Legendre polinomları

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

${\displaystyle L={d \over dx}(1-x^{2}){d \over dx}+l(l+1)*y\,}$ ; ${\displaystyle l\in (0,\mathbb {Z} ^{+})}$

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}.\qquad }$ (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

${\displaystyle P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x}$

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle x\,}$
2	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}$
3	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}$
4	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}$
5	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}$
6	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}$
7	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}$
8	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}$
9	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}$
10	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}$

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

${\displaystyle Ly=0\,}$

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

${\displaystyle y'=\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}$

${\displaystyle y''=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

${\displaystyle Ly\,}$	${\displaystyle ={\big (}1-x^{2})y''-2xy'+l(l+1)y}$
	${\displaystyle =(1-x^{2})\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-2x\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}+l(l+1)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$
	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$
	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}}$
	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a_{n}+(n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^{n}}$
	${\displaystyle =0\,}$

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

${\displaystyle a_{2}=-{l(l+1) \over 2}a_{0}}$

olur. Genellenirse

${\displaystyle a_{n+2}=-{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_{n}}$

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_{n}x^{n}}\right|<1}$

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

${\displaystyle n=-l{\mbox{ veya }}n=-(l+1)\,}$

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki

${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,}$^[1]

diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir, ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

${\displaystyle P_{n}(1)=1.\,}$

ve son noktada türev ile veriliyor

${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}.\,}$

yukardaki soruda, Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi, bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,}$

ve

${\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x).}$

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}$

yukardakinden şu görülebilir

${\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+(2(n-2)+1)P_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P_{n-4}(x)+\ldots }$

veya eşdeğeri

${\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)={2P_{n}(x) \over \|P_{n}(x)\|^{2}}+{2P_{n-2}(x) \over \|P_{n-2}(x)\|^{2}}+\ldots }$

burada ${\displaystyle \|P_{n}(x)\|}$ −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

${\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}(P_{n}(x))^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.}$

Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}^{2}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{n-k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}.}$

elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\qquad (x\geq -1).}$

Legendre polinomlarının bir toplamı ${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$ için ve ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir

${\displaystyle \delta (y-x)={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)P_{\ell }(y)P_{\ell }(x)\,.}$

birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir

${\displaystyle P_{\ell }({r}\cdot {r'})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\,.}$

burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$ ve ${\displaystyle (\theta ',\phi ')}$ var,

Asimptotiklik ${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$ birimden yoksun eklentiler için

${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )=J_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})}$

ve birimden büyük eklentiler için

${\displaystyle P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)=I_{0}(\ell e)+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{(\ell +1)/2}}{(1-e)^{\ell /2}}}+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})\,,}$

burada ${\displaystyle J_{0}}$ ve ${\displaystyle I_{0}}$ Bessel fonksiyonlarıdır.

Kayan Legendre polinomları ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)}$ olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon ${\displaystyle x\mapsto 2x-1}$ (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$ polinomları [0, 1] arasında bulunur:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}$

kayan Legendre polinomu için bir

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.}$

açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}$

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

n	${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$
0	1
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır,${\displaystyle Q_{n}(x)}$ ile ifade edilir.

${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]}$

Diferansiyel denklem

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0}$

genel çözümü var

${\displaystyle f(x)=AP_{n}(x)+BQ_{n}(x)}$,

burada A ve B sabitlerdir.

Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir, ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P0n ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu P_n uyumludur.

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Legendre fonksiyonlarıyla ilişkisi
• Gaussian dörtlüsü
• Gegenbauer polinomları
• Legendre kesirli fonksiyonları
• Turán eşitsizliği
• Legendre dalgacığı
• Jacobi polinomları
• Küresel Harmonikler

• Şablon:Abramowitz Stegun ref2
• Bayin, S.S. (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley , Chapter 2.
• Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables, 18, Pergamon Press .
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publischer, Inc .
• Dunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions", Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Refaat El Attar (2009), Legendre Polynomials and Functions, CreateSpace, ISBN 978-1-4414-9012-4 

• A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen19 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Legendre polynomials", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials6 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
• Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics27 Nisan 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
• Legendre Polynomials from Hyperphysics 6 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.