İçeriğe atla

Logaritmik spiral

Bir logaritmik spiral
Bir notilus kabuğunun kesitinde, logaritmik spiral şeklinde dizilmiş bölmeler
İzlanda üzerinde, logaritmik spiral şekli almış bir alçak basınç alanı
Kolları logaritmik spiral şeklinde şekillenmiş olan Messier 51a gökadası
Denizatı kuyruğu

Logaritmik (veya eşaçılı) spiral, doğada sık rastlanan bir spiral çeşididir. İlk olarak 17. yüzyılda René Descartes ve Jakob Bernoulli tarafından tanımlanmış ve incelenmiştir. Bernoulli bu eğriye, kendine özgü matematiksel özelliklerinden dolayı, spira mirabilis (mucizevi spiral) adını vermiş ve mezar taşına bir logaritmik spiral oyulmasını vasiyet etmiştir.

Kutupsal koordinat sisteminde logaritmik spiral şu eşitlikle ifade edilir:

Burada a ve b gerçel parametreler, e ise Euler sayısıdır. Aynı eşitlik şu şekilde de yazılabilir:

nitekim logaritmik ismi de buradan gelir. Kartezyen koordinat sisteminde aynı eğri, şu parametrik denklem çiftiyle ifade edilebilir:

Özellikler

Altın bölüm

Logaritmik spiralin ilginç özelliklerinden biri, orijinden çıkan her doğrunun spirali aynı açıyla kesmesidir. Bir başka deyişle, orijinden çıkan her doğru, spirali kestiği her noktada, spirale teğet geçen doğruyu aynı açıyla keser. Logaritmik spirale eşaçılı denmesinin sebebi de budur. Bu kesme açısı, vektör hesabı yardımıyla bulunabilir:

Bu formüle göre, b,yi sıfır aldığımızda orijinden çıkan doğrular spirali hep dik kesecektir, yani spiral a yarıçaplı bir çemberdir. (Elbette aynı sonuç polar denklemde b'yi sıfır alarak da görülebilir.)

Orijinden çıkan herhangi bir doğrunun logaritmik spirali kestiği noktalar, bir geometrik dizi halinde birbirlerinden uzaklaşırlar. Her bir noktanın orijine uzaklığı, bir önceki noktanın orijine uzaklığının katıdır. Bir başka spiral çeşidi olan Arşimet spiralinde ise bu noktaların arasındaki mesafe hep aynı kalır.

Logaritmik spiral üzerinde sabit bir noktadan hareket edip spiral boyunca orijine doğru ilerlersek, orijine varmadan önce çevresini sonsuz kere turlamamız gerekir, fakat katedeceğimiz toplam mesafe sonludur: . (Burada r başlangıç noktasının orijine uzaklığıdır.) Bu şaşırtıcı sonucu ilk keşfeden, 17. yüzyıl matematikçisi Evangelista Torricelli olmuştur.

Logaritmik spiralin bulunduğu düzlemin ölçeğini değiştirmek, spirali orijin çevresinde döndürmekle aynı sonucu verir. n bir tam sayı olmak üzere, ölçeği oranında büyütmek ya da küçültmek, spirali orijin çevresinde n tam tur döndürmekle aynı şeydir ve bize orijinal spiralin aynısını verir. Dolayısıyla logaritmik spiral, basit bir fraktal örneğidir.

Doğada logaritmik spiral

Logaritmik spiral, doğada rastlanan pek çok süreçte kendiliğinden oluşur.

