İçeriğe atla

Matematiksel tablolar

Matthias Bernegger tarafından yazılmış 1619 matematik tabloları kitabından, sinüs, tanjant ve sekant trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini gösteren karşılıklı sayfalar. Sol sayfada 45 °'den küçük açılar, sağda 45 °'den büyük açılar bulunur. Kosinüs, kotanjant ve kosekant değerleri karşı sayfadaki değer kullanılarak bulunur.

Matematiksel tablolar, çeşitli bağımsız değişkenlerle yapılan bir hesaplamanın sonuçlarını gösteren sayı listeleridir. Trigonometrik fonksiyonların tabloları, antik Yunanistan ve Hindistan'da astronomi ve göksel seyir uygulamaları için kullanıldı . Tablolar, hesaplamaları basitleştiren ve büyük ölçüde hızlandıran elektronik hesap makinelerinin fiyatlarının düşerek kolay erişilir hale gelişlerine dek yaygın olarak kullanıldı. Logaritma tabloları ve trigonometrik fonksiyonlar matematik ve fen ders kitaplarında yaygındı ve çok sayıda uygulama için özel tablolar yayınlandı.

Tarih ve kullanım

Bilinen ilk trigonometrik fonksiyon tabloları Hipparchus (c.190 – c.120 BCE) ve Menelaus (c.70-140 CE) tarafından oluşturulmuş ancak ikisi de kaybolmuştur. Günümüze dek ulaşabilen Batlamyus tablosu ile birlikte (c.90 - c.168 CE), bu tabloların üçü de kiriş tablolarıydı, ancak yarım kirişlerden yani sinüs fonksiyonundan değillerdi. Hint matematikçi Āryabhaṭa (476–550 CE) tarafından üretilen tablo, şimdiye kadar yapılmış ilk sinüs tablosu olarak kabul edilir.[1] Āryabhaṭa'nın tablosu, eski Hindistan'ın standart sinüs tablosu olarak kaldı. Bu tablonun doğruluğunu iyileştirmek için sürekli girişimler oldu, bu girişimler Madhava Sangamagrama (c.1350 - c.1425) tarafından sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının kuvvet serisi açılımının keşfi ve yedi veya sekiz ondalık basamağa kadar doğru değerlerle sinüs tablosu haline getirilmesiyle sonuçlandı. Adi logaritma tabloları, n'inci köklerin bulunması da dahil olmak üzere, çarpım, bölme ve üs alma işlemlerini hızlı yapmak için bilgisayar ve elektronik hesap makineleri bulunana kadar kullanılmıştır.

Fark makineleri olarak bilinen özel amaçlı mekanik bilgisayarlar, 19. yüzyılda logaritmik fonksiyonların çok terimli yakınsamalarını yani büyük logaritmik tabloları hesaplamak için önerildi. Bu öneri, esas olarak zamanın insan bilgisayarları tarafından yapılan logaritmik tablolardaki hatalardan kaynaklanıyordu. İlk dijital bilgisayarlar II.Dünya Savaşı sırasında kısmen topçu nişanlamaları için özel matematiksel tablolar üretmek amacıyla geliştirildi. 1972'den itibaren, piyasaya sürülen bilimsel hesap makinelerinin artan kullanımıyla matematiksel tabloların çoğu kullanım dışı kaldı.

Bu tür tabloları oluşturmak için son büyük çabalardan biri, 1938'de Works Progress Administration'ın (WPA) bir projesi olarak başlatılan ve yüksek matematik fonksiyonlarını tablo haline getirmek için 450 işsiz katibi kullanan Matematiksel Tablolar Projesi idi. II.Dünya Savaşı boyunca sürdü.[]Özel fonksiyonların tabloları hala kullanılmaktadır. Örneğin, normal dağılımın birikimli dağılım fonksiyonunun değerlerini içeren tablo, standart normal dağılım tablosu olarak adlandırılır ve özellikle okullarda yaygın olarak kullanılır. Ancak bilimsel ve grafik hesap makinelerinin kullanımı bu tür tabloları gereksiz hale getirmektedir.

