Montel teoremi - Turkipedia

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Montel teoremi holomorf fonksiyon aileleriyle ilgili bir teoremdir. İsmini Paul Montel adlı matematikçiden almıştır ve şunu ifade etmektedir:

Karmaşık sayılardan oluşan bir açık küme üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar ailesi ancak ve ancak bu aile yerel sınırlı ise normaldir.

Teorem, karmaşık analizin her boyutunda geçerlidir ancak dikkat edilmesi gereken normal ailenin her boyutta nasıl tanımlandığıdır. Eğer sadece karmaşık düzlem üzerindeki sonuca bakılıyorsa teorem şu şekilde de ifade edilebilir: ${\mathcal {F}}$ karmaşık düzlemdeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, bu kümenin her noktasının civarında karmaşık türevlenebilir bir fonksiyon ailesiyse şu sonuçlar vardır:

${\mathcal {F}}$ 'deki her dizinin tıkız altkümelerde düzgün yakınsayan bir altdizisi vardır.
D 'deki her x noktasının bir N komşuluğu ve bir B sınırı vardır öyle ki ${\mathcal {F}}$ 'deki bütün fonksiyonlar N üzerine sınırlandığında bu fonksiyonların karmaşık normu en fazla B olabilir.

Her normal ailenin yerel olarak sınırlı olacağı sonucu kolaylıkla elde edilebilir: Eğer ${\mathcal {F}}$ , x noktasında yerel sınırlı değilse, o zaman herhangi bir n tam sayısı için x 'ten 1/n uzaklığındaki her noktada normu en az n olan bir f_n fonksiyonu vardır. Her n için bulunan bu f_n ler bir fonksiyonlar dizisi olarak alınırsa, o zaman bu dizinin düzgün yakınsak olan bir alt dizisi olamaz. Teoremin aslında güçlü olan yanı diğer önermesidir ve şu şekilde de anlatılabilir: Karmaşık sayılardan oluşan açık bir D kümesi üzerinde tanımlı ve yerel sınırlı olan her holomorf fonksiyonlar dizisinin bir alt dizisi vardır öyle ki bu altdizi D üzerinde tanımlı holomorf bir fonksiyona tıkız olarak yakınsar.

Teoremin kanıtının ilk başta kullandığı araçlar Cauchy integral formülü ve eşsürekliliktir. Daha sonra Arzelà–Ascoli teoremi tekrar tekrar kullanılarak tıkız yakınsaklık elde edilir.^[1]

Bu teoremin bir diğer ismi de Stieltjes–Osgood teoremidir ve bu isim de Thomas Joannes Stieltjes ve William Fogg Osgood adlı matematikçilere atıfla verilmiştir.^[2]

Ayrıca bakınız

Montel uzayı

Notlar

^ Hartje Kriete (1998). Progress in Holomorphic Dynamics (İngilizce). CRC Press. s. 164. 23 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Mart 2009.
^ Reinhold Remmert, Leslie Kay (1998). Classical Topics in Complex Function Theory (İngilizce). Springer. s. 154. 23 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Mart 2009.

Kaynakça

Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I (İngilizce). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
Schiff, J. L. (1993). Normal Families (İngilizce). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.

Bu makale PlanetMath'deki Montel's theorem maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.

İlgili Araştırma Makaleleri

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Karmaşık analizde, tam fonksiyon veya başka bir deyişle integral fonksiyonu, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların tipik örnekleri polinomlar, üstel fonksiyon ve bunların toplamları, çarpımları ve bileşkeleridir. Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona uzatılamaz.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur.

Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Liouville teoremi tam fonksiyonların sınırlılığıyla ilgili temel bir teoremdir.

Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği bir noktadır.

Matematikte, Hartogs teoremi, çok değişkenli karmaşık analizde birden fazla karmaşık değişkene sahip holomorf fonksiyonların analitik devamlarıyla ilgili olan ve karmaşık analizin bir değişkenli fonksiyonlar teorisinde varolmayan bir sonuçtur.

Meromorf fonksiyon, özellikle karmaşık analizde, bir fonksiyon çeşidi. Daha açık bir ifadeyle, meromorf fonksiyon, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktalarından oluşan belli bir korunmalı noktalar kümesi haricinde D 'nin geriye kalan diğer noktalarının tümünde holomorf olan fonksiyondur. Meromorf kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir D bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde maksimum ilkesi veya maksimum modülüs prensibi veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir $\text{[math]}$ fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan $\text{[math]}$ 'nin yerel bir maksimuma sahip olamayacağını belirten önemli bir sonuçtur.

Matematikte Hardy teoremi, karmaşık analizde holomorf fonksiyonların büyüme davranışlarıyla ilgili bir sonuçtur.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Karmaşık analizde Casorati-Weierstrass teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorfluk bölgesi, üzerinde tanımlı olan holomorf fonksiyolardan en az bir tanesinin daha büyük bir bölgeye holomorf özelliğini koruyarak devam ettirelemediği bölgelere verilen addır. Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Ancak, karmaşık düzlemde geçerli olan bu sonucun dengi bir sonuç yüksek boyutlu uzayda herhangi bir bölge için geçerli değildir. Bu yüzden, holomorfluk bölgelerin belirleyici özelliklerini bulmak yirminci yüzyılın ilk yarısında çok değişkenli karmaşık analizde en yoğun çalışılmış konulardan birisi olmuştur. Bu farklılığı ilk defa Fritz Hartogs göz önüne sermiştir ve sonuç en genel haliyle Hartogs devam (genişleme) teoremi olarak bilinmektedir.

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı $\text{[math]}$ de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir.

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Hartogs teoremi, birden fazla karmaşık değişkenle tanımlı holomorf fonksiyonların her bir karmaşık değişkene göre ayrı ayrı holomorf olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu verdiğini ifade eden bir sonuçtur. Başka bir deyişle, eğer $\text{[math]}$ her $\text{[math]}$ için $\text{[math]}$ değişkeninde holomorf ise, $\text{[math]}$ sürekli bir fonksiyondur. Teorem, Friedrich Hartogs'un adını taşımaktadır.

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde bir analitik çokyüzlü kompleks uzay $C n$ 'de sonlu sayıda holomorf fonksiyonlar aracılığıyla üretilen bir bölgedir. Analitik çokyüzlüler, özel geometrileri ve belki de çoğunlukla çokyüzlüyü oluşturan fonksiyonların sahip olduğu analitik özellikleri nedeniyle ilgi çekicidir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.