İçeriğe atla

Moonshine teorisi

Matematikte, monstrous moonshine ve moonshine teorisi terimleri John Horton Conway ve Simon P. Norton tarafından düşünülmüştür. Zamanında, monster grup ve modüler fonksiyonlar arasındaki beklenmedik bağıntıyı tanımlamak için kullanılmıştır. Şu an biliniyor ki, monstrous moonshine'nın altında yatan, simetriler gibi monster grup içeren conformal field teorisidir. Varsayımlar Conway ve Norton tarafından yapıldı ve 1992 yılında ispatıda Richard Borcherds tarafından, string teori, vertex operatör cebiri teorisi ve genişletilmiş Kac–Moody cebirinden no-ghost teoremini kullanılarak yapılmıştır.

Tarihi

1978 yılında, John McKay, j(τ)'nın Fourier açılımının ilk birkaç terimin,

ve τ-yarım zaman oranı- ile birlikte master grupların indirgenemez temsilcilerinin boyutunun lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir. Eğer = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ise,

(rn arasında birden çok lineer bağıntı olabileceğinden, örnek olarak , birden çok şekilde tasvir edilebilinir.) McKay bunu, doğal olarak meydana gelen bir sonsuz boyutlu M'nin kademeli gösterimi olan Hilbert–Poincaré serisinin j katsayısıyla verilmiş ve düşük ağırlıklı parçaların yukarıda olduğu gibi indirgenmez gösteriminin içinde çürümesinin kanıtı olarak gördü. John G. Thompson'ına bu durumdan bahsettikten sonra, Thompson, Hilbert–Poincaré serisinin sadece birim elemanın kademeli ilkköşegen toplamı olabileceğini öne sürdü. Ve çözülmesi kolay olmanyan M nin g'sinin kademeli ilkköşegen toplamının enteresan olabileceğini öne sürdü.

Conway and Norton, bu tarz kademeli ilkköşegen toplamlarını hesaplamışlardı, şimdi McKay–Thompson Tg serileri olarak bilinen yapıları ve hepsinin Hauptmoduln'nın açılımları olduğunu bulmuşlardı. Bir başka deyişle, eğer Gg, SL2(R)'nın bir altkümesiyse ki bu Tyi düzeltir, o zaman karışık düzlemin upper half'ının quotient'ası G için, bir küredir, sonlu sayıda sayının silinmesiyle ve buna ek olarak T, Meromorf fonksiyonunun cismini üretir bu küre üzerinde.

Ölçümlerine dayanak, Conway ve Norton bir Hauptmoduln listesi oluşturdu ve olabileceği Mnin kademeli sunumunun sonsuz boyutluluğunun mevcudiyetinin olabileceği öngörüsünde bulundular. Bunun kademeli ilkköşegen toplamları Tg, tam olarak yaptıkları listedeki fonksiyonların açılımlarıydı.

1980 yılında, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong ve Stephen D. Smith böyle kademeli gösterimimlerinin mümkün olabileceğini gösterdi, bilgisayar hesap makineleri kullanarak bir sınıra kadar j katsayılarının m gösterimi Thompson tarafından zaten ispatlanmıştı. kademeli gösterimi bariz bir şekilde Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman tarafından, etkileyici bir çözüm verilerek McKay–Thompson varsayımına, inşa edilmiştir. Buna ek olarak, onların inşa ettiği vektör uzayı Moonshine Module diye adlandırılan, vertex operatör cebirinin fazldan bir yapısı vardır. Ve bu yapının automorphism grubu tam olarak M idi.

Borcherds, Conway–Norton varsayımını 1992 yılında kanıtladı, Moonshine Module için. Fields madalyasını kazandı 1998 yılında varsayımı çözdüğü kısım için.