Rastgele erişimli hafızada depolanan tablolar oluşturmak bilgisayar programlamada yaygın bir kod optimizasyon tekniğidir; bu tür tabloların kullanımı, bir tablo aramasının ihtiyaç duyulan hesaplamalardan daha hızlı olduğu durumlarda hesaplamaları hızlandırır. Esasen, tabloları depolamak için gereken bilgisayar bellek alanı ile hesaplama hızı değiş tokuş edilmektedir.

Logaritma tabloları

Henry Briggs'in 1617 Logarithmorum Chilias Prima'sından bir sayfa, 0 ila 67 arasındaki tam sayıların onluk (adi) logaritmasını on dört ondalık basamağa kadar gösteriyor.
Abramowitz ve Stegun referans kitabındaki 20.yüzyıl adi logaritma tablosunun bir parçası.
2002 American Practical Navigator'dan trigonometrik fonksiyonların logaritma tablosundan bir sayfa. İnterpolasyona yardımcı olmak için fark sütunları dahil edilmiştir.

Elektronik hesap makinelerinin ve bilgisayarların ortaya çıkmasından önce hesaplamalarda adi logaritmalar (tabanı 10 olan logaritma fonksiyonu) içeren tablolar yaygın olarak kullanılmıştır çünkü logaritmalar çarpma ve bölme sorunlarını çok daha kolay toplama ve çıkarma problemlerine dönüştürür. Onluk logaritmaların benzersiz ve kullanışlı ek bir özelliği bulunur: Birden büyük olan sayıların adi logaritması, yalnızca sadece on üssü ile farklılık gösterir ve mantis olarak bilinen aynı kesirli kısma sahiptir. Genel logaritma tabloları tipik olarak sadece mantisleri içerir; karakteristik olarak bilinen logaritmanın tam sayı kısmı, orijinal sayıdaki rakamları sayarak kolayca belirlenebilir. Benzer bir ilke, 1'den küçük pozitif sayıların logaritmalarının hızlı hesaplanmasına izin verir. Böylece, pozitif ondalık sayıların tamamı için tek bir adi logaritma tablosu kullanılabilir.[2] Karakteristiklerin ve mantislerin kullanımıyla ilgili ayrıntılar için adi logaritmaya bakın.

Tarihçe

1544'te Michael Stifel, logaritmik tablonun erken bir versiyonu olarak kabul edilen 2'nin katları ve tam sayıları tablosunu içeren Arithmetica integra'yı yayınladı.[3][4]

Logaritma yöntemi, 1614 yılında John Napier tarafından Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Logaritmanın Harika Kuralının Açıklaması) adlı bir kitapta ortaya atıldı.[5] Kitap, elli yedi sayfa açıklama ve doğal logaritmalarla ilgili doksan sayfa tablo içeriyordu. İngiliz matematikçi Henry Briggs 1615'te Napier'i ziyaret etti ve Napierian logaritmalarını şimdi adi veya 10 tabanında logaritmalar olarak bilinen şekillerini oluşturmak için yeniden ölçeklendirilmesini önerdi. Napier, revize edilmiş tablonun hesaplanmasını Briggs'e devretti. 1617'de, kısa bir logaritma hesabı ve 14. ondalık basamağa göre hesaplanan ilk 1000 tam sayı için bir tablo veren Logarithmorum Chilias Prima'yı ("İlk Bin Logaritma") yayınladılar.

Trigonometrik tablolar

Trigonometrik hesaplamalar astronominin erken çalışmalarında önemli rol oynadı. Erken dönem tablolar, eskilerden yeni değerleri hesaplamak için trigonometrik ifadelerin (yarım açı ve toplam fark formülleri gibi) tekrar tekrar uygulanmasıyla oluşturuldu.

