Lorentz dönüşümü

Fizikte, Lorentz dönüşümü (veya dönüşümleri) adını Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz'den almıştır. Lorentz ve diğerlerinin referans çerçevesinden bağımsız ışık hızının nasıl gözlemleneceğini açıklama ve elektromanyetizma yasalarının simetrisini anlama girişimlerinin sonucudur. Lorentz dönüşümü, özel görelilik ile uyum içerisindedir. Ancak özel görelilikten daha önce ortaya atılmıştır.

Dönüşümler iki gözlemci tarafından ölçülen uzay ve zaman ölçümlerinin nasıl ilişkili olduğunu açıklar. Farklı hızlarda hareket eden gözlemcilerin farklı uzunluklar, geçen zamanlar ve hatta farklı olayların sıralamaları ölçebileceği gerçeğini yansıtır. Mutlak uzay ve mutlak zaman varsayımında bulunan Newton fiziğinin Galile dönüşümünün (bkz: Galile Değişmezliği) yerini alır. Galile dönüşümü sadece ışık hızından çok daha küçük, göreli hızlarda iyi bir yaklaşımdır.

Lorentz dönüşümü bir lineer dönüşümdür. Bu uzayda bir dönme içerebilir, dönmesiz bir Lorentz dönüşümü Lorentz artışı olarak adlandırılır.

Minkovski uzayı'nda, Lorentz dönüşümleri herhangi iki olay arasında uzay aralığını korumaktadır. Bunun kökeni de sabit kalan uzay-zamanda sadece olay dönüşümlerini tanımlamak, böylece hiperbolik dönme olarak kabul edilebilir bir Minkovski uzayı elde edilir ve ayrıca bu dönüşümlerin çevirilerinin daha genel kümesi Poincaré grubu olarak da bilinir.

Woldemar Voigt, George FitzGerald, Joseph Larmor ve Hendrik Lorentz'in kendisi dahil birçok fizikçi 1887'den beri bu eşitlikler ile kastedilen fizik konularını tartışıyordu.^[1]

Oliver Heaviside 1889'un başında Maxwell denklemlerinden yükün küresel bir dağılım olduğunu küresel simetri'sinin olduğunu göstermişti, bunu çevreleyen elektrik alanı'nın yükün etere göre hareketinden sonra küresel simetrisinin kalkacağını söyledi. FitzGerald bu Heaviside bozulmasına moleküller arası güç sonuçlarını ekledi. Birkaç aydan sonra, FitzGerald hareketli cismin büzülmesi varsayımını yayınlarak 1887 Michelson ve Morley'nin eter-rüzgarı deneyininin şaşırtıcı sonucunu açıkladı. 1892'de Lorentz, daha sonra FitzGerald–Lorentz büzülme hipotezi olarak adlandırılacak olan aynı fikri bağımsız olarak ve daha detaylı bir şekilde sundu.^[2] Bu açıklamalar 1905 öncesinde yaygın olarak bilinmekteydi.^[3]

Esîr hipotezine inanan Lorentz (1892–1904) ve Larmor (1897–1900), esîrden, hareketli bir çerçeveye dönüştürüldüğünde sabit kalan Maxwell denklemleri altındaki dönüşümü araştırıyordu. FitzGerald–Lorentz kısalma hipotezinini genişlettiler ve zaman koordinatının tıpkı yerel zaman gibi değiştirilmiş olması gerektiğini buldular. Henri Poincaré, yerel zamana, ışık hızının hareketli çerçevelerde sabit olduğu varsayımı altında saat senkronizasyonunun bir sonucu olduğu yorumunu kattı.^[4] Larmor'un kritik zaman genişlemesinin, onun denklemlerinin doğal bir özelliği olduğunu anlayan ilk kişi olduğu bilinir.^[5]

1905'te ilk olarak, Poincaré dönüşümün bir öbeğin özelliklerine sahip olduğunu fark eden ilk kişiydi ve ona Lorentz'in adını verdi.^[6] Aynı yılın sonlarında Albert Einstein, görelilik ilkesi ve ışık hızının sabit olduğu varsayımı altında ve esîr hipotezini terk ederek, Lorentz dönüşümünü genişletti ve şimdiki adıyla özel göreliliği yayımladı.^[7]

