Möbius fonksiyonu

Möbius fonksiyonu ${\displaystyle \mu (n)}$, 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda ${\displaystyle \mu (n)}$ ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

Herhangi bir pozitif tam sayı ${\displaystyle n}$ için ${\displaystyle \mu (n)}$, 1'in primitif olan ninci köklerinin toplamını ifade eder. ${\displaystyle \mu (n)}$, ${\displaystyle n}$'nin asal çarpanlarına ayrılışına göre ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ değerlerini alabilir.

Eğer ${\displaystyle n}$,

• çift sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen (herhangi bir asal sayının karesine bölünmeyen) bir sayı ise ${\displaystyle \mu (n)=+1}$,
• tek sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen bir sayı ise ${\displaystyle \mu (n)=-1}$,
• kare içeriyorsa ${\displaystyle \mu (n)=0}$

olur.

Möbius fonksiyonu alternatif olarak şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n)}$

Burada ${\displaystyle \delta }$ Kronecker deltasını, ${\displaystyle \lambda (n)}$ Liouville fonksiyonunu (${\displaystyle (-1)^{\Omega (n)}}$ olarak ifade edilir), ${\displaystyle \omega (n)}$ ve ${\displaystyle \Omega (n)}$ ise Asal omega fonksiyonlarını ifade eder.

${\displaystyle \mu (n)}$'nin ilk 50 pozitif tam sayı için değerleri şu şekildedir:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle \mu (n)}$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

${\displaystyle n}$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

${\displaystyle n}$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
${\displaystyle \mu (n)}$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

${\displaystyle n}$	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

${\displaystyle n}$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

Yukarıdaki değerlerin grafik üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

Möbius fonksiyonunu üreten Dirichlet serisi, Riemann zeta fonksiyonunun çarpımsal tersidir. Eğer ${\displaystyle s}$ reel kısmı 1'den büyük bir karmaşık sayıysa

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

eşitliği sağlanır.

Bu eşitlik ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$'nin Euler çarpımından da görülebilir:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ asal}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

İlgili seriler:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma }$ (Burada ${\displaystyle \gamma }$, Euler-Mascheroni sabiti'ni ifade etmektedir.)

Möbius fonksiyonu için Lambert serisi:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q}$ (${\displaystyle |q|<1}$ için yakınsaktır.)

Asal ${\displaystyle \alpha \leq 2}$ için de şunu yazabiliriz:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Möbius fonksiyonu ${\displaystyle \mu (ab)}$, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ aralarında asal ise çarpımsaldır (${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$).

${\displaystyle n}$'nin her pozitif böleni ${\displaystyle d}$ için ${\displaystyle \mu (d)}$ değerlerinin toplamı sıfırdır: (n = 1 hariç)

${\displaystyle \sum _{d\vert n}{\mu (d)}={\begin{cases}1&{\text{eğer }}n=1{\text{ ise}}\\0&{\text{eğer }}n>1{\text{ ise}}\end{cases}}}$

Bu eşitlik Möbius inversiyon formülü'nün temelini oluşturur ve ${\displaystyle \mu }$'nun aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlar teorisindeki öneminin asıl nedeni budur.

${\displaystyle \mu }$'nun kombinatorikteki diğer uygulamaları Pólya'nın sayma teoremi'nin kullanımıyla beraber kombinatoryal gruplar ve kombinatoryal sayma ile bağlantılıdır.

Möbius fonksiyonu tarafından sağlanan bazı özdeşlikler:^[1]

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\cos \left({\frac {\pi (jk-1)}{2}}\right)\mu (k)=1}$.

Möbius fonksiyonunun ortalama değeri sıfırdır. Bu iddia, asal sayı teoremine eşittir.^[2]

Sayılar teorisinde Möbius fonksiyonu ile yakından ilgili bir diğer fonksiyon her doğal sayı ${\displaystyle n}$ için aşağıdaki gibi tanımlanan Mertens fonksiyonu'dur.

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\mu (k)}}$

Bu fonksiyon, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılıdır. Bunun hakkında daha fazla bilgi için Mertens konjektürü sayfasına bakabilirsiniz.

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ebob} (k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}}$

eşitliğinden Mertens fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}.}$

Burada ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$, Farey dizisi'nin ninci kümesini belirtmektedir. Bu eşitlik, Franel-Landau teoremi'nin kanıtında kullanılmıştır.

• Asal omega fonksiyonu
• Liouville fonksiyonu
• Mertens fonksiyonu
• Möbius inversiyon formülü
• Mertens konjektürü
• Riemann hipotezi
• Asal sayı teoremi