Basit bir örnek

Yukarıda gösterilen 1619'dan Bernegger tablosu gibi bir trigonometrik fonksiyon tablosunu kullanarak 75 derece, 9 dakika, 50 saniyelik sinüs fonksiyonunu hesaplamak için, değeri 75 derece, 10 dakikaya yuvarlayabilir ve ardından 75 derece sayfasında 10 dakikaya karşılık gelen değeri bulabiliriz, bu değer yukarıda sağda gösterilen 0.9666746'dır.

Ancak, bu yanıt yalnızca dört ondalık basamağa kadar doğrudur. Daha doğru bir sonuç istenirse, aşağıdaki gibi doğrusal olarak interpolasyon yapılabilir:

Bernegger tablosundan:

sin (75 ° 10 ′) = 0.9666746
sin (75 ° 9 ′) = 0.9666001

Bu değerler arasındaki fark 0.0000745'.

Bir dakikada 60 saniye olduğundan, (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621 düzeltmesini elde etmek için farkı 50/60 ile çarparız ve sonra bu sonucu sin (75 ° 9 ′) değerine ekleriz:

sin (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ sin (75 ° 9 ′) + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622

Modern bir hesap makinesi sin (75 ° 9 ′ 50 ″) = 0.96666219991 verir, bu nedenle interpolasyonlu cevabımız Bernegger tablosunun 7 basamaklı kesinliği için doğrudur.

Daha yüksek hassasiyete sahip tablolar için (değer başına daha fazla rakam), tam doğruluk elde etmek daha yüksek dereceli interpolasyon gerektirebilir.[6] Elektronik bilgisayarlardan önceki çağda, tablo verilerinin bu şekilde interpolasyonu, seyir, astronomi ve ölçme gibi uygulamalarda gerek duyulan matematiksel fonksiyonlarda yüksek doğruluk elde etmenin tek pratik yoluydu.

Seyir gibi uygulamalarda doğruluğun önemini anlamak için, deniz seviyesinde Dünya'nın ekvatoru boyunca bir dakikalık yay veya bir boylamın (aslında herhangi bir büyük dairenin) yaklaşık bir deniz miline (1.852 kilometre (1.151 mi)) tekabül ettiğini bilmek gerekir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ "The trigonometric functions". June 1996. 18 Ocak 2002 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Mart 2010. 
  2. ^ E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913).
  3. ^ Arithmetica Integra, Londra: Iohan Petreium, 1544, 19 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 1 Ocak 2021 
  4. ^ Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, 1972, s. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 
  5. ^ John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914 
  6. ^ Abramowitz and Stegun Handbook of Mathematical Functions, Introduction §4

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Aritmetik</span> temel matematik dalı

Aritmetik; matematiğin sayılar arasındaki ilişkiler ile sayıların problem çözmede kullanımı ile ilgilenen dalı. Aritmetik kavramı ile genellikle sayılar teorisi, ölçme ve hesaplama kastedilir. Bununla birlikte bazı matematikçiler daha karmaşık çeşitli işlemleri de aritmetik başlığı altında değerlendirirler.

<span class="mw-page-title-main">Trigonometri</span> üçgenlerin açı ve kenar bağıntılarını konu alan geometri dalı

Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı. Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin (fonksiyon) üzerine kurulmuştur ve günümüzde fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Logaritma</span> özel tanımlı bir fonksiyon türü

Matematikte logaritma, üstel işlevlerin tersi olan bir matematiksel fonksiyondur. Mesela, 1000'in 10 tabanına göre logaritması 3'tür çünkü 1000, 10'un 3. kuvvetidir,1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Daha genel bir ifadeyle:

<span class="mw-page-title-main">Sinüs (matematik)</span>

Matematikte sinüs, trigonometrik bir fonksiyon. Sin kısaltmasıyla ifade edilir.

