Matematiksel safsata

Matematiksel safsata, aslında ilk bakışta ispatlanmış gibi görünmesine rağmen incelendiğinde hatalı şekilde ispatlandığı ve aslında doğru olmadığı görülen yanılgılardır.

Bazı örneklerde hatalı muhakeme yapıldığı halde doğru sonuca ulaşıldığı durumlar olabilir.^[1] Lakin bu rastlantıların, matematiksel bir geçerliliği yoktur.

1. ${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}}$
2. ${\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {26\!\!\!/}{6\!\!\!/5}}={\frac {2}{5}}}$

Her iki örnekte de, paydaki sayının birler basamağı ile paydadaki sayının onlar basamağı sadeleştirilmiş ve rastlantısal olarak doğru sonuca varılmıştır. Lakin bu işlemin herhangi bir matematiksel dayanağı ya da mantıklı bir izahı yoktur.

Örneğin ${\displaystyle 2=1\!}$ denklemi, matematiksel bir denklem bozukluğudur. Buna göre ${\displaystyle a\!}$ ve ${\displaystyle b\!}$ adlı iki notasyon birbirine eşitlenir. Eşitliğin her iki tarafı a ile çarpılırken, b'nin karesi çıkarılır. Denklemde iki kare farkı ve ortak paranteze alma uygulanır; böylelikle en büyük ortak bölenler sadeleştirilmek istenir. Sadeleştirme sırasında sıfıra bölme kuralı ihlal edilince ${\displaystyle 2=1\!}$ yanılgısı oluşur. Denklem şu şekilde gösterilir:

${\displaystyle a=b\Rightarrow }$ ${\displaystyle a^{2}=a.b\Rightarrow }$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\Rightarrow }$ ${\displaystyle (a+b).(a-b)=b.(a-b)\Rightarrow }$

${\displaystyle (a+b)=b\Rightarrow }$ ${\displaystyle a+a=a\Rightarrow }$ ${\displaystyle 2.a=a\Rightarrow }$ ${\displaystyle 2=1}$

Daha basit bir anlatımla, aşağıdaki varsayım üzerinden hareket edilir:

${\displaystyle 0\times 1=0}$

${\displaystyle 0\times 2=0}$

Ardından şöyle bir eşitlik kurulur:

${\displaystyle 0\times 1=0\times 2\,}$

Sadeleştirme için eşitliğin her iki tarafı 0'a bölünmek istendiğinde matematiksel bir yanılgı ortaya çıkar:

${\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2}$

Çünkü 0'ın 0'a bölümünün tanımsız olduğu gerçeği atlanmıştır. Doğrusu:

${\displaystyle 1<2\,}$

Öncelikle, bu denklemin zaman içinde çoğu matematikçi tarafından değeri kaybettirilmiştir ve bu denklem kesinlikle doğru bilgiler içermez. Bu denklem bazı matematiksel sabitler ile de sağlanmaktadır; ancak doğruluğu kanıtlanmamıştır. Denklemde ${\displaystyle (a-b)\!}$ ifadesi her iki tarafta sadeleştirilirken bu ifadenin sıfıra eşit olduğu ihmal edilmektedir. Mesela, ${\displaystyle 2*0=3*0\!}$ eşitliğinde bir yanlışlık olmamasına karşın, 0'ların sadeleştirilmesi ile ${\displaystyle 2=3\!}$ eşitliği elde edilse de bu hatalıdır. Denklemlerde ${\displaystyle 0\!}$ çarpanı sadeleştirilmez. Çünkü, bir sayının sıfıra bölümü tanımsız olduğundan ve eşitliğin her iki tarafı, ${\displaystyle a-b=0\!}$ olduğundan, ${\displaystyle (a-b)\!}$ çarpanına bölünemez.

Eğer bu denklemde ${\displaystyle a=b\!}$ ise buraya her türlü tam sayı konulabilir. Bu da eğer ${\displaystyle a\!}$ ve ${\displaystyle b\!}$ notasyonlarına ${\displaystyle 0\!}$ sayısı konursa denklemin tamamen bozulacağını kanıtlamaz.

Bir denklem eğerki hiçbir veri olmadan başlatılırsa (örneğin: ${\displaystyle a=b\!}$) denkleme sayı geldiği dizede eğer matematiksel bir yanlış var ise bu denkleme devam edilemez. Buradaki denklem de sayısal veri olmadan başlatılmaktadır. Yine ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ bilinmezlerine ${\displaystyle 0}$ (sıfır) konduğunda denklik sağlanıyorsa da 3. dizeden itibaren denklem bozulmaktadır.

Örneğin ${\displaystyle 1=-1\!}$ denklem bozukluğunun, basit bir kural göz ardı edildiğinde şu şekilde ispatlanabileceği düşünülebilir:^[2]

${\displaystyle {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}\times {\sqrt {1}}={\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\!\Rightarrow }$ ${\displaystyle 1=-1\!}$

Doğrusu:

${\displaystyle 1>-1\,}$

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ ifadesi yalnızca ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ notasyonlarının reel sayı olduğu durumlarda geçerlidir. Notasyonlar negatif olduğunda denklem işlemez hale gelmektedir.