Marangoni sayısı

Marangoni sayısı (Ma), yaygın olarak tanımlandığı üzere, Marangoni akışları ile difüzyon taşıma hızını karşılaştıran bir boyutsuz sayıdır. Marangoni etkisi, sıvının yüzey gerilimindeki gradyanlardan kaynaklanan akışıdır. Difüzyon ise yüzey gerilimindeki gradyanı oluşturan maddenin yayılmasıdır. Bu nedenle, Marangoni sayısı akış ve difüzyon zaman ölçeklerini karşılaştıran bir tür Peclet sayısıdır.

Marangoni sayısı şu şekilde tanımlanır: $${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\dfrac {\mbox{yüzey gerilimi gradyanına bağlı advektif taşıma oranı}}{\mbox{gradyan kaynağının difüzif taşıma oranı}}}}$$

Örneğin, sıcaklık gradyanlarından kaynaklanan yüzey gerilimi gradyanları yaygın bir örnektir.^[1] Bu durumda ilgili difüzyon süreci termal enerji (ısı) difüzyonudur. Bir diğer örnek ise yüzey aktif maddelerin konsantrasyonlarındaki değişimlerden kaynaklanan yüzey gradyanlarıdır, bu durumda difüzyon, yüzey aktif madde moleküllerinin difüzyonudur.

Bu sayı, İtalyan bilim insanı Carlo Marangoni'nin adını taşımaktadır, ancak kullanımı 1950'lerden itibaren başlamış olup^[1][2] Carlo Marangoni tarafından ne keşfedilmiş ne de kullanılmıştır.

Viskozitesi ${\displaystyle \mu }$ olan basit bir sıvı için, yüzey gerilim değişimi ${\displaystyle \Delta \gamma }$ ve yüzeye paralel mesafe ${\displaystyle L}$ ile Marangoni sayısı şu şekilde hesaplanabilir. Bu bağlamda ${\displaystyle L}$ problemin tek uzunluk ölçeği olarak kabul edilmiştir ki bu sıvının en az ${\displaystyle L}$ derinliğinde olması gerektiğini ifade eder. Taşıma hızı genellikle Stokes akışı denklemleri ile tahmin edilir, burada sıvı hızı gerilim gradyanı ile viskoz dağılımı eşitleyerek bulunur. Yüzey gerilimi birim uzunluk başına kuvvet olarak tanımlanır, bu nedenle ortaya çıkan gerilim ${\displaystyle \Delta \gamma /L}$ ölçeğinde, viskoz gerilim ise ${\displaystyle \mu u/L}$ ölçeğinde olmalıdır, burada ${\displaystyle u}$ Marangoni akışının hızıdır. Bu iki değeri eşitleyerek akış hızı ${\displaystyle u=\Delta \gamma /\mu }$ olarak bulunur. Marangoni sayısı bir tür Péclet sayısı olduğundan, hız, uzunluk ve bir difüzyon katsayısı ${\displaystyle D}$ ile bölünerek hesaplanır. Burada ${\displaystyle D}$, yüzey gerilim farkını oluşturan maddenin difüzyon katsayısıdır. Böylece,

$${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\dfrac {uL}{D}}={\dfrac {\Delta \gamma L}{\mu D}}}$$

Bu kavram, su gibi bir sıvı katmanında, bu katman boyunca bir sıcaklık farkı ${\displaystyle \Delta T}$ olduğunda yaygın olarak uygulanır. Bu durum, sıvının buharlaşması veya alttan ısıtılması nedeniyle oluşabilir. Bir sıvının yüzeyinde sıcaklığa bağlı bir yüzey gerilimi vardır ve genellikle sıcaklık arttıkça yüzey gerilimi azalır. Dolayısıyla, küçük bir sıcaklık dalgalanması nedeniyle yüzeyin bir kısmı diğerinden daha sıcak olduğunda, bu yüzey gerilimi farkı nedeniyle daha sıcak olan kısımdan daha soğuk olan kısma doğru bir akış olur, bu akış Marangoni etkisi olarak adlandırılır. Bu akış, termal enerjiyi taşır ve Marangoni sayısı, bu akışla taşınan termal enerjinin oranını termal enerjinin difüzyon oranıyla karşılaştırır.

Bir sıvı katmanının kalınlığı ${\displaystyle L}$, viskozitesi ${\displaystyle \mu }$ ve termal difüzivitesi ${\displaystyle \alpha }$ ile yüzey gerilimi ${\displaystyle \gamma }$, sıcaklık ile değişim oranı ${\displaystyle \partial \gamma /\partial T}$ olan bir sıvı katmanı için Marangoni sayısı şu formül kullanılarak hesaplanabilir:^[3]$${\displaystyle \mathrm {Ma} =-(\partial \gamma /\partial T).{\frac {L.\Delta T}{\mu .\alpha }}}$$

Marangoni sayısı küçük olduğunda termal difüzyon baskın olur ve akış gerçekleşmez, ancak Marangoni sayısı büyük olduğunda yüzey gerilim gradyanları tarafından yönlendirilen akış (konveksiyon) meydana gelir. Bu olgu Bénard-Marangoni konveksiyonu olarak adlandırılır.