İçeriğe atla

Lenart Küresi

István Lénárt, birkaç Lenart küresini tanıtıyor.

Lenart küresi, Öklityen olmayan geometriler için özellikle de küresel geometri, küresel trigonometri ve projektif geometri için bir eğitim ve öğretim modelidir. Lenart küresi, küre üzerindeki çokgenleri (özellikle üçgenleri) ve kenar-açı arasındaki ilişkileri görselleştirmek için bir “küresel yazı tahtası” olarak adlandırılır. Küre, The Geometer’s Sketchpad, GeoGebra ve Spherical Easel gibi görselleştirme yazılımları gibi kullanılır. (Ayrıntı Bilgi İçin Dış Bağlantılar Küresel Easel Bilgi, bakınız Öklidyen olmayan geometri için interaktif geometri yazılımları listesi ve birçok diğer interaktif Projektif geometri uygulamaları ve programları). Lenart küresinin egitim uygulamaları Geodesy, GIS, astronomi, geometri, ışın izleme (grafik), perspektif (grafiksel), trigonometri ve göksel navigasyonu içerir.[1]

Tarih

Lenart küresi István Lénárt tarafından Macaristan'da 1990 lı yılların başında icat edilmiş ve kullanımı da 2003 yılında düzlemsel ve küresel geometriyi karşılaştıran kitabında anlatılmıştır.[2]

Küresel trigonometri antik zamanlardan II. Dünya Savaşı sonlarına kadar önemli bir matematik konusu olmuş ve modern eğitim sisteminde ve (navigasyonda) GPS gibi daha algoritmik metotlar ile Haversine formülü, lineer cebir matris çarpımı ve Napier'in pentagonu da dahil olmak üzere yenilenmiştir. Lenart küresi Avrupa boyunca hala yaygın bir şekilde Öklityen olmayan geometrilerde ve GIS kurslarında kullanılır.

Uygulamalar

Glen Van Brummelen'den sonra(Reference 1 below, p. 129, stereografik projeksiyon) küresel geometri artık tarihsel matematik haricinde, navigasyon, astronomi, coğrafya vb. alanların eski bilimsel ihtiyaçlarıyla ilgili olmamasına rağmen yine de simulasyon, oyun programlama, Autodesk Maya, kinematik, fizik motorları ve optik, fotoğrafçılık, sanat ve tıp gibi daha birçok farklı yeni alana bağlı olarak bir yeniden doğuş yaşamıştır.

2B'den 3B'ye geçiş (küresel bir şekilde) veya bunun tersi artık bilgisayar grafikleri, oyun motorları ve hatta GPU mimarisinde kendine yeni bir yuva bulan eski bir harita yapım tekniğidir. (although looking at spherical trigonometry in "reverse" by mapping spherical data onto planes – see Stereographic projection for details). Bu gelişmeler Lenart küresinin ve analog araçların, küresel trigonometrinin ve sayısız diğer geometrik modelleme araçlarının devam eden geçerliliğini astronomi, navigasyon ve coğrafyadaki kendi birincil ve tarihsel değerlerinin de ötesinde etkilemiştir. Matematiksel olarak, bu yeni gelişmelerin çoğu daha eski ve geniş bir bakış açısı ile bir çatı altında toplanabilir. ;Bu bakış açısı, küresel projeksiyonlardaki birçok uygulamasıyla tanımlayıcı ve projektif geometrinin bölümleri altında toplanabilir.

Persperktif geometrinin tarihi uygulamaları fotometrik ölçüm gibi bazı modern astronomik küre-projeksiyon arenalarında yeniden ele alınmıştır. (özellikle perspektifin ters problemlerinde ve fotometrik sistemlerdeki küresel yokolma noktalarında) Çoğu Lenart küresi trigonometrik yüzey ile olduğu gibi GIS ve astronomi ile de birlikte gelir.[3]

Layman'ın tabiriyle, bir küreyi bir düzleme yansıttığınızda veya tam tersi durumda, perspektifin önemi (yakınsaklık ve ufuk çizgileri gibi) gölgelerin konusu ile ilgili olmasından dolayı genelde çok ilginçtir.

