Lambert W fonksiyonu

Matematikte, Lambert W fonksiyonu, aynı zamanda Omega fonksiyonu veya çarpım logaritması olarak da bilinen bir fonksiyon kümesidir.

f(w) = we^w fonksiyonunda e^w üstel fonksiyon ve w herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere, bu fonksiyonun tersinin şubelerini ifade eder.

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}$

${\displaystyle Y=Ae^{A}\;\Longleftrightarrow \;A=W(Y)}$

${\displaystyle z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W\quad {\text{for }}z\neq -1/e.}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \{0,-1/e\}.}$

${\displaystyle \left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=0}=1.}$

W(x) Fonksiyonun integrali şu şekildedir.

${\displaystyle \int W(a)\,{\rm {d}}a=a\left(W(a)-1+{\frac {1}{W(a)}}\right)+C.}$

Lambert W Fonksiyonun Serisi:

${\displaystyle W(a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ a^{n}=a-a^{2}+{\frac {3}{2}}a^{3}-{\frac {8}{3}}a^{4}+{\frac {125}{24}}a^{5}-\cdots }$ .

Doğal logaritma tabanı e w türünden özelliği: ${\displaystyle e^{W(a)}=\left({\frac {a}{W(a)}}\right)}$ İntegrali ise:

${\displaystyle \int e^{W(a)}\,{\rm {d}}a=a^{2}(1+2W(a)){\frac {1}{4W(a)^{2}}}+C.}$

Lambert W Fonksiyonun yaklaşık değeri:

${\displaystyle W_{0}(x)\approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x)}$

Lamber W Fonksiyonun sürekli kesri:

${\displaystyle xe^{x}=y\Rightarrow e^{x}={\frac {y}{x}}\Rightarrow x=ln({\frac {y}{x}})}$ şimdi bu denklemde sol taraftaki x i sağ taraftaki x in yerine sonsuza kadar yazılırsa sürekli kesir meydana gelir.

${\displaystyle x=ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{lny_{\ddots }}}}}}}}$ o zaman ${\displaystyle xe^{x}=y\Rightarrow x=W(y)}$ şimdi yerine yazılırsa sonuç: ${\displaystyle W(y)=ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{lny_{\ddots }}}}}}}}$

Bazı Değerler

${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}{\rm {i}}}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right)}$

${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left(a\geqslant e\right)}$

${\displaystyle W_{0}\left(A{\ln A}\right)=\ln A\quad \left(A\geqslant {\frac {1}{e}}\right)}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$

${\displaystyle W\left(0\right)=0\,}$

${\displaystyle W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,}$ (Omega Sabiti)

${\displaystyle W\left(e\right)=1\,}$

${\displaystyle W\left(-1\right)\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}\,}$

${\displaystyle W'\left(0\right)=1\,}$

${\displaystyle W\left(2\right)=0.852605502013725...\,}$

Lambert W Fonksiyonuyla ilgili örnekler:

Örnek : 1

${\displaystyle f(x)exp(f(x))=y\Rightarrow f(x)=W(y)}$ yola çıkarak ${\displaystyle x.e^{x}=2\Rightarrow x=W(2)}$

Örnek : 2

${\displaystyle (m+8).exp(m+8)=ln5\Rightarrow m+8=W(ln5)\Rightarrow m=W(ln5)-8}$

(Burada ${\displaystyle exp(a)=e^{a}}$ demektir.)

Örnek : 3

${\displaystyle x^{x}=6\Rightarrow xlnx=ln6}$ burada hayal gücünü kullanarak her iki tarafın doğal logaritması alındı x=e^lnx şeklinde olursa ki bu örnek : 1 deki formüle benzetmek için. Kesinlikle ezberletme yok sadece örnek 1 deki formüle benzetmek yeterli.

${\displaystyle [lnx]exp(lnx)=ln6\Rightarrow ln(x)=W(ln6)\Rightarrow x=exp(W(ln6))}$ (Burada lnx=f(x) e ve y=ln6 oldu.)

Örnek : 4

${\displaystyle 3^{x}=8x}$ denkleminin çözümü için her iki tarafın doğal logaritması alınırsa ${\displaystyle xln3=ln(8x)\Rightarrow ln3={\frac {1}{x}}ln(8x)\Rightarrow {\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}ln(8x)}$ yandaki denklem 1/(8x) ile çarpıldı . Her iki tarafın -1 ile çarpılırsa ${\displaystyle -{\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}ln({\frac {1}{8x}})\Rightarrow {\frac {1}{8x}}=exp(ln{\frac {1}{8x}})}$ lambert W Fonksiyonuna uygun bir denklem elde edildi bu denklem ${\displaystyle }$${\displaystyle -{\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}exp(ln{\frac {1}{8x}})ln({\frac {1}{8x}})\Rightarrow ln[{\frac {1}{8x}}]=W(-{\frac {ln3}{8}})}$ (Burada f(x)=ln(1/(8x)) ve y=-(ln3)/8 oldu formül uygulandı.) Son denklemde x çekilirse ^{${\displaystyle {\frac {1}{8x}}=exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]\Rightarrow x={\frac {1}{8.exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]}}}$} olur.

Sonuç olarak: ${\displaystyle 3^{x}=8x}$ ${\displaystyle \Rightarrow x=x={\frac {1}{8.exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]}}}$ Bu değer ${\displaystyle W_{0}(y)}$ ye göredir ${\displaystyle W_{-}1(y)}$ değeride vardır.

ÖNEMLİ NOKTA

Yukarıdaki W(f(x)) fonksiyonların hepsi ${\displaystyle ProductLog(0,f(x))}$ göredir. Geneli ${\displaystyle ProductLog(a,b)=W_{a}(b)}$ demektir.

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ olmak üzere

Örnek olarak ${\displaystyle W_{n}(10)}$ fonkisyonu hesap makinesiyle n=0 için ${\displaystyle W_{0}(10)=W(10)=1,7455...}$

n=1 için ${\displaystyle W_{1}(10)=0,7113...+i4,8577...}$

n=2 için ${\displaystyle W_{2}(10)=-0,0941...+i10,9870...}$

n=3 için ${\displaystyle W_{3}(10)=-0,5455...+i17,2471...}$

.

.

.

Örnekte görüldüğü gibi lambert W Fonksiyonun sadece bir çözümü yoktur. Çözüm kümesi birden çok olabilir.

• Matematiksel fonksiyonların listesi

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "On the Lambert W function" (PDF). Advances in Computational Mathematics. Cilt 5. Berlin, New York: Springer-Verlag. ss. 329-359. doi:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. 14 Aralık 2010 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Temmuz 2012. 
• Scott, T.C.; Mann, R.B.; Martinez Ii, Roberto E. (2006). "General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function". AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing). 17 (1). ss. 41-47. arXiv:math-ph/0607011 $2. doi:10.1007/s00200-006-0196-1. 
• Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013). "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function". SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation). 47 (185). ss. 75-83. 14 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Haziran 2014. 
• Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, W. Z. (2014). "Numerics of the Generalized Lambert W Function". SIGSAM. 48 (1/2). ss. 42-56. 14 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Haziran 2014. 
• Maignan, Aude; Scott, T. C. (2016). "Fleshing out the Generalized Lambert W Function". SIGSAM. 50 (2). ss. 45-60. doi:10.1145/2992274.2992275. 
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
• Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). 8 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
• Roy, R.; Olver, F. W. J. (2010), "Lambert W function", Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010).5 Haziran 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. C++ implementation using Halley's and Fritsch's iteration.
• National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W 15 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• MathWorld - Lambert W-Function 17 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research 8 Nisan 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.