Her biri uzay ve zaman aralıkları ölçmek için kendi Kartezyen koordinat sistemini kullanan O ve O'′ gibi iki gözlemci düşünün. O (t,x,y,z) ve O'′ (t'′,x'′ ,y'′,z'′) kullansın. Koordinat sistemlerini 3 boyut odaklı olduğunu varsayalım böylece, x-ekseni ve x'′-ekseni doğrudaş, y-ekseni ve y'′-ekseni paralel ve z-ekseni ve z'′-ekseni paralel olsun. Ortak x ekseni boyunca Iki gözlemci arasındaki göreceli hız olan v; O ölçeği O′ ve O'′ taşıyan hız v ile xx'′ ekseni boyunca üstüstedir; eğer O ölçeği O′ taşıyan hız v ise xx'′ eksen boyunca üst üstedir. Ayrıca koordinat sistemlerinin merkezi aynı, zaman ve pozisyonları üstüsüte, yani aynı olduğunu varsayalım. Bu durum koordinat sistemleri standart yapılandırma içinde olarak ifade edilir.

Bir Lorentz dönüşümünün tersi, koordinatları tam tersi yönde ilişkilendirir; (t'′, x'′, y'′ ,z'′) ölçekli O'′ dan (t, x, y, z) Oya, böylece t, x, y, z, t'′,' 'x'′ ,y'′ ,z'′ ye bağlıdır. Matematiksel model, orijinal dönüşüm ile neredeyse aynıdır. Tek fark tek tip bağıl hız olumsuzlaması olan ( v'′den -v'ye) astarlı ve astarsız miktarda değişim, çünkü O'′ 'v hızda O ya göre hareket eder ve eşdeğer, O hareket -v hızda O' ya göre hareket eder. Her ne kadar daha temelde bu simetri, ters dönüşüm (olan değişme ve olumsuzlama ezberci cebir bir sürü kaydeder yürüten) bulmak için zahmetsiz hale getiriyor; bu tüm fiziksel yasaları bir Lorentz dönüşümü altında değişmeden kalması gerektiğini vurgulamaktadır.^[8] { { çapa | destek } } Aşağıda, gösterilen yönlerdeki Lorentz dönüşümleri "gidiş" olarak adlandırılır.

Bunlar en basit bir halleridir. Standard yapılandırımlı çerçeveler için Lorentz dönüşümü şu şekilde gösterilebilir (örnek için bakınız^[10] ve^[11]):

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

burada:

• v, x-yönünde hareketli çerçeveler boyunca göreli hız,
• c ışık hızı'dır,
• ${\displaystyle \ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ^{2}}}}}}$ Lorentz faktörü'dür (yunan alfabesinde gama),
• ${\displaystyle \ \beta ={\frac {v}{c}}}$ (yunan alfabesinde beta), yine x-yönünde.

Buradaki β ve γ literatür boyunca standarttır.^[12] Bu semboller makalenin geri kalanı için aksi belirtilmediği sürece kullanılacaktır. Lineer denklem sistemleri (daha teknik bir ifade olarak lineer dönüşüm), matrisbiçiminde yazılabilir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}},}$

Görelilik ilkesine göre, referansın öncelikli çerçevesi yoktur. Bu nedenle ters dönüşümler çerçeve F 'den F çerçevesine sadece v olumsuzlayarak verilmelidir:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z',\end{aligned}}}$

burada γ değeri değişmeden kalır.

Buraya kadar olan denklemler yalnızca x-yönünde artış içindi. Standart yapılandırma x yerine y veya z yönünde de eşit ölçüde iyi çalışır ve böylece sonuçlari da benzerdir.

y-yönü için:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-vy/c^{2}\right)\\x'&=x\\y'&=\gamma \left(y-vt\right)\\z'&=z\end{aligned}}}$

aşağıdaki şekilde özetlenirse

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&-\beta \gamma &0\\0&1&0&0\\-\beta \gamma &0&\gamma &0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}},}$

burada v ve β şimdi y-yönündedir.

z-yönü için:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-vz/c^{2}\right)\\x'&=x\\y'&=y\\z'&=\gamma \left(z-vt\right)\\\end{aligned}}}$

aşağıdaki şekilde özetlenirse

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&0&-\beta \gamma \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta \gamma &0&0&\gamma \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}},}$

burada v ve β şimdi z-yönündedir.

