Meromorf fonksiyon - Turkipedia

Meromorf fonksiyon, özellikle karmaşık analizde, bir fonksiyon çeşidi. Daha açık bir ifadeyle, meromorf fonksiyon, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktalarından oluşan belli bir korunmalı noktalar kümesi haricinde D 'nin geriye kalan diğer noktalarının tümünde holomorf olan fonksiyondur. Meromorf kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” (μέρος) ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” (ὅλος) kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.

D üzerindeki her meromorf fonksiyon, pay ve paydası D üzerinde holomorf olan ve paydası sabit bir şekilde 0 olmayan rasyonel bir fonksiyon şeklinde yazılabilir. Bu halde kutup noktaları, paydanın sıfır olduğu yerde olmaktadır.

Yani sezgisel olarak, meromorf fonksiyon iki tane güzel (yani holomorf) fonksiyonun oranıdır. Bu tür bir fonksiyon, orandaki paydanın sıfır olduğu ve bu yüzden fonksiyonun sonsuz değerleri aldığı noktalar dışında hala güzeldir.

Cebirsel bakış açısıyla, eğer D bağlantılıysa, o zaman meromorf fonksiyonlar kümesi holomorf fonksiyonların tamlık bölgesinin kesirler cismidir. Bu ilişki rasyonel sayılar kümesi $\mathbb {Q}$ ile tamsayılar kümesi $\mathbb {Z}$ arasındaki ilişkiye denktir.

Riemann yüzeylerinde meromorf fonksiyonlar

Bir Riemann yüzeyi üzerindeki her noktanın karmaşık düzlemin açık bir kümesine izomorf (eşyapılı) olan açık bir komşuluğu vardır. Bu sebeple, meromorf fonksiyon fikri her Riemann yüzeyi için de tanımlanabilir.

D tüm bir Riemann küresi olduğu zaman, her meromorf fonksiyon küre üzerinde rasyonel olduğu için, meromorf fonksiyonlar cismi karmaşık cisim üzerindeki bir değişkenli rasyonel fonksiyonlar cismi olur. (Bu GAGA prensibi denilen ifadenin özel bir durumudur.)

Her Riemann yüzeyinde, meromorf bir fonksiyon, Riemann küresine gönderilen ve sabit ∞ olmayan holomorf bir fonksiyonla aynıdır. Kutuplar burada ∞ 'a gönderilen karmaşık sayılara karşılık gelir.

Tıkız olmayan bir Riemann yüzeyinde, her meromorf fonksiyon iki tane holomorf fonksiyonun bölümü şeklinde yazılabilir. Tersine, tıkız bir Riemann yüzeyinde sabit olmayan meromorf fonksiyonlar bulmak mümkünken, her holomorf fonksiyon sabittir.

Elliptik eğriler üzerindeki meromorf fonksiyonlar aynı zamanda elliptik fonksiyonlar olarak da bilinirler.

Daha yüksek boyutlar

Çoklu karmaşık değişkenlerde, meromorf fonksiyonlar yerel olarak iki holomorf fonksiyonun bölümü olarak tanımlanırlar. Mesela, f(z₁,z₂)=z₁/z₂ iki boyutlu karmaşık afin uzayda meromorf bir fonksiyondur. Burada, artık, her meromorf fonksiyonu Riemann küresi üzerinde değerleri olan holomorf fonksiyon şeklinde anlamak doğru değildir: İki eşboyutu olan bir "belirsizlik" kümesi vardır (verilen örnekte bu küme (0,0) 'dan oluşmaktadır).

Bir boyuttakilerin aksine, daha yüksek boyutlarda sabit olmayan meromorf fonksiyonların bulunmadığı, çoğu karmaşık simit gibi, karmaşık manifoldlar bulunmaktadır.