Bu sebeple hareket gölgelendirme projeksiyon ve perspektif(matris çarpımı ya da küresel trigonometri) 3B modelleme referanslarında kapalıdır.Günümüzde, 3B'den 2B küre ve düzlemlere haritalama aynı zamanda birden çok perspektifi göz önünde bulundurmalıdır, örneğin; kamera ve görüntüleyici gibi. Bunlar örnekleme ile yürütülür. Perspektif basamaklama adı verilen bir teknik, gölge haritasının parametrik hale getirilmesi ile ilgilidir (istatistiksel örnekleme) ve projeksiyonun kameradan görüntüleyiciye çevrilmesinde kullanılabilir. İkisi de Lenart küresi üzerinde noktasal ışık kaynakları kullanır ve geometrik bir yazılım ile modelleme çeşitli örneklerin etkisini gösterebilir.[4]

İstatistik öğretmenleri Lenart küresi gibi çeşitli araçları perspektifin etkilerini (gölge örneklemesi gibi) göstermek için kullanabilirler, sonrasında da daha derinlerde yatan trigonometri ve lineer cebiri kullanarak örtüşme için koordinatları hesaplarlar. Bu durumda persfektif Fourier Dönüşümlerinin perspektif fonksiyonu olur. (Ayrıca bakınız Nyquist–Shannon örnekleme teoremi ve Yumuşatma detayları için ilgili makaleler.)

Oyun programcıları Lenart küresinin trigonometrik haritalanmasından ve temeldeki küresel trigonometriden basitçe OpenGL derin sıkıştırma komutunu çağırarak, örneğin; otomatik olarak projektif matris yaratarak mesela 3B hareket gölgelendirme, kaçınabilirler.Bunun yanı sıra OpenGL komutunun temelinde, kompleks bir grup lineer cebir fonksiyonları yatar. Aslında, lineer cebir, vector ve tensör dizileri, matris cebiri ve diferansiyel denklemler yoluyla projektif ve tanımlayıcı geometriyi 3B koordinatların çözümü ile direkt matris çarpımını bypass ederek uygulanan ilk matematik metodlarından biridir. Bu daha yeni teknikler ve onların Fourier tabanlı algoritmaları geleneksel tarihi yaklaşımlardan daha hızlı, daha tutarlı küresel üçgen çözümleri verebilir. (bakınız p. 241 ve diğer Chauvenet referansları).[5]

Ama bu çarpımların kesinliği ile belirli teknik problemler (ör. Z koordinatları>1) küresel trigonometri tekrar dikkate alınarak tıpkı dördeylerin 19. Yüzyılda 4B bilgisayar grafikleri hesaplamalarında yeniden ele alınarak çözülmesi gibi, çözülebilir. (ayrıntılar için bakınız Bölüm 10 (p. 314 et al.) Lengyel referansında.) [6]

3B Küresel Grafikler ve Harmonikler

Tıpkı gölge hareketlerinin bir küreye yansıtılmasının bilgisayar grafiklerindeki Lenart küresinin eğitimsel uygulamalarının önemli olduğu gibi, ışık kaynaklarının küreye projeksiyonu (ve hareket), dolaylı ışıklandırma, global aydınlatma, ön hesaplanmış parlaklık aktarımı, ambiyans emilimi vb. konuları genellikle 3B bilgisayar grafiklerine dahil olan diğer ilişkili uygulamalardır. Lenart küresi katmanları hem pozitif hem de negatif harmonik gösterimleri ve polar ve küresel koordinat hesaplamaları için kullanılabilirler.[7]

Bu uygulamaların çoğu asıl olarak Laplace denklemi ve küresel trigonometrinin bu etkileri göstermek için birincil araç olduğu zamanlardaki (1780'ler) Laplace dönüşümüne dahil olmuştur. Bugün, Argand (1806) diyagramları da Lenart küresiyle beraber hızlı Fourier dönüşümlerini ve kompleks düzlemdeki küresel-harmonik algoritmaları keşfetmek için kullanılabilir. Teknik olarak bunlar küresel harmoniğin özel alanındaki Laplace dönüşüm denklemlerinin çözüm setlerinin açısal kısmını bulurlar.