<span class="mw-page-title-main">Trigonometrik fonksiyonlar</span>

Trigonometrik fonksiyonlar, matematikte bir açının işlevi olarak geçen fonksiyonlardır. Geometride üçgenleri incelerken ve periyodik olarak tekrarlanan olayları incelerken sıklıkla kullanılırlar. Genel olarak bir açısı belirli dik üçgenlerde herhangi iki kenarın oranı olarak belirtilirler, ancak birim çemberdeki belirli doğru parçalarının uzunlukları olarak da tanımlanabilirler. Daha çağdaş tanımlarda sonsuz seriler veya belirli bir türevsel denklemin çözümü olarak geçerler.

<span class="mw-page-title-main">Trigonometri tarihi</span>

Üçgenlerle ilgili erken çalışmalar, Mısır matematiği ve Babil matematiğinde MÖ 2. binyıla kadar izlenebilir. Trigonometri, Kushite matematiğinde de yaygındı. Trigonometrik fonksiyonların sistematik çalışması Helenistik matematikte başladı ve Helenistik astronominin bir parçası olarak Hindistan'a ulaştı. Hint astronomisinde trigonometrik fonksiyonların incelenmesi, özellikle sinüs fonksiyonunu keşfeden Aryabhata nedeniyle Gupta döneminde gelişti. Orta Çağ boyunca, trigonometri çalışmaları İslam matematiğinde El-Hârizmî ve Ebu'l-Vefâ el-Bûzcânî gibi matematikçiler tarafından sürdürüldü. Altı trigonometrik fonksiyonun da bilindiği İslam dünyasında trigonometri bağımsız bir disiplin haline geldi. Arapça ve Yunanca metinlerin tercümeleri trigonometrinin Latin Batı'da Regiomontanus ile birlikte Rönesans'tan itibaren bir konu olarak benimsenmesine yol açtı. Modern trigonometrinin gelişimi, 17. yüzyıl matematiği ile başlayan ve Leonhard Euler (1748) ile modern biçimine ulaşan Batı Aydınlanma Çağı boyunca değişti.

<span class="mw-page-title-main">Sayısal analiz</span>

Sayısal analiz, diğer adıyla nümerik analiz veya sayısal çözümleme, matematiksel analiz problemlerinin yaklaşık çözümlerinde kullanılan algoritmaları inceler. Bu nedenle birçok mühendislik dalı ve doğa bilimlerinde önem arz eden sayısal analiz, bilimsel hesaplama bilimi olarak da kabul edilebilir. Bilgisayarın işlem kapasitesinin artması ile gündelik hayatta ortaya çıkan birçok sistemin matematiksel modellenmesi mümkün olmuş ve sayısal analiz algoritmaları burada ön plana çıkmıştır. 21. yüzyıldan itibaren bilimsel hesaplama yöntemleri mühendislik ve doğa bilimleri ile sınırlı kalmamış ve sosyal bilimler ile işletme gibi alanları da etkilemiştir. Sayısal analizin alt başlıklarına adi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri ve özellikle veri biliminde önem taşıyan sayısal lineer cebir ile optimizasyon örnek gösterilebilir.

Periyodik fonksiyon, matematikte belli zaman aralığıyla kendini tekrar eden olguları ifade eden fonksiyonlara verilen isimdir. Tekrar etme süresi "periyot" olarak bilinir. Trigonometrik fonksiyonlar en tipik periyodik fonksiyonlardır. Bununla birlikte, diğer periyodik fonksiyonlar da trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak ifade edilebilirler.

<span class="mw-page-title-main">Ebu'l-Vefâ el-Bûzcânî</span> İranlı matematikçi ve astronom (940–998)

Ebu'l Vefa el-Buzcani, İranlı matematikçi ve astronom.

