Landau kutbu

Landau Kutbu veya diğer adıyla Moskova Sıfırı olarak bilinen, kuantum (nicem) alan kuramının sonsuz olduğu bağlaşım sabitindeki momentum (devinim) ölçeğidir. Bu olasılık Lev Landau ve meslektaşları tarafından belirtilmiştir.^[1] Bu bağlaşım sabiti, yeniden boylandırım grubun arkasında yatan temel fikirlerden olan momentum (devinim) ölçeğine dayanmaktadır.

Landau kutupları, kuantum elektrodinamik (QED) veya φ⁴ kuramı –dörtlenik sayısal alanla etkileşimi- gibi asimptotik kuramlarda görünür. Bu kuramlarda, yeniden boylandırım sabiti enerji ile büyür. Bir Landau kutbu, herhangi bir sonlu enerji ölçeğinde, bağlaşım sabiti sonsuz olduğunda ortaya çıkar. Bu durum kuramın tamamlanmış sayılabilmesinin önünde, matematiksel bir tutarsızlık olarak varsayılabilir. Muhtemel bir çözüm ise kesme (cut-off) kaldırıldığında yeniden boylandırım yükü sıfıra gidebilir. Bunun anlamı, yükün bütünüyle kuantum dalgalanması (vakum kutuplanması) ile taranmasıdır. Bu olay bir kuantum önemsizliğidir. Bunun anlamı, kuantum düzeltimleri kesmenin (cut-off) olmayışını tamamen bastırmaktadır.

Landau kutbu normalde bir ve iki döngülü pertübatif hesaplamalarla bulunur. Kutbun kuvvetli bağlaşımlarda pertübatif yaklaşıklığı bozması da olasıdır. Örgü alan kuramı, tedirginim kuramının da ötesinde kuantum alan kuramına cevaplar vermektedir. Bu çerçevede, sayısal hesaplamalar göstermiştir ki Landau’nun QED yükü sonsuz bir kesim (cut-off) için bütünüyle onaylanmaktadır.^[2][3][4]

Landau, Abrikosov ve Khalatnikov'a göre,^[5] ${\displaystyle \Lambda >>m}$ olduğunda yeniden boylandırım kuramı için gözlenebilir g_obs yükü ile “çıplak” g₀ yükü arasındaki ilişki izleyen formülle açıklanabilir;

${\displaystyle g_{obs}={\frac {g_{0}}{1+\beta _{2}g_{0}\ln \Lambda /m}}\,,\qquad \qquad \qquad (1)}$

Bu formülde m parçacığın kütlesi ve Λ momentum (devinim) kesimidir. Sonlu g₀ ve Λ → ∞ durumu için gözlemlenen g_obs yükü sıfıra yakınsak olur ve kuram önemsiz görünür. Aslında, birinci denklemi ters çevirerek, g₀ 'ın g_obs'un kesin bir değer olduğunu şu şekilde gösterebiliriz;

${\displaystyle g_{0}={\frac {g_{obs}}{1-\beta _{2}g_{obs}\ln \Lambda /m}}\,.\qquad \qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle \Lambda }$ büyürken, çıplak yük ${\displaystyle g_{0}=g(\Lambda )}$ da yeniden boylandırım noktasında ıraksanır. Bu durumu formulize edersek;

${\displaystyle \Lambda _{Landau}=m\exp \left\{{\frac {1}{\beta _{2}g_{obs}}}\right\}\,.\qquad \qquad \qquad (3)}$

Bu aykırılık bir negatif artıklı Landau kutbudur. ${\displaystyle g(\Lambda )\approx -\Lambda _{Landau}/(\beta _{2}(\Lambda -\Lambda _{Landau}))}$. Fakat aslında ${\displaystyle g_{0}}$'ın büyümesi, ${\displaystyle g_{0}\approx 1}$ olduğu bölgede birinci ve ikinci denklemi geçersiz kılmaktadır. Çünkü bu denklemler ${\displaystyle g_{0}}$'ın birden çok küçük olduğu durumlarda elde edilmiştir. Dolayısıyla Landau kutbu'nun kesin gerçekliği kuşkuludur. ${\displaystyle g(\mu )}$ yükünü, ${\displaystyle \mu }$ momentum(devinirlik) ölçeğinde bir işlev olarak kabul ettiğimizde, bu yük Gell-Mann-Low denklemiyle gösterilir.^[6] ${\displaystyle {\frac {dg}{d\ln \mu }}=\beta (g)=\beta _{2}g^{2}+\beta _{3}g^{3}+\ldots \qquad \qquad \qquad (4)}$

Eğer bu denklem tümleşik ise, ${\displaystyle g(\mu )=g_{obs}}$, ${\displaystyle \mu =m}$ ve ${\displaystyle g(\mu )=g_{0}}$, ${\displaystyle \mu =\lambda }$ şartları altında birinci ve ikinci denklemleri sağlamaktadır. ${\displaystyle g(\mu )}$'un genel tutumu ${\displaystyle \beta (g)}$ işlevinin görünümüne dayanır.