Genellikle, Laplace ve Fourier dönüşümleri birbiriyle ve frekans çözümleyerek sinyal işleme ve projeksiyonu dahilinde, osilasyon ve zaman problemleri (ikisi de önemli küresel projeksiyon ve harmonik durumlara sahiptir) ile ilişkilidir. Kürede ve küresel harmonik teoreminin eklenmesiyle, kişi Laplace kosinüs trigonometri tanım denkleminin sol tarafında polinomlar ve sağ tarafında da küresel harmonikler kullanır.[8]

Sonra küresel y vektörlerini z eksenini gösterecek şekilde döndürür, x=y tayin eder ve Unsold teoremi ile (öncelikli olarak atomik küresel simetri ve solar/küresel hesaplamalar ile bilinir.) küreyi n=2 boyutta olacak şekilde yansıtıp genelleştirebiliriz, böylece daha yüksek boyutlar kürenin hacmine endekslenir. Bu teknikler küresel trigonometrinin 3B grafik uygulamalarını spectrum analizindeki, sinyal işlemlemedeki ve hızlı Fourier dönüşümlerindeki daha yeni uygulamalara genişletirler.[9]

Bilgisayar grafiklerine ek olarak, projektif geometri 20. Yüzyılın başlarında teorik olarak bitmiş olmasına rağmen robotik ve yapay görme gibi alanlarda yeni analitik uygulamalar bulmaktadır. (bakınız Mundy ve Zisserman yapay görme ile ilgili dış bağlantılara.).

Küresel Tesselasyon ve Sonlu Analiz

Bilgisayar grafiklerinde çokgen veri setlerini yönetmek ve onları çeviri için uygun biçime sokmak için tesselasyon kullanılır. Özellikle gerçek-zamanlı çeviri için veriler üçgenlere tesselasyon edilir, örneğin DirectX 11 ve OpenGL 'de.

Bilgisayar destekli dizaynda, inşa edilmiş dizayn yüz ve kenarlarla sınırlı olan analitik 3B yüzey ve kıvrımların 3B gövdenin sürekli sınırlarını oluşturduğu sınır gösterimli topolojik model tarafından sunulur. Rastgele 3B gövdeler çoğunlukla direkt analiz için fazla karmaşıktır. Bu yüzden birbirine geçmiş küçük, analizi kolay 3B hacimler ağı ile – genellikle ya düzensiz dört yüzlü ya da düzensiz altı yüzlü yakınsanırlar. (tessele edilir) Bu ağ 3B grafiklerin (Lenart küresiyle ilgili durumlarda küreler, gezegenler, toplar, yıldızlar, vb.) sonlu eleman analizi ve yaratılmasında (sentez veya modelleme)

Lenart küresi, küresel tesselasyon tekniklerinin modelleme ve gösteriminde, özellikle sonlu analiz problemlerine uygulandıklarında son derece kullanışlıdır. 3B grafik programlarını veya Phyton kod örneklerini kullanarak (Açık kaynak Python kod örnekleri vs. NURBS için sekizinci referans linkine bakınız), çok daha büyük sayıdaki çokgenler sonlu elemanların analizi ve obje ve özelliklerin kürede sentezlenmesi için küreye doğru ve küreden yansıtılabilirler; örnekteki istilaya uğramış asteroid gibi.Bu durumda, Lenart küresi sonlu analiz ve kurgulamanın(teknik olarak: modelleme) son derece kompleks diferansiyel matematiğine sadeleştirme veya yakınsama kısayolu olarak tesselasyon (döşeme) için, özellikle hareketli objeler kullanışlıdır.[10]

Ayrıca bakınız

  • Hava Navigasyonu
  • Küresel Geometri
  • Schwarz Üçgeni
  • Küresel Çok Yüzlü
  • Göksel Navigasyon
  • Matematik Eğitimi
  • Kartografya
  • Öklit Dışı Geometri
  • Üçgen Çözümleri
  • Küre
  • İnteraktif Geometri Yazılımları Listesi

Kaynakça

  1. ^ Van Brummelen, Glen (2013). Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14892-2. 
  2. ^ Lenart, Istvan (2003), Non-Euclidean Adventures on the Lenart Sphere: Activities Comparing Planar and Spherical Geometry, Key Curriculum Press, ISBN 978-1559531030 
  3. ^ Andersen, Kirsti (2007). The Geometry of an Art: The History of The Mathematical Theory of Perspective. Springer. s. 720. ISBN 978-0387-25961-1. 
  4. ^ Eisemann, Elmar (2012). Real-Time Shadows. CRC Press. s. 85. ISBN 978-1-56881-438-4. 
  5. ^ Chauvenet, William (1887). A treatise on plane and spherical geometry. Lippincott. ISBN 1-4069-6824-2. 
  6. ^ Lengyel, Eric (2009). Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics. Cengage. ISBN 978-1-58450-277-7. 
  7. ^ Folland, Gerald (2000). Fourier Analysis and Its Applications. American Mathematical Society. s. 405. ISBN 978-0-8218-4790-9. 
  8. ^ Folland, Gerald (2000). Fourier Analysis and Its Applications. American Mathematical Society. s. 179. ISBN 978-0-8218-4790-9. 
  9. ^ Easton, Roger (2010). Fourier Methods in Imaging. Wiley. s. 54. ISBN 9780470689837. 
  10. ^ Mechtley, Adam (2011). Maya Python for Games and Film. Morgan Kaufmann. ISBN 978-0123785787. 

