Morera teoremi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

Morera teoremi: Karmaşık düzlem üzerindeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, sürekli, karmaşık değerli ve D içindeki her kapalı C eğrisi için ${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=0}$ ifadesini sağlayan bir f fonksiyonu D üzerinde holomorftur.

Morera teoreminin varsayımı, f 'nin D üzerinde terstürevi olduğuna denktir.

Teoremin tersi genel anlamda doğru değildir. Holomorf bir fonksiyon, ek varsayımlar konulmadıkça, tanım kümesi üzerinde terstüreve sahip olmak zorunda değildir. Örneğin, Cauchy integral teoremi, holomorf bir fonksiyonun kapalı bir eğri üzerindeki çizgi integralinin ancak fonksiyonun tanım kümesinin basit bağlantılı olması durumunda sıfır olacağını ifade eder.

Teoremin göreceli olarak basit bir kanıtı vardır. f için açıkça bir terstürev oluşturulur. Ondan sonra teorem, holomorf fonksiyonların analitikliği gerçeğinden yola çıkılarak kanıtlanır.

Genellemeyi kaybetmeden, D 'nin bağlantılı olduğu varsayılabilir. D içinde bir a noktası sabitlensin ve D üzerinde aşağıdaki gibi karmaşık değerli bir F fonksiyonu tanımlansın:

${\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(z)\,dz.\,}$

Yukarıdaki integral, D içinde a 'dan b 'ye herhangi bir yol üzerinden alınabilir. Burada F fonksiyonu iyi tanımlıdır çünkü hipotez gereği f 'nin a 'dan b 'ye giden herhangi iki eğri boyunca integrali eşittir. Hesabın temel teoremi sayesinde F 'nin türevinin f olduğu görülür:

${\displaystyle F'(z)=f(z).\,}$

Özellikle, F holomorftur. O zaman f de holomorf bir fonksiyonun türevi olduğu için holomorftur.

Morera teoremi karmaşık analizde standart bir araçtır. Bir holomorf fonksiyon cebirsel olmayan bir yolla oluşturulacaksa, hemen hemen tüm argümanlarda Morera teoremi kullanılır.

Örneğin, f₁, f₂, ... açık bir küme üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsayan bir holomorf fonksiyon dizisi olsun. Cauchy integral teoreminden her n için ve disk içinde kapalı her C eğrisi için

${\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

ifadesinin doğru olduğu görülür. Düzügün yakınsaklık sayesinde de her kapalı C eğrisi için

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\lim _{n\rightarrow \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

ifadesinin doğruluğu biliniyor. Bu yüzden, Morera teoreminden dolayı f holomorf olmalıdır. Bu gerçek, aynı zamanda, herhangi açık bir Ω ⊆ C kümesi için, u : Ω → C şeklinde tanımlanan sınırlı ve analitik tüm fonksiyonların kümesi A(Ω)'nın supremum norm'a göre bir Banach uzayı olduğunu göstermek için de kullanılabilir.

Morera teoremi ayrıca Riemann zeta fonksiyonu

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

veya gama fonksiyonu

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$

gibi toplamlar ve integraller yoluyla tanımlanmış fonksiyonların analitikliğini göstermek için de kullanılabilir.

Morera teoreminin hipotezleri epeyce zayıflatılabilir. Özellikle, D bölgesi içindeki her kapalı T üçgeni için

${\displaystyle \oint _{\partial T}f(z)\,dz}$

integralinin sıfır olması yeterlidir. Bu aslında, holomorfiyi ayırıcı bir niteliğe sokar, yani f ancak ve ancak yukarıdaki koşullar sağlanırsa holomorftur.

• Ahlfors, Lars (1 Ocak 1979), Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577 
• Conway, John B. (1 Nisan 2001), Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284 
• G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (2) 19 (1886) 304–307
• Rudin, Walter (1 Mayıs 1986), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341 

• MathWorld'deki Morera Teoremi bilgisi22 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• John H. Mathews'ün Morera Teoremi için yaptığı modül
• EoM makalesi17 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.