The Monster modülü

Frenkel–Lepowsky–Meurman yapısının iki temel araç kullanır;

  1. Lattice vertex operatör cebiri yapısı VL, n rankın lattice L için olsa bile. Fiziksel anlamda, için simit şekli üstünde VL, lattice vertex operatörü chiral cebiridir, Bosonic string kompaktlaştırılmasıyla. "n" boyuttaki Osilatör gösterimiyle, hemen hemen tanımlanabilir, L'nin group ring'nin tensor product'ı olarak (ki bu demektir ki, sonsuz çoklukta jeneratör durumu için polynomial ring isomorphictir). Sorudaki durum için, L kümesinin Leech lattice olacak şekilde ayarlanması gerekir, 24 rankı olan.
  2. İkinci araç orbifold yapısı diye adlandırılır. Fiziksel anlamda, orbifold'un temsil ettiği bosonic string salınımlarıdır quotient orbifold üstünde. Frenkel–Lepowsky–Meurman yapısı, conformal field teoride ilk ortaya çıkan orbifoldlardır. Leech lattice'nin tersine fonksiyonel olarak bağımlı olan VL'nın "h"'sıdir. Moonshine modülünü elde etmek için, "h"'nin sabit bir noktası seçilir, "V"'nın direkt toplamlarında ve onun twisted modülünü alır.

Frenkel, Lepowsky ve Meurman gösterdi ki moonshine modülünün automorphism grupları, vertex operatör cebir olanları, "M"'dir ve kademeli boyut "j"'nın bir Fourier serisi açılımı verir. (Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988)).

Borcherds'in ispatı

Conway and Norton'nın öngörüsüne olan Richard Borcherds'nın ispatı 6 parçada anlatılabilinir;

  1. Otomorfizmler kullanarak "M"'e yapılan bir hamle ve kademeli boyutlu j ile, Vertex operatör cebiri olan V'i seçerek başlanır. Moonshine Module tarafından sağlanmıştır, ayrıca monster vertex cebiri diye de adlandırılır.
  2. Lie cebiri , monster Lie cebiri diye adlandırılan, kuantalama fonktörü kullanılarak yapılandırılmıştır. Bu genelleştirilmiş Kac–Moody cebiridir, otomorfizm'i kullanarak Monster hamlesinden.
  3. Genelleştirilmiş Kac–Moody Lie cebirini oluşturmak için Koike–Norton–Zagier sonsuz çarpım özdeşliği kullanılır. Özdeşlik Hecke operetörü kullanarak sağlanmıştır.
  4. Kök çeşitliliği karşılaştırılarak, Lie cebirlerinin izomorf olduğu bulunabilinir. Benzer yolla, Weyl bölen formülü, için tam olarak Koike–Norton–Zagier özdeşliğine denktir.
  5. Lie cebri kohomolojisini kullanarak ve Adams operatörlerini, twisted bölün özdeşliği her eleman için verilir. Bu özdeşlikler McKay–Thompson serileriyle bağlantılıdırlar, Koike–Norton–Zagier özdeşlikleriyle bağlantılı oldukları gibi.
  6. Twisted bölen özdeşliği, yineleme ilişkilerini ima eder Tg'nın katsayıları üstünde. Bu ilişkiler o kadar güçlüdür ki sadece Conway and Norton tarafından verilen bir fonksiyonla ilk yedi terimin sağlanması yeter.

Böylelikle, ispat tamamlanmıştır. (Borcherds (1992)). Borcherds, sonraları bu ispatı şu sözleriyle anmıştır; "Ben Ay'ın ötesindeydim, moonshine sanısını ispatlıyorken. Ve bazen merak ediyorum, eğer belirli ilaçlar alındığında hissedilen, ben ispatlarken hissettiklerimse, ama gerçekten bilmiyorum, çünkü daha o teorimi test etmedim."[1]

Genelleştirilmiş Moonshine

Conway ve Norton, 1979 yılında yazdıkları makalede moonshine'nın monster ile sınırlı olmayabileceğini belirttiler, ama bu fenomen başka gruplar için bulunabilinir.[2]

  • T1A ve Monster M
  • T2A ve Bebek Monster F2
  • T2B ve Conway grupları
  • T3A ve Fischer grupları Fi23, Fi24
  • T3C ve Thompson grup Th = F3
  • T4A ve Conway grupları
  • T4A ve McLaughlin McL
  • T5A ve Harada–Norton grup HN = F5
  • T6A ve Fischer grup Fi22
  • T6B ve Suzuki grup Suz
  • T7A ve Held grup He = F7
  • T10A ve Higman–Sims grup HS

