Liouville sayısı

Sayılar teorisinde Liouville sayıları, rasyonel sayılara sonsuz küçük yakınlıkta (hatta paydaya bağımlı biçimde) irrasyonel sayılardır. Bir Liouville sayısının her komşuluğunda bir rasyonel sayı vardır. Şu şekilde formüle edilebilir:

${\displaystyle x}$ bir Liouville sayısı olsun. O zaman her ${\displaystyle n}$ sayma sayısı (pozitif tam sayı) için öyle bir tam sayı ${\displaystyle p}$ ve sayma sayısı ${\displaystyle q}$ vardır ki,

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

Bir Liouville sayısı böylece çok yakından rasyonel sayıların bir dizisi ile yakınsanabilir. 1844'te, Joseph Liouville gösterdi ki tüm Liouville sayıları aşkın sayılardır. O zamana kadar herhangi bir aşkın sayının varlığı henüz ispatlanmamıştı. Liouville, bir sayı tabanı için (örneğin 10) Liouville sabitlerini aşağıdaki gibi üretti. Her Liouville sabiti, bir Liouville sayısıdır, dolayısıyla aşkındır.

Liouville sayıları kümesi bir yandan büyüktür, sayılamaz sayıda (reel sayılar kadar) Liouville sayısı vardır; bir yandan da küçüktür, Lebesgue ölçüleri sıfırdır, dolayısıyla bu küme üzerinde integrallenebilir her pozitif fonksiyonun integrali sıfıra eşittir.

${\displaystyle b\geq 2}$ bir tam sayı olsun. ${\displaystyle b}$ tabanındaki Liouville sabiti ${\displaystyle x}$ aşağıdaki gibi tanımlanır.

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{b^{k!}}}\;}$

Örneğin on tabanında ${\displaystyle x=0.110001000000000000000001000...\;.}$ (1., 2., 6., 24., 120., 720., ... basamakta 1 rakamı var (OEIS'de A000142 dizisi))

Liouville sabiti aşağıda ispatlandığı gibi bir Liouville sayısıdır. ${\displaystyle n}$ bir sayma sayısı olsun. Şimdi uygun ${\displaystyle \,p,\,q}$ sayılarını bulmamız gerekiyor.

${\displaystyle q=b^{n!}}$ ve ${\displaystyle p=q\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{b^{k!}}}}$ için

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {1}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{{q}^{n}}}\,}$. QED

Örnek için bu sayıları düşünelim,

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 sıfır)1(17 sıfır)5(95 sıfır)9(599 sıfır)2... burada rakamlar π'nin ondalık açılımı içinde ondalık noktaların ninci rakamı burada n! rakamına eşit konumu içinde sıfır varlığıdır.

Liouville sayılarının varlığı üzerindeki kesiti içinde gösterilen, bu sayılar, hem de başka bir sonlanamayan ondalık sıfır-dışı rakamlarla benzer durulardır ve bir Liouville sayılarının tanımı doyurucudur. Bu nedenle boş-olmayan rakamların tüm dizilerinin kümesi has the sürekliliğinin önem düzeyi aynı oluşan şey tüm Liouville sayılarının kümesinde var.

Dahası, Liouville sayıları gerçek sayıların kümesinin yoğun altküme formudur.

Ölçüm teorisinin bakış açısından, tüm Liouville sayıları Lin kümesi küçüktür. Daha kesin bir ifadeyle, onun Lebesgue ölçümü sıfırdır. John C. Oxtoby tarafından bazı fikirler aşağıda kanıt olarak verilmiştir.^[1]:8

pozitif n > 2 tam sayıları veq ≥ 2 kümesi:

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

elimizde olan

${\displaystyle L\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Araştırılan her pozitif n ≥ 2 vem ≥ 1 tam sayı için, ayrıca elimizde olan

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Nedeniyle

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

ve n > 2 ile

${\displaystyle m(L\cap (-m,\,m))\leq \sum \limits _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leq (4m+1)\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.}$

Şimdi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

ve onun aşağıda bu her pozitif tam sayısı m için, L ∩ (−m, m) Lebesgue ölçümü sıfırdır. Kanıt için, böylece L vardır.

Karşıt olarak, tüm gerçek aşkın sayıların T kümesinin Lebesgue ölçümü sonsuzdur (bu nedenle T bir boş kümenin tamamlayıcısıdır).

Aslında, LinHausdorff boyutu sıfırdır, bu Lin bu Hausdorff ölçümü ifadesi tüm dimension d > 0 boyutlar için sıfırdır.^[1] Hausdorff dimension of L under other dimension functions has also been investigated.^[2]

• Diofantin yaklaşıklığı

Özel

Genel

• Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation (İngilizce). 193. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11169-0. 

• The Beginning of Transcendental Numbers 16 Temmuz 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The least interesting number17 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.