. İngilizce: g-force), ayak bölü saniyenin karesidir.

Bir kütleyi Dünya'ya çeken kuvvet, aynı zamanda Dünya'yı da kütleye doğru çeker. Bunların ivmeleri ise aşağıdaki gibi hesaplanır:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}=G{\frac {m_{1}+m_{2}}{r^{2}}}}$

Eğer m₁ m₂'ye göre göz ardı edilebilirse, küçük kütleler yaklaşık olarak aynı ivmeye sahip olur. Bununla beraber m₁ epeyce büyükse birleşik ivme göz önüne alınmalıdır.

Eğer r bir objenin yörüngesi boyunca oransal olarak çok az değişirse – bir objenin Dünya'nın yüzeyine yakın bir yerde düşmesi gibi – yerçekimi ivmesi sabite oldukça yakın olur. Büyük bir kitle boyunca, “r”deki değişiklikler ve yer çekimi kuvvetindeki ardı ardına değişiklikler gözle görülür bir gel-git kuvveti oluşturabilir. Örneğin, Dünya'nın yakın ve uzak yüzleri ile Ay arasındaki mesafe farkı 6.350 km dir. 385.000 km ortalama mesafeye göre küçük bir fark olsa da bu, Ay'ın Dünya'nın okyanusları üzerinde bir çekim kuvveti oluşturmasını ve böylece gelgit oluşumuna sebep olur.

Eğer ilgilenilen kütlelerin uzaysal boyutu varsa (teorik olarak noktasal olmaktan ziyade) o zaman aralarındaki çekim kuvveti, bu kütleleri oluşturan kavramsal noktaların katkılarının toplanmasıyla hesaplanır. Limitte bileşen nokta kütleler sonsuz derecede küçüldükçe, kuvvetin (aşağıda vektör formu görülüyor) iki fiziksel kütlenin boyutlarına oranlarının integrali gerekir.

Bu yolla kütlesi küresel olarak simetrik dağılmış kütle, haricî kütlelere tüm objelerin kütleleri merkezindeki bir nokta etrafında toplanmış gibi aynı çekim etkisini uygular.^[1] (Bu, genellikle küresel simetrik olmayan kütleler için geçerli değildir.)

Küresel simetrik dağılımlı bir malzemenin içindeki kütlelerin çekimsel kuvvetini bulmak için Newton’un kabuk teoremi (İng. İngilizce: Shell’s theorem) kullanılabilir. Bu teorem, bize kütle dağılımının farklı parçalarının kütle dağılım merkezinden r₀ kadar uzaktaki bir parçayı nasıl etkilediklerini açıklar:

• r < r₀ yarıçapında bulunan kütle, r₀’da sanki kütlenin tamamı bu yarıçapta bir küredeki tüm kütlenin kütle dağılımı merkezinde toplanmış gibi aynı kuvvete sebep olur (yukarıda yazıldığı gibi).
• r > r₀ yarıçapında bulunan kütle r₀’ da net çekim kuvveti oluşturmaz. Örneğin, r₀ noktasındaki kürenin elementleri tarafından etkilenen münferit kuvvetler birbirlerini götürürler.

Örneğin, bir sonuç olarak, eşit dağılan bir kalınlık ve yoğunluğa sahip olan bir kabuk boyunca net çekim kuvveti sıfırdır.

Newton'un evrensel çekim yasası, hem çekim kuvvetinin büyüklüğünü hem de doğrultusunu gösteren bir vektör olarak yazılabilir. Bu formülde kalın yazılar vektörleri göstermektedir:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-G{m_{1}m_{2} \over {\vert \mathbf {r} _{12}\vert }^{2}}\,\mathbf {\hat {r}} _{12}}$

Burada

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}:}$ 1 numaralı cismin 2 numaralıya uyguladığı kuvvet,

${\displaystyle G}$: çekim sabiti (yerçekimi sabiti olan g ile karıştırılmamalı),

${\displaystyle m_{1}}$ ve ${\displaystyle m_{2}}$ sırasıyla birinci ve ikinci objelerin kütleleri,

${\displaystyle \vert \mathbf {r} _{12}\vert \ =\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }$ 1 ve 2 objeleri arasındaki mesafe,

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} _{12}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}{\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }}}$ ise 1’inci objeden 2.’ye olan birim vektördür.

Eşitliğin vektörel formunun, F nin artık vektörel bir değer olması ve sağ tarafın uygun birim vektörle çarpılmış olması haricinde, daha önceden verilen skaler formla aynı olduğu görülebilir. Ayrıca buradan şu da görülebilir: F₁₂ = - F₂₁.

Çekim alanı uzayda verilen herhangi bir noktadaki objeye, birim kütle başına uygulanan çekim kuvvetini tanımlayan vektör alanıdır. Aslında bu o noktadaki çekim ivmesine eşittir.

Eğer birden fazla obje varsa(dünya ve ay arasındaki bir roket gibi) kullanışlı hale gelen bir genelleştirmedir. İki obje için(örneğin obje 2 bir roket ve obje 1 de dünya olsun) basitçe ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}}$ yerine ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ve ${\displaystyle m_{2}}$ yerine ${\displaystyle m}$ yazabiliriz ve çekim alanını${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )}$ aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}} }$

Böylece:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} )}$ olur.

Bu formül alana sebep olan objelerden bağımsızdır. Bu alan ivme birimlerine sahiptir ve bu da SI birimlerinde m/s²'dir.