1980 yılında, Sporadic gruplarının boyutlarının basit kombinaslonları kullanılarak birçok McKay-Thompson(Hauptmodul) serisinin açılabilecek şekilde inşa edilebileceğini buldu, Larissa Queen ve diğerleri. Genelleştirilmiş Moonshine sanısını formüle etmek için, Norton kendi hesaplamalarını Queen'ninkilerle karşılaştırdı, 1987 yılında. Monster'ın her g elemanı, kademeli vektör uzayı V(g) ve upper-half düzleminde Holomorf fonksiyonunun f(g,h,τ) her (g,h) elemanını değiştiren için aşağıdaki şartların sağlanabileceğini öne sürer bu sanı;

  1. Her V(g), g'nin merkezleyicisinin kademeli izdüşümsel gösterimidir.
  2. Her f(g,h,τ), ya sabit bir fonksiyon veyahut Hauptmodul'dur.
  3. Her f(g,h,τ), "M"'de "g" ve "h"'nin eşzamanlı konjügasyonun altında sabit niceliğidir.
  4. Her (g,h) için, V(g) üstünde bir doğrusal dönüşüm vardır.
  5. Herhangi bir için , 'ye doğru orantılıdır.
  6. Eğer g = h = 1. ise, f(g,h,τ), j ye doğru orantılıdır.

Bu Conway–Norton sanısının geneleştirilmiş halidir, çünkü Borcherds'nin teoremi, eğer g bir birim kümesi olduğu durumla ilgililenir. Şu an hala, bu sanası hala sadece bir sanıdır.

Conway–Norton sanısında olduğu gibi, Genelleştirilmiş Moonshine'nında fizikte uygulama alanları olduğu Dixon–Ginsparg–Harvey tarafından 1988 yılında öne sürüldü(Dixon, Ginsparg & Harvey (1989)). Higman–Sims grup HS. Onlar, vektör uzaylarını V(g) konformal alan teorisinin moonshine simetrisiyle bükülmüş sektörleri olarak ve f(g,h,τ) fonksiyonunu da simitin bir formu olan ve bükülmüş sınır koşullarıyla birleştirilmiş genus ve bölme fonksiyonu olarak yorumladılar. Matematik dilinde, bükülmüş sektörler indirgenemez bükülmüş modüllerdir. Ayrıca, bölüm fonksiyonları eliptik eğriler temel monster demetleri için tasarlanmıştır.

Kuantum kütleçekiminin konjektür ilişkisi

2007 yılında, Edward Witten, AdS/CFT birebir eşlemesinin ikililiğe yol açtığını önesürdü, (2+1)-boyutlu Anti-de Sitter uzayıdaki saf kuantum kütleçekimi ile uç holomorf CFT'ler arasında. (2+1) boyuttaki saf yer çekiminin hiçbir yerel serbestlik derecesi olmamasına rağmen, kozmolojik sabit negatifken, BTZ karadelik çözümlerinin varlığından dolayı, teoride bir sabit olmayan içerik oluşuyor. Uç CFT'ler, G. Höhn tarafından üretilen, düşük enerjideki Virasoro birincil alanlarının azlığı ile ayırt ediliyorlar ve moonshine modülü sadece bir örnek.

Witten'nın varsayımı altında (Witten (2007)) mümkün olabilecek en büyük kozmolojik basit ile AdS'deki kütleçekimi, AdS/CTF ikili holomofik CFT'dir, merkezi yükü c=24'ken ve CFT'nın bölüm fonksiyonu tam olarak j-744'tür, mesela, moonshine modülünün derecelendirilmiş karakteri. Frenkel-Lepowsky-Meurman varsayımı kabul edilerek, Moonshine modülü biricik holomorfik VOA ile 24 merkezi yükü ve j-744 karakteri vardır. the Monster CFT'nın, mümkün olabilecek en büyük negatif kozmolojik sabit ile olan saf kütleçekimine, benzer olduğu sonucuna vardır, Edward Witten. Witten'nin önerisinin bir kısmı derki, Virasoro birincil alanları, karadelik oluşturan operatörlere eşittir, ve, uygunluğunu ölçekmek için, büyük-kütle limitinde, Bekenstein-Hawking kısmen-klasik entropisi, moonshine modülünde Virasoro'un birincil çarpan eşinin logaritması ile verilmiş olan kara delik kütlesinin uyumlu olduğunu buldu. Az-kütle üstünlüğü varken, bir kuantum düzeltmesi gerekti entropiye. En düşük enerji birinclik alanı log(196883) ~ 12.19'ı gösterirken, Beckenstein–Hawking tahmini hesabı 4π ~ 12.57'ı gösterdi.