Lorentz veya boost(gidiş) matrisi genellikle Λ (yunan alfabesinde büyük lambda) ile ifade edilir. Yukarıda dönüşümler dört-pozisyon X'a uygulanmıştır,

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\ ,\quad \mathbf {X} '={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}},}$

Yukarıdaki yönlerden birindeki gidiş için Lorentz dönüşümü tek bir matris denklemi olarak yazılabilir:

${\displaystyle \mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(v)\mathbf {X} .}$

v hızında keyfi yönde hareket için, O, 'O' nun F' koordinat çerçevesindeki −v yönündeki hareketini gözlemlerken O', 'O yu F koordinat çerçevesi içinde v yönündeki hareketini gözlemler. Uzaysal vektör r'yi, v'ye dik ve paralel bileşenlere ayırmak daha kullanışlı olacaktır:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}}$

böylece

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {r} _{\bot }\cdot \mathbf {v} +\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} =r_{\parallel }v}$

burada • nokta çarpım ifadesidir (daha fazla bilgi için ortogonalite'ye bakınız). v yönünde sadece zaman ve r_‖ bileşeni;

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r'} &=\mathbf {r} _{\perp }+\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\end{aligned}}}$

Lorentz faktörü ile "çarpık" şekli:

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}}$.

Paralel ve dik bileşenler r′ yerine ${\displaystyle \mathbf {r} _{\bot }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\parallel }}$ koyularak yok edilebilir:

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\left(\gamma -1\right)\mathbf {r} _{\parallel }-\gamma \mathbf {v} t\,.}$

r_‖ ve v olduğu için elimizde

${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=r_{\parallel }{\dfrac {\mathbf {v} }{v}}=\left({\dfrac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{v}}\right){\frac {\mathbf {v} }{v}}}$ var.

buradan geomtrik ve cebirsel olarak:

• v/v, r_‖ ile aynı yönde işaret edilen boyutsuz birim vektördür,
• r_‖ = (r • v)/v,v yönünde r'nin izdüşümüdür,

r_‖ yerine koymak için v faktörü verilir.

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} -\gamma t\right)\mathbf {v} \,.}$

Paralel ve dikey bileşenleri ortadan kaldırma yöntemi, paralel-dik şeklinde yazılan herhangi bir Lorentz dönüşümüne uygulanabilir.

Bu denklemler blok matris şeklinde ifade edilebilir

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }\\-\gamma {\boldsymbol {\beta }}&\mathbf {I} +(\gamma -1){\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }/\beta ^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}\,,}$

burada I 3×3 birim matris'tir. veβ = v/c göreli hız vektörüdür(c birimiyle) sütun vektörü – in |kartezyen ve tensör indisli gösterim'dir:

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{bmatrix}}}$

β^T = v^T/c devrik – bir satır vektör'dür:

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }={\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }}{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}&\beta _{y}&\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{bmatrix}}}$

veβ,β nın büyüklüğü'dür:

${\displaystyle \beta =|{\boldsymbol {\beta }}|={\sqrt {\beta _{x}^{2}+\beta _{y}^{2}+\beta _{z}^{2}}}\,.}$

Daha açıkça ifade ile:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \,\beta _{x}&-\gamma \,\beta _{y}&-\gamma \,\beta _{z}\\-\gamma \,\beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,.}$

Λdönüşümü önceki ile aynı formda yazılabilir,

${\displaystyle \mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(\mathbf {v} )\mathbf {X} .}$

olan bir yapıya sahiptir:^[13]${\displaystyle {\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Lambda _{00}&\Lambda _{01}&\Lambda _{02}&\Lambda _{03}\\\Lambda _{10}&\Lambda _{11}&\Lambda _{12}&\Lambda _{13}\\\Lambda _{20}&\Lambda _{21}&\Lambda _{22}&\Lambda _{23}\\\Lambda _{30}&\Lambda _{31}&\Lambda _{32}&\Lambda _{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$

ve yukarıdan çıkarılabilir bileşenleridir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}\,\!}$

burada δ_ij Kronecker deltadır., ve: Latin harfleri için uzaysal bileşen 1, 2, 3, değerlerini alır ve 4-vektör (yunan harfi burada alınan değerler olan 0, 1, 2, 3 uzay ve zaman bileşenleri içindir.).

Dönüşüm yalnızca "hareket," değildir i.e., x, y gibi iki çerçevenin sürekli bir dönüşümü ve z ekseni paralel uzayzaman merkezleri denk olanıdır. En genel ayrıca üç eksende bir dönme içeren uygun Lorentz dönüşümüdür, çünkü iki hareketin(boost) yapısı, saf bir boost değil ama bir rotasyonu bir hareket izler .Bu dönüş(rotasyon), Thomas devinimi'ne yol açar. Bu boost(hareket) bir simetrik matris tarafından verilir, ama genel Lorentz dönüşüm matrisinin simetriğe ihtiyacı yoktur.