Standart sınıflandırmaya göre,^[7] nitel olarak üç farklı durum söz konusudur:

(a) eğer ${\displaystyle \beta (g)}$'nin sonlu ${\displaystyle g*}$ değerinde bir sıfır varsa, ${\displaystyle g}$'nin büyümesi sature olmuştur (doygundur). Örnek olarak ${\displaystyle g(\mu )\to g*}$ için ${\displaystyle \mu \to \infty }$ ;

(b) eğer ${\displaystyle \beta (g)}$ dalgalı değil ise ve ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ durumunda ise ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ gibi davranıyorsa ${\displaystyle g(\mu )}$'nun büyümesi sonsuza devam eder.

(c) ${\displaystyle \alpha >1}$ durumunda, eğer ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ (büyük g için) ise, sonlu bir μ₀ değerinde ${\displaystyle g(\mu )}$ ıraksak olur. Ayrıca gerçek Landau kutbu ile ilgili şu sonuca varılır; ${\displaystyle \mu >\mu _{0}}$ durumunda ${\displaystyle g(\mu )}$'nun belirsizliğinden dolayı, kuram içten tutarsız olmaktadır.

Landau ve Pomeranchuk^[8] c bendindeki olasılığı QED ve ${\displaystyle \phi ^{4}}$ kuramında ispat etmeye çalıştı. Sonuçlarına göre birinci denklemdeki ${\displaystyle g_{0}}$'ın büyümesi, gözlenebilir ${\displaystyle g_{obs}}$ yükünün sabit bir sınıra gittiğini göstermiştir ki bu durum ${\displaystyle g_{0}}$'a dayanmaktadır. Aynı davranış ikinci dereceden terimleri çıkartılmış fonksiyonel integral (işlevsel tümlev) ile de elde edilebilir.Eğer ikinci dereceden terimlerin yoksayılması, ${\displaystyle g_{0}\ll 1}$ durumu için zaten geçerliyse, ${\displaystyle g_{0}}$ için kesinlikle geçerlidir. Bu bize rastgele bir ${\displaystyle g_{0}}$ için birinci denklemi kullanma nedenimizi göstermektedir. Nicel seviyede bu yaklaşımların geçerliliği ${\displaystyle \beta }$-fonksiyonunun (işlevinin) ikinci dereceden olmadığı durumlar hariç tutularak yapılmıştır. Bütün bunlara rağmen, bunlar niteliksel olarak doğru olabilir. Doğrusunu söylemek gerekirse, ${\displaystyle g_{obs}=const(g_{0})}$ sonucu sadece ${\displaystyle g_{0}\gg 1}$ durumunda, fonksiyonel integral (işlevsel tümlev) ile elde edilebilir. ${\displaystyle g_{0}\approx 1}$ durumunda bu sonuç muhtemelen ihlal edilmiştir ama büyüklüklerine göre ele alınan iki sabitin rastlantısı ancak eşleştirme koşulunda beklenebilir. Monte Carlo^[9] sonuçları Landau–Pomeranchuk savını doğruluyor görünmektedir.

C bendindeki sav, olmayana ergi yönteminden anlaşılabildiği gibi Bogoliubov ve Shirkovsınıflandırmasında bütün kuramdaki kuantum (nicem) önemsizliğine tekabül etmektedir. Doğrusu istenirse, eğer ${\displaystyle g_{obs}}$ sonlu ise bu kuram içten tutarsız olmaktadır. Bundan kaçmanın tek yolu ise ${\displaystyle \mu _{0}}$ sonsuzmuş gibi davranmaktır. Unutulmamalıdır ki bu ancak ${\displaystyle g_{obs}\to 0}$ durumunda mümkündür. Çok yaygın bir fikir olarak hem QED hem de ${\displaystyle \phi ^{4}}$ kuramı sürem sınırında önemsizdir. Aslında mevcut bilgiler sadece g≠0 durumunda β(g)'nin pozitifliği ile aynı hesaba gelen "Wilson Önemsizliğini" doğrulamaktadır. Kuantum (nicem) önemsizliğinin "doğru" belirtileri sayısız değildir ve farklı yorumlara izin verir.