Mathieu Moonshine

2010 yılında, Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri ve Yuji Tachikawa, K3 yüzeyinin eliptik kısımının, N=(4.4)süper açıkorur cebir'nın karakterlerine parçalanabileceğini gösterdi. Öyle ki, süper Virasoro cebirinin çeşitliliğinin, Mathieu grup M24'nın indirgenemez temsillerinin basit kombinasyonları olduğu ortaya çıktı. Bu gösterdi ki, Sigma modelinin K3 hedefiyle konformal alan teorisinin M24 simetrisini taşıdığını gösterdi. Buna rağmen, Mukai-Kondo sınıflandırmasıyla, herhangi bir K3 yüzeyinde simplektik otomorfizmalar tarafından, bu grubun hiçbir sadaketli eyleminin olmadığını görüldü. Gaberdiel–Hohenegger–Volpato'nın çalışmalarıyla, herhangi bir K3 sigma-model konformal alan teorsinde sadakatli eylemin olmadığı da görüldü. Bu yüzden, Hilbert uzayının temelinde olan bir eylemin dış görünüşünü hala açıklanamadı.

Daha önce bahsedilen McKay–Thompson serileriyle analoji yaparak, Cheng, hem çokluk fonksiyonlarının hem de M24'ün basit olmayan elemanlarının sınıflandırılmış izleri, sahte modüler formunu biçimlendireceğini, öne sürdü. 2012 yılında, Gannon, tüm,ama ilk hariç, çeşitliliklerin, M24'ün temsillerinin negatif olmayan integral kombinasyonları olduğunu ispatladı ve Gaberdiel–Persson–Ronellenfitsch–Volpato, genelleştirilmiş moonshine fonksiyonlarının tüm analojileri hesapladılar ve Mathie moonshine'na dayandığını öne sürdüler, konformal alan teorisinin bazı analojilerinin.

Neden "monstrous moonshine"?

Monstrous moonshine terimi Conway tarafından icat edilmiştir. Conway'e, John Mckay 1970ların sonlarında, 'nın (196884 olarak adlandırılan) tam olarak Griess cebirinin boyutu olduğu söylendiğinde, Conway, bunun "moonshine" olduğunu söylemiştir. (delice ve aptalca bir fikir olması açısından).[3] Böylelikle, bu terim sadece Monster gruplardan bashetmiyor, ayrıca modüler fonksiyonlar teorisineden bahsetmiş oluyor.

Monster grupları, Jean-Pierre Serre, Andrew Ogg and John G. Thompson adlı matematikçiler tarafından 1970'lerde incelenmiştir. Hiperbolik yüzeyin bölüm gruplarını SL2(R)'nın altgruplarıyla çalışmışlardır, özellikle, normalleştiren Γ0(p)'nın Γ0(p)'sını SL(2,R)'da incelemişlerdir.

Notlar

  1. ^ Roberts, Siobhan (2009), King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry (İngilizce), Bloomsbury Publishing USA, s. 361, ISBN 9780802718327, 6 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Aralık 2014 .
  2. ^ Conway, J. and Norton, S. "Monstrous Moonshine", Table 2a, p.330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf 19 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  3. ^ "World Wide Words: Moonshine". 21 Aralık 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Aralık 2014. 

Kaynakça

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Grup teorisi</span> simetrileri inceleyen matematik dalı

Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

Laplasyen , skaler bir alanının gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansıdır. Fizikteki birçok diferansiyel denklem laplasyen içerir.