Yapıları iki Lorentz boost B(u) ve B(v)'nin hızları u ve vile verilir:^[14][15]${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B\left(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \right)\mathrm {Gyr} \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} \right]=\mathrm {Gyr} \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} \right]B\left(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \right)}$, burada

• B(v) 4 × 4 matristir v bileşeni kullanılır, örneğin v₁, v₂, v₃ matrisler girilebilir veya kesirli bileşen v/c yukardaki gösterim içinde kullanılabilir,
• ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }$ hız-toplamı'dır,
• Gyr[u,v] (büyük G) bileşimden kaynaklanan dönmedir.Eğer uzay koordinatlarına eklenen rotasyon 3 × 3 matris formu ile verilirse gyr[u,v], sonra 4 × 4 matris dönmesi 4-koordinat eklenerek verilirir:^[14]:${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}\,,}$
• gyr (küçük g) jiroskobik Thomas deviniminin soyut Jirovektör uzayı'dır,w terimi eklenen bir hız operatörü olarak tanımlanır:

${\displaystyle {\text{gyr}}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$

bütün w için.

iki Lorentz dönüşümü L(u, U) ve L(v, V) yapısında U ve V rotasyonları için içerik:^[16]${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$

Lorentz dönüşümleri Minkovski ışık konisi uzay-zaman diyagramı'nda tasvir edilebilir.

Particle travelling at constant velocity (straight worldline coincident with time t′ axis).

Accelerating particle (curved worldline).

Lorentz transformations on the Minkovski light cone spacetime diagram, for one space and one time dimension.

Lorentz dönüşümü bir parametre tanımlanarak başka bir kullanışlı forma dökülebilir ϕ Hız'dır (hiperbolik açı'nın bir örneği) böylece

${\displaystyle e^{\phi }=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}},}$

ve böylece

${\displaystyle e^{-\phi }=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}.}$

Eşdeğerlilik:

${\displaystyle \phi =\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,}$

Daha sonra standart yapılandırmayla Lorentz dönüşümü:

${\displaystyle {\begin{aligned}&ct-x=e^{-\phi }(ct'-x')\\&ct+x=e^{\phi }(ct'+x')\\&y=y'\\&z=z'.\end{aligned}}}$

Yukardaki bağıntılardan e^φ ve e^−φ

${\displaystyle \gamma =\cosh \phi ={e^{\phi }+e^{-\phi } \over 2},}$

${\displaystyle \beta \gamma =\sinh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over 2},}$

ve böylece,

${\displaystyle \beta =\tanh \phi ={e^{\phi }-e^{-\phi } \over e^{\phi }+e^{-\phi }}.}$

Bizim bağıntılar matris formunda yerine konursa:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\ .}$

Böylece, Minkovski uzayı koordinatlarında Lorentz dönüşümünün hiperbolik rotasyonu gösterilebilir. Buradaϕ parametresi rotasyonun hiperbolik açısının gösterimidir, sıklıkla hız kaynaklıdır. Bu dönüşüm bazen yukarıda görüntülendiği gibi bir Minkowski diyagramı ile gösterilebilir.

Verilen bir koordinat sisteminde x^μ, eğer iki olay

${\displaystyle (\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)=(t_{B}-t_{A},x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})\ ,}$

tarafından A ve B olarak ayrılırsa

${\displaystyle s^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\ .}$

ile verilen bu uzayzaman aralığı Böylece diğer kullanışlı formu Minkowski metriği yazılabilir. Bu koordinat sistemi içinde,

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\ .}$

daha sonra,

${\displaystyle s^{2}={\begin{bmatrix}c\Delta t&\Delta x&\Delta y&\Delta z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\Delta t\\\Delta x\\\Delta y\\\Delta z\end{bmatrix}}}$

yazabiliriz veya, Einstein Toplam kuralı kullanılarak,

${\displaystyle s^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }\ .}$

Şimdi bir koordinat dönüşümü yaptığımızı varsayalım x^μ → x′ ^μ.Daha sonra, Bu koordinat sistemindeki aralık şöyle verilmektedir

${\displaystyle s'^{2}={\begin{bmatrix}c\Delta t'&\Delta x'&\Delta y'&\Delta z'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\Delta t'\\\Delta x'\\\Delta y'\\\Delta z'\end{bmatrix}}}$

ile verilen bu koordinat sistemi içindeki aralık veya

${\displaystyle s'^{2}=\eta _{\mu \nu }x'^{\mu }x'^{\nu }\ .}$

Bu özel relativite'nin bir sonucudur bu aralık bir değişmezdir.Bu, s² = s′ ²dir.Bunu tutmak için, şunu gösterebiliriz^[17] bu koordinat dönüşümü için (ancak yeterli değildir) gerekli olan form

