Kerala astronomi ve matematik okulu

Kerala Astronomi ve Matematik Okulu
Türü	Astronomi, Matematik, Bilim
Müdür	Sangamagramalı Madhava
Adresi	Merkez ve Kuzey Kerala, Hindistan

Kerala astronomi ve matematik okulu veya Kerala Okulu, Sangamagramalı Madhava tarafından Tirur, Malappuram, Kerala, Hindistan'da kurulan ve üyeleri arasında Parameshvara, Neelakanta Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri ve Achyuta Panikkar'ın da bulunduğu bir matematik ve astronomi okuludur. Okul, 14. ve 16. yüzyıllar arasında gelişti ve orijinal keşifleri Narayana Bhattathiri (1559-1632) ile sona ermiş gibi görünmektedir. Astronomi problemlerini çözmeye çalışan Kerala Okulu, bağımsız olarak bir dizi önemli matematiksel kavram da keşfetmiştir. En önemli sonuçları -trigonometrik fonksiyonlar için seri açılımı- Neelakanta'nın Tantrasangraha adlı kitabında Sanskritçe manzum olarak ve yine bu eser üzerine yazılmış, yazarı bilinmeyen Tantrasangraha-vakhya adlı bir şerhte açıklanmıştır. Teoremler ispatsız olarak ifade edilmiştir, ancak sinüs, kosinüs ve ters tanjant serileri için ispatlar bir yüzyıl sonra Jyesthadeva tarafından Malayalam dilinde yazılan Yuktibhasa (y. 1530) adlı eserde ve ayrıca Tantrasangraha üzerine bir yorumda verilmiştir.^[1]

Avrupa'da kalkülüsün icadından iki yüzyıl önce tamamlanan çalışmaları, günümüzde kuvvet serisinin (geometrik seriler dışında) ilk örneği olarak kabul edilen şeyi sağlamıştır.^[2][3][4]

İslam bilginleri, MS 1000'lerde polinomların integrallerini bulmak için neredeyse genel bir formül geliştirmişlerdi ve belli ki ilgilendikleri herhangi bir polinom için böyle bir formül bulabilirlerdi. Ancak, öyle görünüyor ki, en azından bize ulaşan kaynakların hiçbirinde, dörtten yüksek dereceli hiçbir polinomla ilgilenmemiş gibi görünmektedirler. Öte yandan Hint bilginler, 1600 yılı itibarıyla, ilgilendikleri fonksiyonlar için güç serilerini hesaplamada İbn el-Heysem'in keyfi integral güçler için toplam formülüne benzer bir formül kullanabiliyorlardı. Aynı zamanda, bu fonksiyonların diferansiyellerini nasıl hesaplayacaklarını da biliyorlardı. Yani kalkülüsün bazı temel fikirleri Newton'dan yüzyıllar önce Mısır ve Hindistan'da biliniyordu. Bununla birlikte, ne İslam ne de Hint matematikçileri bizim kalkülüs adı altında topladığımız bazı farklı fikirleri birbirine bağlama gerekliliğini görmemiş gibi görünüyor. Görünüşe göre sadece bu fikirlere ihtiyaç duyulan özel durumlarla ilgileniyorlardı.^[5][6]

Kerala Okulu, sonsuz seriler ve kalkülüs alanlarına bir dizi katkıda bulunmuştur. Bunlar aşağıdaki sonsuz geometrik serileri içerir:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^[7]

Kerala Okulu, Tümevarım hipotezi henüz formüle edilmemiş veya ispatlarda kullanılmamış olmasına rağmen, matematiksel tümevarımı sezgisel olarak kullanmıştır.^[1] Bunu, sonucun yarı titiz bir ispatını keşfetmek için kullanmışlardır:

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$

büyük n değerleri için.

${\displaystyle \sin x}$, ${\displaystyle \cos x}$ ve ${\displaystyle \arctan x}$ için (Taylor-Maclaurin) sonsuz seriler elde etmek için diferansiyel ve integral kalkülüsten fikirler uyguladılar.^[8] Tantrasangraha-vakhya matematiksel notasyona çevrildiğinde şu şekilde yazılabilecek olan seriyi dize olarak verir:^[1]

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ burada }}{\frac {y}{x}}\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots }$

Burada, ${\displaystyle r=1,}$ için seriler, örneğin bu trigonometrik fonksiyonlar için standart kuvvet serilerine indirgenir:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$ ve

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

(Kerala Okulu, "faktöriyel" sembolizmini kullanmamıştır).