<span class="mw-page-title-main">Soyut cebir</span> Matematiğin bir alanı

Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Cebirsel yapılar, elemanları üzerinde belirli işlemlerin uygulandığı kümelerdir ve gruplar, halkalar, alanlar, modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler içerir. Soyut cebir terimi, 20. yüzyılın başlarında temel cebirden ayırmak amacıyla türetilmiştir. Soyut cebir ileri matematik için temel hale geldikçe basitçe "cebir" olarak adlandırılırken, "soyut cebir" terimi pedagoji dışında nadiren kullanılır.

<span class="mw-page-title-main">İş (fizik)</span>

Fizikte, bir kuvvet bir cisim üzerine etki ettiğinde ve kuvvetin uygulama yönünde konum değişikliği olduğunda iş yaptığı söylenir. Örneğin, bir valizi yerden kaldırdığınızda, valiz üzerine yapılan iş kaldırıldığı yükseklik süresince ağırlığını kaldırmak için aldığı kuvvettir.

<span class="mw-page-title-main">HSL ve HSV</span> iki yaygın silindirik koordinat yeniden ifadesi

HSL ve HSV, 1970'lerde bilgisayar grafikleri araştırmacıları tarafından insan vizyonunun renk oluşturma özelliklerini algılama biçimiyle daha yakından uyumlu olması için tasarlanan RGB renk modelinin alternatif temsilleridir. Bu modellerde, her renk tonunun renkleri, alttan siyahtan üste beyaz arasında değişen nötr renklerin merkezi ekseni etrafında radyal bir dilim halinde düzenlenir. HSV temsili, farklı renkteki boyaların birbirine karışma şeklini, parlak renkli boyaların çeşitli renk tonlarını andıran doygunluk boyutu ve değişen miktarlarda siyah veya beyaz boya ile bu boyaların karışımına benzeyen değer boyutu modellenir. HSL modeli, Doğal Renk Sistemi (NCS) veya Munsell renk sistemi gibi daha algısal renk modellerine benzemeye çalışır ve Doygun renkleri 1⁄2 parlaklık değerinde bir dairenin etrafına yerleştirir, burada 0 veya 1 parlaklık değeri tamamen siyah veya beyazı temsil eder.

<span class="mw-page-title-main">Hiperbolik sayılar</span>

Gerçel sayılarda olmayan ve karesi 1 olan bir sayının kümeye katılmasıyla üretilen kümeye hiperbolik sayılar kümesi denir. Tıpkı karmaşık sayılarda olduğu gibi, hiperbolik sayılar şeklinde yazılabilen sayılardır, ancak karmaşık sayılardan tek farkı hiperbolik birim denilen sayının

Lorentz kuvveti, fizikte, özellikle elektromanyetizmada, elektromanyetik alanların noktasal yük üzerinde oluşturduğu elektrik ve manyetik kuvvetlerin bileşkesidir. Eğer q yük içeren bir parçacık bir elektriksel E ve B manyetik alanın var olduğu bir ortamda v hızında ilerliyor ise bir kuvvet hissedecektir. Oluşturulan herhangi bir kuvvet için, bir de reaktif kuvvet vardır. Manyetik alan için reaktif kuvvet anlamlı olmayabilir, fakat her durumda dikkate alınmalıdır.

<span class="mw-page-title-main">Bölme</span> Matematik işlemi

Bölme, aritmetiğin temelini oluşturan dört ana işlemden biri olarak kabul edilir. Diğer üç ana işlem ise toplama, çıkarma ve çarpma olarak sıralanır. İşlem sırasında bölünen miktar bölünen olarak adlandırılırken, bu miktarın bölündüğü sayıya bölen denir ve işlemin sonucunda elde edilen değer bölüm olarak tanımlanır.

Fizikte ve matematikte, matematikçi Hermann Minkowski anısına adlandırılan Minkowski uzayı veya Minkowski uzayzamanı, Einstein'ın özel görelilik kuramının en uygun biçimde gösterimlendiği matematiksel yapıdır. Bu yapıda, bilinen üç uzay boyutu tek bir zaman boyutuyla birleştirilerek, uzay zamanını betimlemek için dört boyutlu bir çokkatlı oluşturulmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Dördey</span>

Matematikte, dördeyler, karmaşık sayıları bir gerçel, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir. İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.