  • Bir şahin, havadan avına yaklaşırken logaritmik spiral izler. Şahinin avını en iyi görebildiği açı sabittir ve şahin uçuş yönünü, bu açıyı sabit tutacak şekilde belirler. Bu da bir logaritmik spiral oluşturur.
  • Uçabilen böcekler, bir ışık kaynağına yaklaşırken logaritmik spiral izlerler. Bunun sebebi, ışık kaynağı ve uçuş yönleri arasındaki açıyı sabit tutmalarıdır. (Doğada tek kuvvetli ışık kaynağı güneş ya da ay olduğundan, ışık kaynağına sabit bir açıyla uçmak böceklerin dümdüz ilerlemesini sağlar. Yapay ışık kaynaklarına sabit bir açıyla ilerlemek ise düz bir hat yerine logaritmik spiral oluşturur.)
  • Sarmal gökadaların kolları logaritmik spiral şeklinde açılır. İçinde bulunduğumuz Samanyolu gökadası da dört ana kolu olan bir sarmal gökadadır.
  • Tropik kasırgalar logaritmik spiral şeklini alırlar.
  • Notilus gibi pek çok deniz canlısı, kabuğunu logaritmik spiral şeklinde inşa eder. Bunun sebebi, bu hayvanların büyüme hızlarının mevcut büyüklüklerine orantılı olması, yani hayvanların üstel bir hızla büyümeleridir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Yörünge</span> bir gökcisminin bir diğerinin kütleçekimi etkisi altında izlediği yola yörünge adı verilir

Gök mekaniğinde yörünge veya yörünge hareketi, bir gezegenin yıldız etrafındaki veya bir doğal uydunun gezegen etrafındaki veya bir gezegen, doğal uydu, asteroit veya lagrange noktası gibi uzaydaki bir nesne veya konum etrafındaki yapay uydunun izlediği kavisli bir yoldur. Yörünge, düzenli olarak tekrar eden bir yolu tanımlamakla birlikte, tekrar etmeyen bir yolu da ifade edebilir. Gezegenler ve uydular Kepler'in gezegensel hareket yasalarında tanımlandığı gibi, kütle merkezi elips biçiminde izledikleri yolun odak noktasında olacak şekilde yaklaşık olarak eliptik yörüngeleri takip ederler.

<span class="mw-page-title-main">Küresel koordinat sistemi</span>

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.

<span class="mw-page-title-main">Kutupsal koordinat sistemi</span>

Matematikte kutupsal koordinat sistemi veya polar koordinat sistemi, noktaların birer açı ve Kartezyen koordinat sistemindeki orijinin eşdeğeri olup "kutup" olarak bilinen bir merkez noktaya olan uzaklıklar ile tanımlandığı, iki boyutlu bir koordinat sistemidir. Kutupsal koordinat sistemi, matematik, fizik, mühendislik, denizcilik, robot teknolojisi gibi birçok alanda kullanılır. Bu sistem, iki nokta arasındaki ilişkinin açı ve uzaklık ile daha kolay ifade edilebildiği durumlar için özellikle kullanışlıdır. Kartezyen koordinat sisteminde, böyle bir ilişki ancak trigonometrik formüller ile bulunabilir. Kutupsal denklemler, çoğu eğri tipi için en kolay, bazıları içinse yegâne tanımlama yöntemidir.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

<span class="mw-page-title-main">Arşimet spirali</span> boyutlu düzlemde, kaynağından çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğru üzerinde, sabit hızla dışarıya doğru ilerleyen bir noktanın izleyeceği eğri

Arşimet spirali ya da aritmetik spiral; iki boyutlu düzlemde, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğru üzerinde, sabit hızla dışarıya doğru ilerleyen bir noktanın izleyeceği eğridir. İsmini, M.Ö. 3. yüzyılda yaşamış ve Spiraller Üzerine adlı kitabında bu eğrileri incelemiş olan Yunan matematikçi Arşimet'ten alır.

<span class="mw-page-title-main">Hiperbolik spiral</span>

Hiperbolik spiral, kutupsal koordinat sisteminde

Burada, en yaygın olarak kullanılan koordinat dönüşümü bazılarının bir listesi verilmiştir. Kısmi türevler alınırken çarpımın türevi gibi davranıldığı akıldan çıkarılmamalıdır. Bir örnek olarak fonksiyonunda üç çarpım vardır

Matematikte ters trigonometrik fonksiyonlar, tanım kümesinde bulunan trigonometrik fonksiyonların ters fonksiyonudur.

<span class="mw-page-title-main">Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı</span>

NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, z ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır, bu açısı x-y düzlemi ve x ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.

<span class="mw-page-title-main">Atış hareketi</span>

Atış hareketi, Dünya yüzeyine yakın yerlerde; düşen, fırlatılan cisimlerin yaptığı harekettir. Bu harekette cismin ivmesi sabittir ve yerçekimi ivmesine eşittir.

