Küresel üçgen üzerinde Legendre teoremi

Geometride, Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre adını taşıyan küresel üçgenler üzerinde Legendre teoremi şu şekilde ifade edilir:

\triangle ABC

, küçük kenarları

a,b,c

olan birim küre üzerindeki küresel bir üçgen olsun.

\triangle A'B'C'

ise aynı kenarlı düzlemsel üçgen olsun. Buna göre, küresel üçgenin açıları, düzlemsel üçgenin karşılık gelen açılarını küresel fazlalığın yaklaşık üçte biri kadar aşar (küresel fazlalık, küresel üçgendeki üç açının toplamının, düzlemsel üçgenin iç açıları toplamı olan

π

değerini aştığı miktardır).

Teorem, yaklaşık 1800'den yirminci yüzyılın ortalarına kadar geleneksel (GPS ve bilgisayar öncesi) jeodezik araştırmaların sonuçlarının hesaplanmasında ağır sayısal hesaplamaları basitleştirmekte çok önemliydi.

Teorem, metre (Delambre 1798) tanımında Fransız meridyen yayının ölçüm raporunun tamamlanmasına bir kanıt (1798) sağlayan Legendre (1787) tarafından ifade edilmiştir. Legendre, kendisine atfedilmesine rağmen teoremin yaratıcısı olduğunu iddia etmemektedir. Tropfke (1903), yöntemin o sırada araştırmacılar tarafından ortak kullanımda olduğunu ve 1740 gibi erken bir tarihte La Condamine tarafından Peru meridyen yayının hesaplanması için kullanılmış olabileceğini savunuyor.

Girard teoremi bir E üçgeninin küresel fazlalığının, alanı $\Delta$ 'ya eşit olduğunu ve dolayısıyla Legendre teoreminin aşağıdaki şekilde yazılabileceğini ifade eder:

{\begin{aligned}A-A'\;\approx \;B-B'\;\approx \;C-C'\;\approx \;{\frac {1}{3}}E\;=\;{\frac {1}{3}}\Delta ,\qquad a,\;b,\;c\,\ll \,1.\end{aligned}}

Küçük üçgenlerin fazlalığı veya alanı çok küçüktür. Örneğin, 6371 km yarıçaplı küresel bir Dünya üzerinde kenarları 60 km olan bir eşkenar küresel üçgen düşünün; kenar, ${\frac {60}{6371}}=,0094$ veya yaklaşık 10⁻² radyan (merkezde 0,57°'lik bir açıya karşılık gelen) bir açısal mesafeye karşılık gelir. Böyle küçük bir üçgenin alanı da aynı kenar ile düz bir eşkenar üçgen olduğu yaklaşılır: ${\frac {1}{2}}a^{2}sin({\frac {\pi }{3}})=0,0000433$ radyan yani 8,9″ 'ye karşılık gelir.

Üçgenlerin kenarları 180 km'yi aştığında fazlalık yaklaşık 80″ olup, alanlar arasındaki ilişkiler ve açı farklılıkları, 0,01″ 'den fazla olmamak kaydıyla, kenarlarda dördüncü terim ile düzeltilmelidir:

{\begin{aligned}\Delta &=\Delta '\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{24}}\right),\\A&=A'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left(-2a^{2}+b^{2}+c^{2}\right),\\B&=B'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}-2b^{2}+c^{2}}\right),\\C&=C'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}+b^{2}-2c^{2}}\right).\end{aligned}}

( $\Delta '$ düzlemsel üçgenin alanıdır.) Bu sonuç Buzengeiger (1818) tarafından kanıtlanmıştır — genişletilmiş bir kanıt Osborne (2013) (Ek D13)'de bulunabilir. Diğer sonuçlar Nádeník (2004) tarafından araştırılmıştır.

Eğer $a,b,c$ gerçek uzunlukları, (küresel bir yarıçap yerine) köşelerin medyan enleminde eğriliğin ana yarıçapının çarpımının kareköküne bölerek hesaplanırsa (bkz. Osborne (2013) Bölüm 5) teorem elipsoite genişletilbilir. Gauss (1828, Art. 26-28) daha kesin formüller sağlamıştır.