Direnç - kapasitör devresi (RC devresi) veya RC filtresi direnç ve kapsitörlerden oluşan ve gerilim veya akım kaynağı tarafından beslenen bir elektrik devresidir.

<span class="mw-page-title-main">Vektör hesabı</span>

Vektör hesabı, iki veya daha çok boyutlu iç çarpım uzayındaki vektörlerin çok değişkenli gerçel analiziyle uğraşan bir matematik dalıdır. Fizik ve mühendislikte epey faydalı olan formül takımlarından ve problem çözme tekniklerini kapsamaktadır. Vektör hesabı köklerini kuaterniyon analizinden almaktadır ve Amerikan mühendis ve bilim insanı J. Willard Gibbs ve İngiliz mühendis Oliver Heaviside tarafından formüle edilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

<span class="mw-page-title-main">Cebirsel topoloji</span>

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Kriptografide Schnorr imzası, Schnorr imza algoritması tarafından üretilen dijital imzalamadır. Güvenliği, ayrık logaritma problemlerinin çözülemezliğine dayanır. Kısa imzalar oluşturur ve verimlidir. Rastgele oracle modelde en basit güvenliği kanıtlanmış dijital imzalama modeli olarak düşünüldü. 2008'de geçerliliğini yitiren U.S. Patent 4,995,082 tarafından lisanslanmıştır.

Matematik'te bir Lie eşcebri ikili yapıda bir Lie cebridir.

Matematikte, bir Casimir ögesi, merkez bir Lie cebirinin evrensel kapsayıcı cebir'inin merkezinin bir seçkin ögesidir. Bir prototipik örnek kare açısal momentum operatörü'dür, Bu üç boyutlu döndürme grubu'nun bir Casimir ögesidir.

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

18. yy. ve sonrasında geliştirilmiş, genellikle vektörel mekanik olarak nitelendirilen ve orijinalinde Newton mekaniği olarak bilinen analitik mekanik, klasik mekaniğin matematiksel fizik kaynaklarıdır. Model harekete göre analitik mekanik, Newton’un vektörel enerjisinin yerine, hareketin iki skaler özelliği olan kinetik enerjiyi ve potansiyel enerjiyi kullanır. Bir vektör, yön ve nicelik ile temsil edilirken bir skaler, nicelik ile(yoğunluğu belirtirken) temsil edilir. Özellikle Lagrange mekaniği ve Hamilton mekaniği gibi analitik mekanik de, sorunları çözmek için bir sistemin kısıtlamalarının ve tamamlayıcı yollarının kavramını kullanarak klasik mekaniğin kullanım alanını etkili bir şekilde yapılandırır. Schrödinger, Dirac, Heisenberg ve Feynman gibi kuram fizikçileri bu kavramları kullanarak kuantum fiziğini ve onun alt başlığı olan kuantum alan teorisini geliştirdiler. Uygulamalar ve eklemelerle, Einstein’a ait kaos teorisine ve izafiyet teorisine ulaşmışlardır. Analitik mekaniğin çok bilindik bir sonucu, modern teorik fiziğin çoğunu kaplayan Noether teoremidir.

Matematiksel fizikte, hareket denklemi, fiziksel sistemin davranışını, sistem hareketinin zamanı ve fonksiyonu olarak tanımlar. Daha detaya girmek gerekirse; hareket denklemi, matematiksel fonksiyonların kümesini "devinimsel değişkenler" cinsinden izah eder. Normal olarak konumlar, koordinat ve zaman kullanılır ama diğer değişkenler de kullanılabilir: momentum bileşenleri ve zaman gibi. En genel seçim genelleştirilmiş koordinatlardır ve bu koordinatlar fiziksel sistemin karakteristiğinin herhangi bir uygun değişkeni olabilirler. Klasik mekanikte fonksiyonlar öklid uzayında tanımlanmıştır ama görelilikte öklid uzayı, eğilmiş uzay ile tanımlanmıştır. Eğer sistemin dinamiği biliniyor ise denklemler dinamiğin hareketini izah eden diferansiyel denklemlerin çözümleri olacaktır.