${\displaystyle x'^{\mu }=x^{\nu }\Lambda _{\nu }^{\mu }+C^{\mu }\ .}$

Burada, C^μ bir sabit vektödür ve Λ^μ_ν bir sabit matristir, burada bize gerekli olan

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\Lambda _{\alpha }^{\mu }\Lambda _{\beta }^{\nu }=\eta _{\alpha \beta }\ .}$

Böyle bir dönüşüm Poincaré dönüşümü]] veya homojen olmayan Lorentz dönüşümü olarak adlandırılır.^[18] The C^a Bir uzay zaman çevrimini temsil etmektedir.Daha sonra C^a = 0,homojen Lorentz dönüşümü veya basit bir Lorentz dönüşümü olarak adlandırılır.

determinant'ı alınırsa

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }=\eta _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \det(\Lambda _{b}^{a})=\pm 1\ .}$

bize verir. Bu durum:

• Uygun Lorentz dönüşümlerinde det(Λ^μ_ν) = +1 var ve altgrup özel ortogonal grup olarak adlandırılır SO(1,3).
• Yanlış Lorentz dönüşümleri det(Λ^μ_ν) = −1 dır, Herhangi iki yanlış Lorentz dönüşümünün bir ürünü uygun bir Lorentz dönüşümü olacak sekilde bir alt grup oluşturmazlar.

Λ için en yukarıdaki tanıma bakıldığında gösterilebilir ki (Λ⁰₀)² ≥ 1, bu yüzden de Λ⁰₀ ≥ 1 veya Λ⁰₀ ≤ −1, sırasıyla ortokronus ve non-ortokronus dur. Uygun Lorentz dönüşümlerinin önemli bir alt grubu Uygun ortokronus Lorentz dönüşümleri dir ve bu boost ve rotasyonlar tamamen oluşur. Herhangi bir Lorentz dönüşümü uygun bir ortokronus olarak yazılabilir, birlikte iki ayrı dönüşümden biri veya her ikisi ile; P uzay tersleme ve T zaman tersleme, olan sıfırdan farklı unsurlar:

${\displaystyle P_{0}^{0}=1,P_{1}^{1}=P_{2}^{2}=P_{3}^{3}=-1}$

${\displaystyle T_{0}^{0}=-1,T_{1}^{1}=T_{2}^{2}=T_{3}^{3}=1}$

Poincaré dönüşümleri kümesi bir grup özellikleri taşır ve Poincaré grubu olarak adlandırılır.Erlangen programı adı altında Lorentz dönüşümlerini birleştiren Poincaré grubu tarafından tanımlanan geometrik gösterimi Minkovski uzayı olarak görülebilir.Benzer bir şekilde, tüm Lorenz dönüşümler grubu, bir grup oluşturur, adı Lorentz grubu'dur.

Lorentz dönüşümleri altında değişmez bir büyüklük Lorentz skaler'i bir olarak bilinir.

• Elektromanyetik alan

• Einstein, Albert (1961), Relativity: The Special and the General Theory, New York: Marxists Internet Archive (1995 tarihinde yayınlandı), ISBN 0-517-88441-0, 22 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 30 Eylül 2013 
• Ernst, A.; Hsu, J.-P. (2001), "First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887" (PDF), Chinese Journal of Physics, 39 (3), ss. 211-230, Bibcode:2001ChJPh..39..211E, 16 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 30 Eylül 2013 
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004), Classical dynamics of particles and systems, 5, Belmont, [CA.]: Brooks/Cole, ss. 546-579, ISBN 0-534-40896-6 
• Voigt, Woldemar (1887), "Über das Doppler'sche princip", Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen, 2, ss. 41-51 

• Derivation of the Lorentz transformations 20 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
• The Paradox of Special Relativity. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
• Relativity 29 Ağustos 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. – a chapter from an online textbook
• Special Relativity: The Lorentz Transformation, The Velocity Addition Law on Project PHYSNET14 Mayıs 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Warp Special Relativity Simulator 25 Temmuz 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
• Animation clip 25 Temmuz 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. visualizing the Lorentz transformation.
• Lorentz Frames Animated 8 Ağustos 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.
• Vector Lorentz Transformations 22 Aralık 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Vector Lorentz Transformations of time, space, velocity and acceleration.