Liouville teoremi (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Liouville teoremi tam fonksiyonların sınırlılığıyla ilgili temel bir teoremdir.

Bilinen halini esas kanıtlayan Cauchy olsa da Joseph Liouville'in ismine atfedilmiştir.^[1][2].

Liouville teoremi: Tam bir fonksiyon sınırlı ise, o zaman sabittir.

Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir.Başka bir deyişle, sabit olmayan bir tam fonkiyon karmaşık düzlemde sınırlı kalamaz.

Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir.

Teorem, "holomorf fonksiyonların analitikliği" gerçeğinden elde edilir. f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

Buradaki ${\displaystyle a_{k}}$ terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla)

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }$

olarak yazılır (C_r, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir.) Doğrudan

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}\,d\zeta \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,d\zeta \leq {\frac {M}{r^{k}}},}$

tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| ≤ M eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k ≥ 1 için a_k = 0 elde edilir. Böylelikle, f(z) = a₀ olur ve teorem kanıtlanmış olur.

Cebirin temel teoreminin Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır.^[3]

Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| ≤ |g| ise, o zaman bir α sayısı için f = α.g olur. Bunu göstermek içinse ${\displaystyle h={\frac {f}{g}}}$ fonksiyonunu ele alalım. h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. h 'nin holomorf olması g⁻¹(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi, g(a) = 0 ise varsayımdaki |f| ≤ |g| sayesinde f(a) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, h sürekli ve bu yüzden de holomorf olarak a üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, h, g⁻¹(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir.

Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, a ve b, f 'nin ^a/_b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım. O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır. f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, f sabit olacaktır.

"Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir.^[4]

f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. Aynı sonuç, Casorati-Weierstrass teoremi sayesinde de elde edilebilir.

f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. ${\displaystyle g(z)={\frac {1}{(f(z)-w)}}}$ fonksiyonunu tanımlayalım. Varsayımdan dolayı, payda hiçbir zaman 0 olamaz. O halde, her ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ için, |g(z)|=\frac1{|f(z)-w|}<\frac1r</math> olacağı için, ${\displaystyle g}$ sınırlı tam bir fonskiyon olur. Liouville teoremi sayesinde, g sabit olur. Ancak, bunun doğru olmadığı f sabit olmadığından açıktır. Yani, f 'nin görüntüsünin yoğun olmamasıyla bir tezat yakalanmış olur. Sonuç olarak, f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa f 'nin görüntüsü yoğundur.

{∞} ∪ C, C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. C 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ C içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, C ⊂ {∞} ∪ C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır. f, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir.

Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında zⁿ gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir:

Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| ≤ M.|zⁿ| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur.

Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

Teoremin kanıtında kullanılan tartışma

${\displaystyle (\forall k\in \mathbb {N} ):|a_{k}|\leqslant Mr^{n-k}}$

eşitsizliğini verir. Böylece, k > n ise

${\displaystyle |a_{k}|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }Mr^{n-k}=0}$

olur. Bu yüzden, a_k = 0 elde edilir.

• PlanetMath'teki Liouville Teoremi ve kanıtı 14 Mayıs 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• MathWorld'deki Liouville Teoremi bilgisi 3 Temmuz 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Liouville Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından