Merkezsel moment

Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için k-ıncı ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa

μ_k := E[(X - E[X])^k]

miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \mu _{k}=\left\langle (X-\langle X\rangle )^{k}\right\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\,dx.}$

Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(X) (Xin beklenen değeri) yerine ${\displaystyle \langle X\rangle }$ terimini tercih etmektedirler.

Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.

İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:

• Birinci merkezsel moment sıfırdır.
• İkinci ortalama etrafındaki moment varyans ismini alır ve σ² olarak ifade edilir; burada σ standart sapmayı temsil eder.
• Ortalama etrafındaki üçüncü ve dördüncü momentler standardize edilmiş momentlerin tanımlanmasında kullanılırlar ve bunlar ise ayni sırayla çarpıklık ve basıklık tanımlaması için kullanılırlar.

• ninci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan X için ve bir sabit olan c için

${\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X).\,}$

olur.

• Her n için, ninci merkezsel moment n dereceli homojen dir; yani

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$

• Yalnız n ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan X ve Y rassal değişkenleri için toplanabilirlilik özelliğidir:

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\ \mathrm {eger} \ n\leq 3.\,}$

Kümülant adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, ninci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü n ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü

κ_n(X).

olarak ifade edilen ninci kümülantdır.

• n = 1, için ninci kümülant, sadece beklenen değerdir.
• n = ya 2 veya 3 ise, ninci kümülant sadece ninci merkezsel moment olur.
• n ≥ 4 ise ninci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki n momentin ninci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk n merkezsel momentlerin n dereceli polinomları olurlar.

Bazen orijin etrafındaki momentleri ortalama etrafındaki momentlere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki n^inci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}m^{n-j},}$

Burada m dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:

${\displaystyle \mu '_{j}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{j}f(x)\,dx.}$

${\displaystyle n=2,3,{\text{ ve }}4}$ halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-m^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3m\mu '_{2}+2m^{3}}$

${\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4m\mu '_{3}+6m^{2}\mu '_{2}-3m^{4}}$

• Kümülant
• Momentler
• Görüntü momenti