Fizikte, dairesel hareket bir nesnenin dairesel bir yörünge boyunca bir rotasyon ya da çemberin çevresinde yaptığı harekettir. Rotasyonun sürekli açısal değeriyle birlikte düzgün ya da değişen rotasyon değeriyle düzensiz olabilir. 3 boyutlu bir cismin sabit ekseni etrafındaki rotasyon parçalarının dairesel hareketini içerir. Hareketin denkliği bir cisim kütlesinin merkezini tanımlar.

Matematikte, uzunluğu 1 olan ve uzayda bir norma sahip olan vektöre birim vektör denir. Birim vektör genellikle ‘û‘ gibi şapkalı ve küçük harflerle ifade edilir. Normalize vektör veya versor olmayan bir sıfır vektörü u ile eş yönlü olan birim vektörü u

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi</span>

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

Matematiksel fizikte, hareket denklemi, fiziksel sistemin davranışını, sistem hareketinin zamanı ve fonksiyonu olarak tanımlar. Daha detaya girmek gerekirse; hareket denklemi, matematiksel fonksiyonların kümesini "devinimsel değişkenler" cinsinden izah eder. Normal olarak konumlar, koordinat ve zaman kullanılır ama diğer değişkenler de kullanılabilir: momentum bileşenleri ve zaman gibi. En genel seçim genelleştirilmiş koordinatlardır ve bu koordinatlar fiziksel sistemin karakteristiğinin herhangi bir uygun değişkeni olabilirler. Klasik mekanikte fonksiyonlar öklid uzayında tanımlanmıştır ama görelilikte öklid uzayı, eğilmiş uzay ile tanımlanmıştır. Eğer sistemin dinamiği biliniyor ise denklemler dinamiğin hareketini izah eden diferansiyel denklemlerin çözümleri olacaktır.

<span class="mw-page-title-main">Kepler yörüngesi</span> üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklayan kavram

Gök mekaniği olarak, Kepler yörüngesi üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklar.. Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Sabit bir eksen etrafında dönme</span> dönme hareketinin özel bir durumu

Sabit bir eksen etrafında dönme dönme hareketinin özel bir durumudur. Sabit eksen hipotez yönünü değiştirerek bir eksen olasılığını dışlar ve salınım devinim gibi olguları tarif edemez. Euler’in dönme teoremine göre, Aynı zamanda, sabit eksenler boyunca eş zamanlı rotasyon imkânsızdır. Eğer iki rotasyona aynı anda kuvvet uygulanırsa, rotasyonun yeni ekseni oluşur.

<span class="mw-page-title-main">Gerçek anomali</span>

Gerçek anomali, gök mekaniğinde Kepler yörüngesinde hareket etmekte olan bir cismin pozisyonunu belirleyen açısal bir parametredir. Gerçek anomali, bir yörüngedeki çeşitli noktaların konumlarını tanımlamak için kullanılan bir terimdir. Enberi noktası yönü ile elipsin ada odağından görünen cismin mevcut konumu yani nesnenin etrafında döndüğü nokta arasındaki açıyı göstermektedir.

Trigonometride, trigonometrik özdeşlikler trigonometrik fonksiyonları içeren ve eşitliğin her iki tarafının da tanımlandığı değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir. Geometrik olarak, bunlar bir veya daha fazla açının belirli fonksiyonlarını içeren özdeşliklerdir. Bunlar üçgen özdeşliklerinden farklıdır, bunlar potansiyel olarak açıları içeren ama aynı zamanda kenar uzunluklarını veya bir üçgenin diğer uzunluklarını da içeren özdeşliklerdir.

Trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır ve bunlar arasındaki trigonometrik özdeşliklerin kanıtları seçilen tanıma bağlıdır. En eski ve en temel tanımlar dik üçgenlerin geometrisine ve kenarları arasındaki orana dayanır. Bu makalede verilen kanıtlar bu tanımları kullanır ve dolayısıyla bir dik açıdan büyük olmayan negatif olmayan açılar için geçerlidir. Daha büyük ve negatif açılar için Trigonometrik fonksiyonlar bölümüne bakınız.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi şeklinde yazılır, bu da sin(x) fonksiyonunun belirli bir açı x = a için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.