Çekim alanları aynı zamanda korunumlu alanlardır, yani, bir pozisyondan öbürüne çekim tarafından yapılan iş yoldan bağımsızdır. Bunun sonucunda potansiyel aşağıdaki gibi potansiyel V(r) alanı oluşur:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )}$.

Eğer m₁ noktasal bir kuvvet ise veya homojen dağılmış bir kütle ise, kürenin dışındaki kuvvet alanı g(r) izotropiktir (yönden bağımsızdır), örneğin, sadece kürenin merkezinden olan r mesafesine bağlıdır. Bu durumda;

${\displaystyle V(r)=G{\frac {m_{1}}{r}}.}$

Newton'un tanımı birçok pratik amaç için yeterli şekilde doğrudur ve bu yüzden geniş şekilde kullanılır. Boyutsuz değerler φ/c² ve (v/c)'nin ikisi de küçük olduğunda kullanılabilir, burada φ çekimsel potansiyel, v incelenen objelerin hızı ve c ışık hızıdır. Örnek olarak, Newtonien çekim Dünya/Güneş sisteminin doğru bir tanımını sağlar, çünkü;

${\displaystyle {\frac {\Phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {gunes} }}{r_{\mathrm {yorunge} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad {\frac {v_{\mathrm {yer} }}{c}}={\frac {2\pi r_{\mathrm {yorunge} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\sim 10^{-4}}$

burada r_orbit dünyanın güneş etrafındaki yörüngesinin yarıçapıdır.

Boyutsuz değişkenlerden biri büyük olduğu durumlarda, sistemi tanımlamak için genel görelilik kullanılmalıdır. Genel görelilik, küçük potansiyel ve düşük hız sınırlarında Newton'un çekime dönüşür bu yüzden, Newton'un çekim yasası için sıklıkla genel göreliliğin düşük çekim limiti denir.

• Çekim arabulucusunu hemen bulma gibi bir ihtimal yoktur. Çekimsel kuvvet ile bilinen diğer temel kuvvetler arasındaki ilişkiyi tanımlamak için teorisyenler tarafından yapılan teşebbüsler, 50 yıldır gözle görülür bir ilerleme kaydedilmiş olsa da, henüz sonuca ulaşmamıştır. Newton bile açıklanamaz uzaktan etkileşim konusunda kendini yetersiz hissetmiştir.
• Newton'un teorisi çekimsel kuvvetin ani iletimini gerektirir. Genel göreliliğin geliştirilmesinden önce uzay ve zamanın doğası ile ilgili yapılan klasik varsayımlar, yayılım gecikmesi kararsız yörüngelere sebep olur.

• Newton'un teorisi gezegenlerin, özellikle Merkür'ün, yörüngelerinin güneşe en yakın noktalarının(günberi) yalpalamalarını tam olarak açıklamaz.^[2] Newton'un tahminlerle, gözlenen yalpalama arasında, diğer gezegenlerin çekimsel sürüklemelerinden kaynaklanan, 43/3600 derecelik(43 arcsecond) bir uyumsuzluk bulunmaktadır.
• Newton'un teorisi kullanılarak tahmin edilen sapma gözlenenin sadece yarısıdır. Genel görelilik ise gözlemlere daha yakındır.

Çekimsel ve ataletsel kütlelerin tüm kütleler için aynı olmasıyla ilgili gözlenen gerçek, Newton'un sisteminde açıklanamamaktadır. Genel görelilik bunu bir varsayım olarak alır.

Newton kendi anıtsal çalışmasında çekim yasasını formüle edebiliyorken, kendi eşitliklerinin öne sürdüğü uzaktan etkileşim(action at a distance) kavramı yüzünden kendini derin şekilde rahatsız hissediyordu. Kendi sözleriyle “ bu gücün sebebini hiçbir zaman tespit edememişti”. Tüm diğer durumlarda, kütleler üzerine etkiyen çeşitli kuvvetlerin sebebini açıklamak için hareket olgusunu kullanmıştır, fakat, çekimle ilgili durumda, çekim kuvvetini üreten hareketi deneysel olarak tanımlayamamıştı. Dahası, yer üzerindeki bu kuvvetin sebebine gelince bir hipotez önermeyi dahi reddediyordu.

“Filozoflar şimdiye kadar çekim kuvvetinin kaynağı için boşuna doğa araştırmasına girişmişlerdir” diye pişman olmuştur, çünkü “birçok sebepten dolayı”, doğa olgusunun temeli olan, "şimdiye kadar bilinmeyen sebepler"in varlığına ikna olmuştur. Bu temel olgular hala araştırılmaktadır ve hipotezler çok olsa da tanımlayıcı yanıt henüz bulunamamıştır. Newton'un 1713 tarihli ve "Principia"nın ikinci baskısı olan "General Scholium"unda:

"Daha henüz çekimle ilgili bu özelliklerinin sebeplerini olgudan keşfedebilmiş değilim,ve yalandan hipotez uydurmadım…Çekimin varlığı ve açıkladığım yasalara göre işlemesi ve uzaysal kütlelerin(yıldız, gezegen gibi) hesaplamasına yaptığı hizmetler yeterlidir. Bir kütle bir başkasını bir vakum içinde, başka hiçbir şeyin arabuluculuğu olmadan etkiler, etkileri ve kuvvetleri tarafından ve onların içine diğerine taşınabilmesi bence büyük bir garabettir ve bence bu yüzden, felsefi malzemelerde düşünmenin bileşen yetisine sahip hiç kimse, onun içine düşmez."^[3]