Kaynakça

Lang, Serge (1999), Complex analysis (4.4 isbn=978-0-387-98592-3 bas.), Berlin, New York: Springer-Verlag KB1 bakım: Dikey çizgi eksik (link)

Matematiksel fonksiyonlar
Kümeler kuramına göre	Birebir fonksiyon Örten fonksiyon Birebir örten fonksiyon Birim fonksiyon Bileşke fonksiyon Sabit fonksiyon Boş fonksiyon Ters fonksiyon Özdeş fonksiyon Parçalı fonksiyon İçine fonksiyon
İşleme göre	Toplama fonksiyon Çarpım fonksiyonu Çift fonksiyon Tek fonksiyon Alttoplamsal fonksiyon Üsttoplamsal fonksiyon
Topolojiye göre	Sürekli fonksiyon Hiçbir yerde sürekli fonksiyon Homeomorfizma
Sıralamaya göre	Monoton fonksiyon Sınırlı monoton fonksiyon
Gerçel/Karmaşık sayılara göre	Analitik fonksiyon Aritmetik fonksiyon Diferansiyellenebilir fonksiyon Düzgün fonksiyon Holomorf fonksiyon Meromorf fonksiyon Tam fonksiyon

İlgili Araştırma Makaleleri

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Ana başlıklarına göre karmaşık analiz konuları:

Karmaşık analizde, tam fonksiyon veya başka bir deyişle integral fonksiyonu, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların tipik örnekleri polinomlar, üstel fonksiyon ve bunların toplamları, çarpımları ve bileşkeleridir. Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona uzatılamaz.

Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur.

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rⁿ'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : U → R şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

\text{[math]}

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zⁿ 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin adıyla adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği bir noktadır.

Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.

Matematikte tersholomorf fonksiyonlar holomorf fonksiyonlara oldukça yakın ancak yine de onlardan ayrı olan fonksiyonlar ailesidir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Schwarz önsavı, karmaşık düzlemdeki birim daire üzerinde tanımlı ve değer kümesi yine aynı birim daire olan holomorf fonksiyonların aldığı değerlerin üzerine kestirimler veren önemli bir sonuçtur. Her ne kadar bilim dizininde önsav olarak isim almışsa da kendi başına önemli bir teoremdir. Bu sonuç, günümüzde herhangi bir karmaşık analiz kitabında ifade edilen şeklinden daha farklı bir şekilde ilk defa Alman matematikçi Hermann Amandus Schwarz tarafından kendi doktora tezinde ifade edilmiştir. Sonucu günışığına çıkarıp günümüzdeki ifadesini yazan ve aynı zamanda bu önsavın tanınmasını sağlayan matematikçi ise Yunan matematikçi Constantin Carathéodory olmuştur.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde maksimum ilkesi veya maksimum modülüs prensibi veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir $\text{[math]}$ fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan $\text{[math]}$ 'nin yerel bir maksimuma sahip olamayacağını belirten önemli bir sonuçtur.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Montel teoremi holomorf fonksiyon aileleriyle ilgili bir teoremdir. İsmini Paul Montel adlı matematikçiden almıştır ve şunu ifade etmektedir:

Bir fonksiyonun Julia kümesi, o fonksiyonun dinamiğini incelemek için kullanılan kümedir. Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemi kendi dinamiklerine göre iki ayrık kümeye bölerler. Bu kümeler, Julia ve Fatou kümeleridir. Fonksiyon, Julia kümesi üzerinde kaotik davranış sergilerken, Fatau kümesinde normal davranış sergiler.

<span class="mw-page-title-main">Riemann küresi</span>

Matematikte Riemann küresi, genişletilmiş karmaşık düzlemin artı sonsuzdaki noktanın bir modelidir. Carl Friedrich Gauss tarafından daha önceden düşünülmüş olsa da, öğrencisi Bernhard Riemann'ın adıyla anılmaktadır. Genişletilmiş bu düzlem, genişletilmiş karmaşık sayıları—yani artı sonsuzdaki ∞ değerli karmaşık sayıları—temsil eder. Riemann modelinde, "0" noktası çok küçük sayılara yakın olur ise "∞" noktası çok daha büyük sayılara yakınlaşır.

Matematikte Riemann yüzeyi, özellikle karmaşık analizde bahsi geçen tek boyutlu karmaşık bir manifolddur. Bu yüzey(ler) ilk olarak Bernhard Riemann tarafından incelenmiş ve isimlendirilmiş. Riemann yüzeyleri, karmaşık düzlemin deforme olmuş versiyonları olarak düşünülebilir: her noktanın yakınında karmaşık düzlemin yerel olarak yamaları gibi görünürler, ama topolojisi oldukça farklı olabilmektedir.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı $\text{[math]}$ de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.