Kerala Okulu, bu sonuçların kanıtını vermek için bir dairenin yayının rektifikasyonundan (uzunluğunun hesaplanmasından) yararlanmıştır. (Leibniz'in daha sonra kullandığı kareleme yöntemi (yani dairenin yayı altındaki alanın hesaplanması) henüz geliştirilmemişti.)^[1] Ayrıca ${\displaystyle \pi }$ için sonsuz bir seri ifadesi (daha sonra Gregory serisi olarak bilinir) elde etmek için ${\displaystyle \arctan x}$'in seri açılımını kullandılar:^[1]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Serilerinin sonlu toplamı için "hata" rasyonel yakınsamaları özellikle ilgi çekicidir. Örneğin, ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$, (n tek ve i = 1, 2, 3 için) serisi için hata:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

burada ${\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}-n}}}$ kısmi kesir açılımını kullanarak ${\displaystyle \pi }$ için daha hızlı yakınsayan bir seri elde etmek için terimleri değiştirdiler:^[1]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

Geliştirilmiş seriyi^[1] ${\displaystyle \pi }$ için dokuz ondalık basamağa kadar doğru olan ${\displaystyle {\frac {104348}{33215}}}$ rasyonel ifadesini, yani ${\displaystyle 3,141592653}$ türetmek için kullandılar. Bu sonuçları hesaplamak için sezgisel bir limit kavramından yararlandılar.^[1] Kerala Okulu matematikçileri ayrıca bazı trigonometrik fonksiyonların^[9] türevi için yarı-titiz bir yöntem de verdiler, ancak fonksiyon kavramı ya da üstel veya logaritmik fonksiyonlar henüz formüle edilmemişti.

1825 yılında John Warren, Güney Hindistan'da zamanın bölünmesi üzerine Kala Sankalita adlı bir anı kitabı ^[10] yayınladı ve bu kitapta Kerala astronomlarının sonsuz serileri keşfettiğinden kısaca bahsedildi.

Kerala Okulunun çalışmaları Batı dünyası için ilk kez 1835 yılında İngiliz C. M. Whish tarafından kaleme alınmıştır. Whish'e göre, Kerala matematikçileri "tam bir akı sisteminin temelini atmışlardı" ve bu çalışmalar "yabancı ülkelerin hiçbir çalışmasında bulunmayan akı formları ve serileriyle" doluydu.^[11] Ancak Whish'in sonuçları, Kerala Okulunun keşiflerinin C. T. Rajagopal ve arkadaşları tarafından tekrar araştırıldığı bir asır sonrasına kadar neredeyse tamamen ihmal edilmiştir. Çalışmaları, iki makalede verilen Yuktibhasadaki arktan serisinin kanıtları üzerine yorumları ve arctan, sin ve kosinüs serileri için Tantrasangrahavakhya'nın Sanskritçe dizelerini sağlayan iki makaleyi^[12][13] Yuktibhasa'nın sinüs ve kosinüs serileri ispatı üzerine bir yorum^[14] içermektedir (İngilizce çeviri ve yorumla birlikte).^[15][16]

1952 yılında Otto E. Neugebauer, Tamil astronomisi üzerine yazdı.^[17]

1972 yılında K. V. Sarma, Kerala Hint Astronomi Okulunun Tarihi (A History of the Kerala School of Hindu Astronomy) adlı eserini yayınlamış ve bu eserde okulun 13. yüzyıldan 17. yüzyıla kadar bilgi aktarımının sürekliliği gibi özellikleri tanımlanmıştır: Govinda Bhattathiri'den Parameshvara'ya Damodara'dan Nilakantha Somayaji'ye Jyesthadeva'dan Acyuta Pisarati'ye. Öğretmenden öğrenciye aktarım, "basılı kitapların ve devlet okullarının çoğalmadığı bir zamanda astronomi gibi pratik, gösterici bir disiplinde" bilgiyi korumuştur.

1994 yılında güneş merkezli modelin Kerala'da MS. 1500 yıllarında benimsendiği ileri sürülmüştür.^[18]

A. K. Bag, 1979'da bu sonuçlara ilişkin bilginin tüccarlar ve Cizvit misyonerleri tarafından Kerala'dan ticaret yolu ile Avrupa'ya aktarılmış olabileceğini öne sürmüştür.^[19] Kerala, Çin ve Arabistan ve Avrupa ile sürekli temas halindeydi. Bazı bilim insanlarının^[20][21] bazı iletişim yolları ve kronoloji önermesi böyle bir aktarımı mümkün kılabilir; ancak böyle bir aktarımın gerçekleştiğine dair ilgili el yazmaları yoluyla doğrudan bir kanıt yoktur.^[21]

David Bressoud'a göre, "Hint dizi çalışmalarının on dokuzuncu yüzyıla kadar Hindistan dışında, hatta Kerala dışında bilindiğine dair hiçbir kanıt yoktur".^[8][22] V. J. Katz, Kerala okulunun bazı fikirlerinin 11. yüzyıl Iraklı bilgin İbn el-Heysem'in çalışmalarıyla benzerlikler taşıdığını belirtmektedir,^[9] bu da fikirlerin Orta Çağ İslam matematiğinden Kerala'ya aktarılmış olabileceğini düşündürmektedir.^[23]

