Kesme hatası - Turkipedia

Kesme hatası şu şekilde anlaşılabilir: Sayısal analiz ve bilimsel hesaplamalarda, sonsuz sayıda terimden oluşan bir toplama işlemi, gerektiği zaman, herhangi bir teriminden itibaren kesilerek ikiye ayrılır. Ardından sonlu sayıda terimden oluşan değerce büyük olan ilk kısmın, sonsuz sayıda olan tüm toplama işlemine eşit olduğunun varsayılır. Kesilerek atılan ikinci (geri kalan) kısmın değerce büyüklüğünün ilk kısma göre çok ufak olduğu farz edilir. Bu yaklaşımda oluşan hata bağıl olarak küçüktür ve bu hataya kesme hatası denir.

Örneğin, bir $f(x)$ fonksiyonunu Taylor serisi ile ele alalım.

Her dereceden türevli, gerçek ya da karmaşık bir $f(x)$ fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere $(a-r,a+r)$ aralığındaki Taylor serisi şu şekilde tanımlanabilir:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots$

Taylor serisi, yukarıda görüldüğü gibi, toplamı $f(x)$ fonksiyonunu veren sonsuz sayıda terimden oluşmuştur. Bu terimlerin en büyük ilk iki teriminden sonrasını yok farz edersek:

$f(x)\approx f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)$

Son olarak, bu iki terimin toplamının $f(x)$ 'e eşit olduğunu varsayarsanız, yok farz ettiğiniz terimlerin toplamı size kesme hatasının değerini verecektir.

Kesme hatasına yuvarlama hatası, kırpma hatası, yuvarlatma hatası da denildiğini hatırlatmak gerekir. Bu terimlerin tümü özünde aynı anlamdadır.

Kesme hatası, sıklıkla ayrıklaştırma hatasını da içerir. Ayrıklaştırma hatası, sonsuza giden bir sürecin sonucuna sonlu sayıda adımla yaklaşılan sayısal yöntemlerde (ör. hesaplamalı akışkanlar dinamiği (CFD) uygulamaları) ortaya çıkar. Örneğin, adi diferansiyel denklemler için kullanılan sayısal yöntemlerde, adım adım diferansiyel denklemin sonucuna yaklaşılır. Ancak, ne kadar çok adım ile yaklaşılırsa yaklaşılsın, yaklaşılarak bulunan değer ile diferansiyel denklemin gerçek değeri arasında bir fark olacaktır. İşte, bu yaklaşma sürecinde oluşan hataya da kesme hatası ya da ayrıklaşma hatası denir.

Kesme hatası teriminin bir başka kullanımı için Aritmetik taşma maddesine de bakılabilir.

Kaynakça

Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2.2 isbn=978-0-471-50023-0 bas.), New York: John Wiley & Sons, s. 20 KB1 bakım: Dikey çizgi eksik (link)
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3.3 isbn=978-0-387-95452-3 bas.), Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 1 KB1 bakım: Dikey çizgi eksik (link) .

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

Matematikte, Riemann toplamı genellikle fonksiyon eğrisinin altında kalan bölgenin yaklaşık alanıdır. Bu toplama, Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın soyadı verilmiştir.

Limit kelimesi Latince Limes ya da Limites 'den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamındadır. Öklid ve Arşimet tarafından eğrisel kenarlara sahip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır. Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibniz'in eserlerinde görülmüştür. Mesela, diferansiyel hesapta bir eğri sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sahip bir çokgen olarak kabul edilir. Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pek çok fizik probleminin kolayca ele alınmasını sağlar.

<span class="mw-page-title-main">Taylor serisi</span>

Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise, Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.

Matematikte adi diferansiyel denklem, tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Adi diferansiyel denklemler adı daha yaygındır. Kapalı olarak $\text{[math]}$ şeklinde gösterilirler. Bu ifadede $\text{[math]}$ denklemin derecesini gosterir.

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.

Başlangıçta sonsuz küçük hesap veya "sonsuz küçüklerin hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekillerle çalışması ve cebirin aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesi gibi, kalkülüs sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır.

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

\text{[math]}

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

$\text{[math]}$ üzerinde pozitif veya sıfır değerleri alır;
$\text{[math]}$ üzerinde integral değeri bulunabilir;
$\text{[math]}$ koşuluna uyar, yani eğri altındaki tüm alan bire eşittir.

Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır. Karl Weierstrass 1841'de bu seriyi bulmuş olabilir ancak o zamanda ilk yayınlayan olamamıştır.

<span class="mw-page-title-main">Sayısal analiz</span>

Sayısal analiz, diğer adıyla nümerik analiz veya sayısal çözümleme, matematiksel analiz problemlerinin yaklaşık çözümlerinde kullanılan algoritmaları inceler. Bu nedenle birçok mühendislik dalı ve doğa bilimlerinde önem arz eden sayısal analiz, bilimsel hesaplama bilimi olarak da kabul edilebilir. Bilgisayarın işlem kapasitesinin artması ile gündelik hayatta ortaya çıkan birçok sistemin matematiksel modellenmesi mümkün olmuş ve sayısal analiz algoritmaları burada ön plana çıkmıştır. 21. yüzyıldan itibaren bilimsel hesaplama yöntemleri mühendislik ve doğa bilimleri ile sınırlı kalmamış ve sosyal bilimler ile işletme gibi alanları da etkilemiştir. Sayısal analizin alt başlıklarına adi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri ve özellikle veri biliminde önem taşıyan sayısal lineer cebir ile optimizasyon örnek gösterilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Geometrik seri</span> (sonsuz) geometrik dizilişin toplamı

Matematikte geometrik seri art arda gelen iki terimi arasında sabit bir oran bulunan seridir. Örneğin,

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Taylor teoremi</span>

Kalkülüste Taylor teoremi, türevi tanımlı bir işleve bir nokta çevresinde, katsayıları yalnızca işlevin o noktadaki türevine bağlı olan polinomlar cinsinden bir yaklaştırma dizisi üreten bir sonuçtur. Teorem, yaklaştırma hesaplamalarındaki hata payına ilişkin kesin sonuçlar da verebilmektedir. Brook Taylor adlı matematikçinin 1712 yılında yaptığı çalışmalarından ötürü ismi bu şekilde anılan teoremin aslında bundan 41 yıl önce James Gregory tarafından bulunduğu bilinmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Kuvvet serisi</span>

Matematikte kuvvet serisi

\text{[math]}

Sonlu fark, f(x + b) − f(x + a) matematiksel ifadesidir.

Sonlu farklar yöntemi bir sayısal yöntemdir. Sonlu fark denklemlerinden faydalanır. Bu denklemler ile diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerine yaklaşılır.

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

\text{[math]}

;

\text{[math]}

Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique Augustin-Louis Cauchy tarafından 1821'de yayınlanan sonsuz küçükler hesabında ufuk açıcı bir ders kitabıdır. Bu makale, kitabın içeriğini açıklarken Bradley ve Sandifer'in çevirisini takip etmektedir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.