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matematik</span> nicelik, yapı, uzay ve değişim gibi konularla ilgilenen bilim dalı

Matematik ; sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

<span class="mw-page-title-main">Öklid geometrisi</span> Öklide atfedilen matematiksel-geometrik sistem

Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.

<span class="mw-page-title-main">Kalkülüs</span>

Başlangıçta sonsuz küçük hesap veya "sonsuz küçüklerin hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekillerle çalışması ve cebirin aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesi gibi, kalkülüs sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır.

<span class="mw-page-title-main">Diferansiyel geometri</span>

Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir. Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır. Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler, araştırılan özellikler arasındadır.

<span class="mw-page-title-main">Açıkorur gönderim</span>

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

Bilgisayarlı cebir sistemi (BCS) sembolik matematiği kolaylaştıran yazılım programıdır. BCS işlevselliğinin özü sembolik biçimlerdeki matematiksel ifadelerin işleme koyabilmesidir.

<span class="mw-page-title-main">Küresel harmonikler</span>

Matematikte, küresel harmonikler Laplace denkleminin çözüm kümesinin açısal kısmıdır. Küresel koordinatların bir sistemi içinde küre yüzeyinde tanımlanır, Fourier serisi ise çember üzerinde tanımlanır. Laplace'ın küresel harmonikleri Pierre Simon de Laplace tarafından ilk 1782 yılında tanıtılan bir ortogonal sistemin küresel harmonik formlarının özel bir kümesidir. Küresel harmoniklerden birkaçının kökleri sağda gösterimlenmiştir. Küresel harmonikler pek çok yerde teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge elektron konfigürasyonları, yerçekimi alanları, geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında kullanılan pratik uygulamaları vardır. Küresel harmonikler 3D Bilgisayar grafiklerinde, dolaylı aydınlatma ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

<span class="mw-page-title-main">İşlev modeli</span>

Sistem ve yazılım mühendisliğindeki işlev modeli modellenen sistem veya konu alanının işlevlerinin yapısal temsilidir.

<span class="mw-page-title-main">Matematik tarihi</span> matematik biliminin tarihi

Matematik tarihi, öncelikle matematikteki keşiflerin kökenini araştıran ve daha az ölçüde ise matematiksel yöntemleri ve geçmişin notasyonunu araştıran bir bilimsel çalışma alanıdır. Modern çağdan ve dünya çapında bilginin yayılmasından önce, yeni matematiksel gelişmelerin yazılı örnekleri yalnızca birkaç yerde gün ışığına çıktı. MÖ 3000'den itibaren Mezopotamya eyaletleri Sümer, Akad, Asur, Eski Mısır ve Ebla ile birlikte vergilendirmede, ticarette, doğayı anlamada, astronomide ve zamanı kaydetmede/takvimleri formüle etmede aritmetik, cebir ve geometri kullanmaya başladı.

<span class="mw-page-title-main">Geometri tarihi</span> Geometrinin tarihsel gelişimi

Geometri, mekansal ilişkilerle ilgilenen bilgi alanı olarak ortaya çıkmıştır. Geometri, modern öncesi matematiğin iki alanından biriydi, diğeri ise sayıların incelenmesi yani aritmetikti.

Bu liste, matematiğe kayda değer katkılarda bulunan veya matematikte başarı sağlayan kadınların eksik bir listesidir. Bunlar arasında matematiksel araştırma, matematik eğitimi, matematik tarihi ve felsefesi, kamusal sosyal yardım ve matematik yarışmaları gibi alanlar/konular kapsama alınmıştır.