Hem Hint hem de Arap bilginleri 17. yüzyıldan önce bugün kalkülüsün bir parçası olarak kabul edilen keşiflerde bulunmuşlardır.^[9] Katz'a göre, Newton ve Leibniz gibi, "birçok farklı fikri türev ve integral gibi iki birleştirici tema altında bir araya getiren, ikisi arasındaki bağlantıyı gösteren ve kalkülüsü bugün sahip olduğumuz büyük problem çözme aracına dönüştüren" henüz onlar değildi.^[9] Hem Newton hem de Leibniz'in entelektüel kariyerleri iyi belgelenmiştir ve çalışmalarının kendilerine ait olmadığına dair hiçbir belirti yoktur;^[9] ancak, Newton ve Leibniz'in yakın "seleflerinin", "özellikle Fermat ve Roberval dahil olmak üzere, İslam ve Hint matematikçilerinin bazı fikirlerini şu anda bilmediğimiz kaynaklar aracılığıyla öğrenip öğrenmedikleri" kesin olarak bilinmemektedir.^[9] Bu, özellikle İspanya ve Mağrip'in el yazması koleksiyonlarında, şu anda diğer yerlerin yanı sıra Paris'teki Centre national de la recherche scientifique'de sürdürülen aktif bir araştırma alanıdır.^[9]

• Hint astronomisi
• Hint matematiği
• Hint matematikçiler listesi
• Matematik tarihi
• Hindu Astronomisinin Kerala Okulunun Tarihi
• Kerala Okulu astronom ve matematikçileri listesi

• Bressoud, David (2002), "Was Calculus Invented in India?", The College Mathematics Journal, 33 (1), ss. 2-13, doi:10.2307/1558972, JSTOR 1558972 .
• Gupta, R. C. (1969) "Second Order of Interpolation of Indian Mathematics", Indian Journal of History of Science 4: 92-94
• Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", Grattan-Guinness, Ivor (Ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, pp. 118–130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, ISBN 0-8018-7396-7 .
• Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8 .
• Katz, Victor J. (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine, 68 (3), ss. 163-174, doi:10.2307/2691411, JSTOR 2691411 .
• Parameswaran, S. (1992) "Whish's showroom revisited", Mathematical Gazette 76, no. 475 pages 28–36
• Pingree, David (1992), "Hellenophilia versus the History of Science", Isis, 83 (4), ss. 554-563, Bibcode:1992Isis...83..554P, doi:10.1086/356288, JSTOR 234257 
• Plofker, Kim (1996), "An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text", Historia Mathematica, 23 (3), ss. 246-256, doi:10.1006/hmat.1996.0026  .
• Plofker, Kim (2001), "The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine", Historia Mathematica, 28 (4), ss. 283-295, doi:10.1006/hmat.2001.2331  .
• Plofker, K. (20 Temmuz 2007), "Mathematics of India", Katz, Victor J. (Ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages (2007 tarihinde yayınlandı), ss. 385-514, ISBN 978-0-691-11485-9 .
• C. K. Raju. 'Computers, mathematics education, and the alternative epistemology of the calculus in the Yuktibhâsâ', Philosophy East and West 51, University of Hawaii Press, 2001.
• Roy, Ranjan (1990), "Discovery of the Series Formula for ${\displaystyle \pi }$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha", Mathematics Magazine, 63 (5), ss. 291-306, doi:10.2307/2690896, JSTOR 2690896 .
• Sarma, K. V.; Hariharan, S. (1991). "Yuktibhasa of Jyesthadeva : a book of rationales in Indian mathematics and astronomy – an analytical appraisal". Indian J. Hist. Sci. 26 (2). ss. 185-207. 
• Singh, A. N. (1936), "On the Use of Series in Hindu Mathematics", Osiris, cilt 1, ss. 606-628, doi:10.1086/368443, JSTOR 301627 
• Stillwell, John (2004), Mathematics and its History, 2, Berlin and New York: Springer, 568 pages, ISBN 0-387-95336-1 .
• Tacchi Venturi. 'Letter by Matteo Ricci to Petri Maffei on 1 Dec 1581', Matteo Ricci S.I., Le Lettre Dalla Cina 1580–1610, vol. 2, Macerata, 1613.

Wikimedia Commons'ta Kerala astronomi ve matematik okulu ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "An overview of Indian mathematics", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
• Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Keralese mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Possible transmission of Keralese mathematics to Europe, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• "Indians predated Newton 'discovery' by 250 years" phys.org, 2007