Bağlaşım sabitinin sıfır olmadığının bilindiği bir nokta ki fiziksel etkileşimleri göstermeye yönelik bir kuramda, Landau kutupları veya önemsizlik kuramındaki noksanlıkların belirtkesi olarak gözlenebilir. Örneğin QED'e kendi içinde tamamlanmış bir kuram olarak inanılmaz. Bir başka örnek ise Landau kutbu büyük birleşik kuramın içine yerleşerek giren yeni bir fizik olabilir. Büyük birleşik ölçek, Landau ölçeğinin altında, doğal bir kesim (cut-off) sağlayabilir.

QED'deki Landau kutbunun problemi saf akademik bir ilgi olmasıdır. Birinci ve ikinci denklemlerdeki ${\displaystyle g_{obs}}$'un görevi aşırı ince yapı sabiti α ≈ 1/137 tarafından yapılır ve QED için Landau ölçeği 10²⁸ eV olarak tahmin edilmiştir ki bu durum gözlenebilir fizikteki enerji ölçeklerinin çok üstündedir. Karşılaştırmak için şöyle bir örnek verilebilir: Büyük Hadron Çarpıştırıcısı'nda (LHC) elde edilen en yüksek enerji 10¹³ eV'dur. Diğer bir örnek ise Planck ölçeğinde ki bu ölçekte kuantum kütleçekim kuvveti önemli hale gelir, maksimum enerji 10²⁸ eV'dur.

Parçacık fiziğinin Standart Modeli'ndeki Higgs Bozonu, ${\displaystyle \phi ^{4}}$ kuramı tarafından tanımlanmıştır. Eğer son söylenen bir Landau kutbuna sahip ise bu gerçek Higgs kütlesinde.^[10] bir "önemsizlik bağı" kurdurtabilir. Bu bağ, yeni fiziğin varsaydığı dördüncü dereceden bağlaşımın maksimum değerine -bu değer henüz bilinmemektedir- giriş izni verdiği ölçeğe dayanmaktadır. Geniş bağlaşımlar için pertübatif olmayan yöntemler gereklidir. Örgü hesaplamaları da bu konuda kullanışlıdır.^[11]

Landau kutbu çözümleri, rastgele bir ${\displaystyle g}$'de (${\displaystyle g\to \infty }$ ), ${\displaystyle \beta (g)}$ Gell-Mann–Low fonksiyonu (işlevi) hesaplamalarıyla çözmeyi gerektirir. Bu problem oldukça zor ve uzun yıllar umutsuz vaka olarak kabul edilmiştir. Diyagramlı (çizgisel) hesaplamalar ${\displaystyle \beta _{2},\beta _{3},\ldots }$, gibi az miktarda genişleme sabitine cevap bulabilmekte ki bu durum bize bütün ${\displaystyle \beta }$ fonksiyonunu (işlevini) araştırma imkânı vermemektedir. Bu işlem süreci, geniş basamaklı pertübatif kuramı hesaplamaları için geliştirilen Lipatov metodundan (yönteminden) sonra mümkün hale gelebilecektir.^[12][13][14] ${\displaystyle \beta }$ fonksiyonunun (işlevi) yeniden inşa edilmesi konusundaki ilk deneme, ${\displaystyle \phi ^{4}}$ kuramının önemsizliği ile sonuçlanmıştır. Daha ileri toplam yöntemleri, ${\displaystyle \beta (g)\propto g}$ asimptotik davranılındaki ${\displaystyle \alpha }$ üssünü vermiştir. ${\displaystyle \beta (g)\propto g}$ hipotezi (önsavı) ${\displaystyle \phi ^{4}}$ kuramı ve QED için daha yeni çözümsel bir şekilde onaylanmıştır. ${\displaystyle \beta (g)}$'nin pozitifliği ile birlikte, serilerin toplamının ele alınmasıyla, Bogoliubov ve Shirkov'un (b) bendindeki sınıflandırmasını vermektedir. Sonuç olarak Landau kutbu adı geçen kuramlarda bulunmamaktadır. Landau ve Pomeranchuk tarafından önerilen ikinci dereceden terimlerin yok sayılması fikri henüz onaylanmamıştır.