Matematikte, birkaç fonksiyon ya da fonksiyon gruplarının kendi isimleri yeterli öneme layıktır. Bu makaleler fonksiyonları açıklamak için olan daha ayrıntılı olarak gösteren bir listedir. İstatistik dışı ve matematiksel fizik gelişmeleri sonucu özel fonksiyonlar büyük bir teori olmuştur. Modern bir, soyut incelik fonksiyon uzayıları geniş karşılaştırma görünümü, sonsuz-boyutlu ve 'isimsiz' fonksiyonlar içindeki ve simetri ya da ilişki harmonik analiz ve grup temsilileri gibi özellikler ile özel fonksiyonlar ile seçilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Kiriş (geometri)</span>

Geometride kiriş, bir çemberde, iki uç noktası da çemberin üstünde bulunan doğru parçası. Sekant, sekant doğrusu veya kesen, bir kirişin doğruya uzatılmış halidir. Diğer bir ifadesiyle, kiriş bir kesenin çember içinde kalan kısmıdır. Kiriş daha genel anlamıyla, herhangi bir eğrinin iki noktasını birleştiren doğru parçasıdır. Çemberin merkezinden geçen kiriş, aynı zamanda çemberdeki en uzun kiriş, o çemberin çapıdır.

<span class="mw-page-title-main">Birim çember</span> trigonometri ve mampo da çok işlemi olmuş bir çemberdi ve çok kolay bir yönetimi vardır birim çemberi matematiğin temelini olustur bu yüzden çok önemli bir cemberdir

Birim çember Matematikte, yarıçapı bir birim olan çembere birim çember denir. Çoğunlukla, özellikle trigonometride, Öklid düzlemine göre Kartezyen koordinat sisteminde, merkezi orijin üzerinde (0,0) olan ve yarıçapı bir birim olan çemberdir. n birim çember sıklıkla S1; olarak ifade edilir. Genellikle daha büyük boyutları ise birim küredir. (x, y) birim çember üzerinde bir nokta olduğunda, |x| ve |y|, dik olan ve hipotenüsü bir olan üçgenin diğer kenar uzunluklarıdır. Bu nedenle, Pisagor teoremine göre, x ve y bu denklemi karşılamaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Hesap Makinesi (Windows)</span>

Windows Hesap makinesi Microsoft tarafından yapılan kişisel bir hesap makinesi yazılımıdır.

<span class="mw-page-title-main">Lineer interpolasyon</span> eğri uydurma metodu

Lineer interpolasyon, lineer polinomlar kullanarak, verilerin bilindiği noktalardan yeni verilerin üretilmesini sağlayan bir eğri uydurma metodudur.

<span class="mw-page-title-main">Adi logaritma</span>

Adi logaritma taban olarak 10 un kullanıldığı bir logaritma fonksiyonudur. Logaritmada her pozitif sayı taban olarak kullanılabilir. Ama uygulamada en yaygın logaritma tabanları 10 ve e=2,718281.. dir. 10 tabanlı logaritmaya adi logaritma denilir. Fonksiyon olarak gösterilirse de, genellikle 10 indisi ihmal edilerek sadece olarak gösterilmesi de mümkündür.

Bu, saf ve uygulamalı matematik tarihinin bir zaman çizelgesidir.

Trigonometri, üçgenlerdeki kenarlar ve açılar arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik dalıdır. Trigonometri, bu ilişkileri tanımlayan ve dalgalar gibi döngüsel fenomenlere uygulanabilirliği olan trigonometrik fonksiyonları tanımlar.

Bu, matematiğin bir alt dalı ve matematiksel analizin giriş kısmı olan kalkülüs (hesap) konularının bir listesidir.

<span class="mw-page-title-main">Jost Bürgi</span> İsviçreli saat ustası, astronomi aletleri yapımcısı ve matematikçi (1552-1632)

Jost Bürgi, özellikle Kassel ve Prag saraylarında aktif olan İsviçreli bir saatçi, astronomik alet yapımcısı ve bir matematikçiydi.

Matematikte, trigonometrik fonksiyon tabloları bir dizi alanda yararlıdır. Küçük hesap makinelerinin varlığından önce, trigonometrik tablolar navigasyon, bilim ve mühendislik için gerekliydi. Matematiksel tabloların hesaplanması önemli bir çalışma alanıydı ve bu da ilk mekanik hesaplama cihazlarının geliştirilmesine yol açtı.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.