Koşullu beklenti

Koşullu beklenti, koşullu beklenen değer veya koşullu ortalama, olasılık kuramı bilim dalında bir reel değerli rassal değişken için bir koşullu olasılık dağılımı na göre matematiksel beklentidir.

Koşullu beklenti kavramı Rus matematikçi Andrey Kolmogorov tarafından ortaya atılmış olasılık kuramı'nın "ölçüm teorisi" ile tanımlanıp açıklanması sürecinde çok önemli bir rol oynamaktadır. Ayrıca stokastik sürecler incelemelerinde "martingal" konusu incelemesi için elzem bir kavramdır.

X ve Y ayrık rassal değişken olsunlar. Bu halde "Y=y olayı, Y sahasında ynin bir fonksiyonu olduğu verilmiş ise X değişkenin Y=y koşullu beklentisi şöyle tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x|Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} [X=x,Y=y]}{\operatorname {P} [Y=y]}},}$

Burada ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ X değişkeninin istatistiksel açıklığını gösterir.

Bu sonucu Ynin bir sürekli rassal değişken olması haline de genişletmeye çalışırsak bir sorun ile karşılaşırız. Bu halde P(Y=y) = 0 yani tek bir Y değeri için olasılık sıfır olur. Buna "Borel-Kolmogorov paradoksu" adi verilir, Bu yaklaşımla koşullu beklenti tanımlanmasına çalışmanın belirsizliği açıkça ortaya çıkar. Fakat yukarıda verilen ifadenin şöyle değiştirilmesi mümkündür:

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y=y]\operatorname {P} [Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x,Y=y],}$

Her iki taraf da sıfır olup burada ynin tek değerleri önemsiz olmakla beraber, bu ifade Y sahasında bulunan her türlü ölçülebilir B altseti için geçerli olur; yani

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {E} [X|Y=y]\operatorname {P} [Y=y]\ \operatorname {d} y=\int _{B}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x,Y=y]\ \operatorname {d} y.}$

Gerçekten bu hal hem koşullu beklenti hem de koşullu olasılık kavramlarını tanımlamak için yeterli şart olur.

${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ bir gerçel rassal değişken X ve bir alt-sigma cebiri ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ile bir olasılık uzayı olsun. O zaman bir verilmiş ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ için Xin koşullu beklentisi

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}](\omega )\ \operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )=\int _{B}X(\omega )\ \operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )\qquad {\text{for each}}\quad B\in {\mathcal {B}}}$

ifadesini tatmin eden herhangi bir ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$-ölçülebilir fonksiyon ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}]:\Omega \to \mathbb {R} }$ olur.^[1]

Burada dikkat edilirse, ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}]}$ koşullu beklenti fonksiyonun basit bir notasyonla ifade edilmesidir.

Verilen tanımlama üzerinde bazı noktaların tartışılması gerekir:

• Bu yapıcı ve pratik bir tanımlama değildir. Sadece koşullu beklentinin tatmin etmesi gereken niteliğinin verilmesidir.
  • Gereken nitelik giriş kısmında verilen son ifadenin aynı şeklindedir.
  • Bir koşullu beklentinin var olması "Radon-Nikodym teoremi" adı verilen bir savla gösterilir ve bu sav X için (koşulsuz) beklenti değerinin var olması için de yeterli bir şart sağlar.
  • Sonucun tek olması "nerede ise kesinlik" ile gösterilebilir; yani aynı koşullu beklentinin verziyonları ancak "sıfır olasılık seti" için değişik olacaktır.
• Sigma cebiri ile tanımlanmış ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ koşullanmanın "taneli olmasını (granularity)" kontrol eder. Daha ince taneli σ-algebra ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ σ-cebiri daha geniş turlu olaylar için koşullanmaya izin verir.
  • ${\displaystyle \scriptstyle ({\mathcal {Y}},\Sigma )}$ hal uzayli bir Y rassal değişkeni değerleri üzerinde bağımsızca koşullanma için Y ye göre Σnin "onsel-imaji (pre-image)"ni,yani

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma (Y)=\{Y^{-1}(S):S\in \Sigma \}}$

kullanarak koşullu beklenti tanımlama yeterlidir.

Bu koşullu beklentinin σ(Y)-ölçülebilir olmasını sağlamayı yeterli olur. Koşullu beklenti altında yatan Ω olasılık uzayındaki olaylar üzerine koşullanmış olarak tanımlanmakla beraber, bunun σ(Y)-ölçülebilir olması gerekliliği (girişte gösterildiği gibi) ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ üzerinde koşullanmaya imkân verir.