Bu sayfa teoremlerin bir listesidir. Ayrıca bakınız:

Trigonometri, üçgenlerdeki kenarlar ve açılar arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik dalıdır. Trigonometri, bu ilişkileri tanımlayan ve dalgalar gibi döngüsel fenomenlere uygulanabilirliği olan trigonometrik fonksiyonları tanımlar.

Matematik konularının listesi, matematik ile ilgili çeşitli konuları kapsar. Bu listelerden bazıları yüzlerce makaleye bağlantı içerir; bazıları sadece birkaç tane ile bağlantılıdır. Bu makale, aynı içeriği, göz atmaya daha uygun bir şekilde organize halde bir araya getirmektedir. Listeler, temel ve ileri matematik, metodoloji, matematiksel ifadeler, integraller, genel kavramlar, matematiksel nesneler ve referans tablolarının özelliklerini kapsar. Ayrıca insanların adını taşıyan denklemleri, matematiksel toplulukları, matematikçileri, matematik dergilerini ve meta listeleri de kapsar.

<span class="mw-page-title-main">John Casey (matematikçi)</span>

John Casey saygın bir İrlandalı geometricidir. Batlamyus teoreminin bir uzantısı olan diğer dört çembere teğet olan bir çember üzerindeki Casey teoremi ile ünlüdür. Bununla birlikte, Öklid geometrisi üzerine birkaç yeni kanıt ve perspektifle katkıda bulundu. Emile Lemoine ile birlikte, çemberin ve üçgenin modern geometrisinin kurucu ortakları olarak kabul edilir.

Bu yazıda geometrik şekilleri analiz etmek ve işlemek için kullanılan şekil analizi türü anlatılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Etkileşimli geometri yazılımları listesi</span> Vikimedya liste maddesi

Etkileşimli geometri yazılımı (İngilizce: Interactive geometry software ) veya dinamik geometri ortamları (İngilizce: dynamic geometry environments ), düzlem geometrisi başta olmak üzere geometrik yapıları oluşturmaya ve daha sonra bunları değiştirmeye olanak tanıyan bilgisayar programıdır. Çoğu etkileşimli geometri yazılımında, kişi birkaç nokta koyarak ve bunları çizgeler, daireler veya diğer noktalar gibi yeni nesneler tanımlamak için kullanarak inşaya başlar. Yapı, bir miktar oluştuktan sonra, kişi başladığı noktaları hareket ettirebilir ve yapının nasıl değiştiğini görebilir.

Burada, sayısal analiz veya veri analizi için kullanılmak üzere tasarlanmış önemli son kullanıcı bilgisayar uygulamaları listelenmiştir:

Matematikçi ve bilim insanı olmayan halk arasında, trigonometri esas olarak ölçüm problemlerine uygulanmasıyla bilinir, ancak müzik teorisindeki yeri gibi çok daha incelikli şekillerde de sıklıkla kullanılır; sayı teorisinde olduğu gibi diğer kullanımlar daha tekniktir. Fourier serileri ve Fourier dönüşümleri matematiksel konuları büyük ölçüde trigonometrik fonksiyonlar bilgisine dayanır ve istatistik de dahil olmak üzere bir dizi alanda uygulama alanı bulur.

<span class="mw-page-title-main">Genelleştirilmiş trigonometri</span> Öklid düzlemi dışındaki diğer uzaylarda üçgenlerin incelenmesi

Sıradan trigonometri, Öklid düzlemi içindeki üçgenleri inceler. Gerçel sayılar üzerindeki sıradan Öklid geometrik trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın birkaç yolu vardır, örneğin dik açılı üçgen tanımları, birim daire tanımları, seri tanımları, diferansiyel denklemler yoluyla tanımlar ve fonksiyonel denklemler kullanılarak tanımlar. Trigonometrik fonksiyonların genellemeleri, genellikle yukarıdaki yöntemlerden biriyle başlayıp Öklid geometrisinin gerçek sayıları dışındaki bir duruma uyarlanarak geliştirilir. Genel olarak trigonometri, her türlü geometri veya uzay içindeki nokta üçlülerinin incelenmesi olabilir. Bir üçgen en az sayıda köşeye sahip çokgendir, bu nedenle genelleştirmenin bir yönü açı ve çokgenlerin daha yüksek boyutlu analoglarını incelemektir: katı açılar ile tetrahedronlar ve n-simplices gibi politoplar.