Herhangi bir istatistiksel olay ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ için su gosterge fonksiyonu tanımlansın:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

Bu "Borel σ-cebiri"ne göre [0,1] içinde bir rassal değişkendir, Bu rassal değişkenin beklentisi Anin olasılığına eşit olur:

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {1} _{A}]=\operatorname {P} [A].\;}$

Bu halde, 'verilmiş ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ için kosullu olasilik, eğer

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]}$ ifadesinin A için gösterge

fonksiyonunun koşullu beklentisi olması halinde

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [\cdot |{\mathcal {B}}]:{\mathcal {A}}\times \Omega \to \mathbb {R} }$

olur; yani

${\displaystyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]=\operatorname {E} [\mathbf {1} _{A}|{\mathcal {B}}]\;}$

Diğer bir şekilde ifadeyle, ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]}$

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}](\omega )\,\operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )=\operatorname {P} [A\cap B]\qquad {\text{for all}}\quad A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}.}$

ifadesini tatmin eden ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$-ölçülebilir fonksiyondur.

Eğer ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [\cdot |{\mathcal {B}}](\omega )}$ ifadesi her ω ∈ Ω için de bir olasilik olcusu ise, böyle bir koşullu olasılık düzgün olur. Bir düzgün koşullu olasılığa göre bir rassal değişkenin beklentisi onun koşullu beklentisine eşittir.

Bu denklem su verilen gösterimin bir kumutatif gosterim olduğunu söylemek seklinde de yorumlanabilir:

            E(X|Y)= goY
  ────────────────────────────────> R 
        Y             g=E(X|Y= ·)
Ω ───────────>  R   ──────────────> R 
ω ───────────> Y(ω) ──────────────> g(Y(ω)) = E(X|Y=Y(ω))
                y   ──────────────> g(y) = E(X|Y=  y)

Denklemin anlamına göre X için entegraller ve Unun bir altesinde ölçülebilir B için Y⁻¹(B) seklideki setler için ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=\ \cdot )\circ Y}$ bileşiği birbirine özdeştirler.

N σ-alt-cebirlenin M σ-alt-cebiri ile koşullandırılması için diğer bir gorus sekli bulunmaktadır. Bu sekil önceden verilmiş olan incelemenin basitçe özelleştirilmiş seklidir. U basit olarak, üzerinde N σ-cebirli ve Y ozdeslik tasarımı olan Ω uzayı olduğu kabul edilir. sonuç soyle ifade edilir:

Teorem: X Ω üzerinde entegrali bulunan gercel rassal değişken ise, o halde P'ye oranla eşdeğerliliğe uygunsa, tek bir ve tek su şarta uyan integre edilebilir g fonksiyonu bulunur; bu şarta göre altcebir N içinde bulunan herhangi bir B seti için

${\displaystyle \int _{B}X(\omega )\ d\operatorname {P} (\omega )=\int _{B}g(\omega )\ d\operatorname {P} (\omega )}$

olur. Burada g Nye göre ölçülebilir olur (ve bu X için gerekli olan M için ölçülebilir olma şartından daha siki bir şarttır.)

Bu şekilde koşullu beklenti genellikle E(X|N) olarak yazılır. Bu sekil olasılık kuramı üzerinde spesialize olan matematikçiler tarafından tercih edilmektedir. Buna bir neden entegre edilebilir kare gercel rassal değişkenler uzayında (yani sonlu ikinci momenti bulunan gerçel rassal değişkenler için)

X → E(X|N)

eşlenmesi kendine-eklenmiş ortogonal projeksiyon olur.

${\displaystyle L_{\operatorname {P} }^{2}(X;M)\rightarrow L_{\operatorname {P} }^{2}(X;N).}$

(Ω,M,P) bir olasılık uzayı olarak alınsın:

• Bir σ-altcebirine göre koşullandırılırsa, N entegre edilebilir gercel rassal değişkenler uzayında doğrusaldır.
• E(1|N) = 1
• Jensen'in esitsizligi geçerlidir: Eger f bir conveks fonksiyon ise, o halde

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X\mid N))\leq \operatorname {E} (f\circ X\mid N).}$

• Bir daralan projeksiyona göre koşullandılarsa herhangi bir s ≥ 1 için

${\displaystyle L_{P}^{s}(X;M)\rightarrow L_{P}^{s}(X;N)}$

olur.

• Toplam olasılık yasası
• Toplam beklenti yasası

• Ingilizce Wikipedi "Conditional expectation" maddesi 1 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:10.7.2010))
• William Feller, (1950), An Introduction to Probability Theory and its Applications Cilt.1,, Wiley. (İngilizce)
• Meyer, Paul A., (1956) Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co. (İngilizce)
• Grimmett, Geoffrey ve D.R.Stirzaker (1995), Probability and Random Processes, Oxford:Oxford University Press ISBN 0-19-857222-0 (İngilizce)