Karekök

^[1] Matematikte negatif olmayan bir gerçel ${\displaystyle x}$ sayısının temel karekök bulma işlemi ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ şeklinde gösterilir ve karesi (bir sayının kendisiyle çarpılmasının sonucu) ${\displaystyle x}$ olan negatif olmayan bir gerçek sayıyı ifade eder.

Örneğin, ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ 'tür çünkü ${\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}$ 'dur.

Bu örneğin de ileri sürdüğü gibi karekök bulma, ikinci dereceden denklemlerin (genel olarak ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ tipi denklemler) çözümünde kullanılabilir.^[2]

Karekök almanın sonucunda iki çözüm vardır. Negatif olmayan sayılar için bunlar temel kare kök ve negatif kare köktür. Negatif sayıların kare köklerini tanımlamak için ise sanal sayı ve karmaşık sayılar kavramları geliştirilmiştir.

Pozitif tam sayıların kare kökleri genel olarak irrasyonel sayılardır (iki tam sayının kesiri olarak ifade edilemeyen sayılardır).

Örneğin ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, tam olarak m/n (m ve n tam sayı olacak şekilde) şeklinde yazılamaz. Buna karşın bu sayı kenarları 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğuna eşittir.

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ irrasyonel olduğunun bulunması Pythagoras'ın bir takipçisi olan Hippasus'a atfedilir. Bu konuyla ilgili şöyle bir rivayet anlatılır; Sayılara mutlak bir inançla bağlı olan Pisagor'un takipçilerinden birisi olan Metanpontumlu Hippasus, dik kenarları 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlamış. Bunu kabullenemeyen Pisagor, Hippasus'un kanıtlarının aksini de gösteremeyince, açık denizde Hippasus'u bir tekneden suya attırmış.^[3]

Kare kök sembolü (${\displaystyle \surd }$) ilk olarak 16. yüz yılda kullanılmaya başlanmıştır. Latince kök demek olan radix kelimesinin baş harfinden, yani küçük r harfinden türetildiği söylenir.

Karekök Ortalama (matematikte İngilizcesinden dolayı ('root mean square', kısaltması RMS ya da rms) olarak da kullanılır), ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistiki bir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır.

Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir. Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir.

Karekökün sürekli kesri:

${\displaystyle x-1=({\sqrt {x}}+1)({\sqrt {x}}-1)}$ Burada x-1 in iki kare farkının açılımı yapıldı. İşleme devam edilip düzenlenirse: ${\displaystyle {\sqrt {x}}-1={\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}$ şeklinde olur. Şimdi burada sol taraftaki √x in değeri sağ taraftaki √x in yerine bir defa yazılırsa ${\displaystyle {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}}$ şekline dönüşür. Aynı işleme devam edilirse ${\displaystyle {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}}}}$ bu işlem sonsuz defa

uygulanırsa ${\displaystyle {\sqrt {x}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+\ddots }}}}}}}}\,}$ olur. Bu sürekli kesir aynı zamanda K sembolüyle gösterilirse ("K" burada Almanca bir kelime olan ve sürekli kesir manasına gelen Kettenbruch terimine işaret eder).^[4]${\displaystyle {\sqrt {x}}=1+{\underset {a=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {x-1}{2}}.\,}$ dir.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}}$

${\displaystyle B_{k}}$ burada k, k'ıncı Bernoulli sayısıdır.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{\frac {1}{2}}\approx {\frac {2}{3}}n\,{\sqrt {n}}+{\frac {1}{2}}\,{\sqrt {n}}+\varepsilon }$

i=1298 için ${\displaystyle \varepsilon =0,20672971}$

${\displaystyle n}$ sayıdaki değerlerin ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{\mathrm {rms} }=............=..{\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over n}}}$

olarak hesaplanır.

${\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}$ aralığında sürekli bir f(t) fonksiyonu için karşılık gelen formülü;

${\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}}$

Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunlukla fizik ve elektrik mühendisliğinde kullanılır. Örneğin, ${\displaystyle R}$ direncindeki bir iletken tarafından harcanan ${\displaystyle P}$ gücünü hesaplamak isteyebiliriz. İletkenden sabit bir ${\displaystyle I}$ akımı aktığında bu hesabı yapmak kolaydır. Basitçe:

${\displaystyle P=I^{2}R\,\!}$

Ancak akım değişen bir ${\displaystyle I(t)}$ fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer.

${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }\,\!}$	${\displaystyle =\langle I^{2}R\rangle \,\!}$ (${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ aritmetik ortalamayı ifade eder)
	${\displaystyle =R\langle I^{2}\rangle \,\!}$ (R bir sabit olduğuna göre ortalamanın dışına çıkarılabilir)
	${\displaystyle =I_{\mathrm {rms} }^{2}R\,\!}$ (RMS in tanımından)

Aynı metot ile;

${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }={V_{\mathrm {rms} }^{2} \over R}\,\!}$

${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }=V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\,\!}$

Ancak bu tanım gerilimin ve akımın birbiriyle orantılı olduğu (yani yükün rezistif olduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez.

Şebeke güçlerinde olduğu gibi alternatif akımın genel durumunda, ${\displaystyle I(t)}$ sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durum denkleminden kolaylıkla hesaplanabilir. ${\displaystyle I_{\mathrm {p} }}$ yi tepe genliği olarak tanımladığımızda:

${\displaystyle I_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{(I_{\mathrm {p} }\sin(\omega t)}\,})^{2}dt}}\,\!}$

${\displaystyle I_{\mathrm {p} }}$ pozitif bir gerçel sayılar olduğuna göre,

${\displaystyle I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}}$

Trigonometrik fonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında:

${\displaystyle I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}}$

Fakat aralık tam periyotlardan oluşan bir tam sayı olduğu için (rms in periyodik fonksiyonlar için tanımından ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{t}}}$) Sinüs değerler iptal edilir.

${\displaystyle I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}}$

Saf bir sinüs dalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1.414(${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) tür. Tepeden tepeye voltajı bunun iki katıdır.

• Tepe genliği ${\displaystyle I_{\mathrm {p} }\!}$ tepeden tepeye genliğin ${\displaystyle I_{\mathrm {p-p} }\!}$ yarısıdır.
• Bir AC dalga formunun zirve faktörü (crest factor); tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır.
• Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor); tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır.

• RMS değeri = Tepe değeri
• Ortalama Değeri = Tepe değeri
• Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri
• RMS değeri = 0.666 x Tepe değeri
• Ortalama Değeri = 0.33 x Tepe değeri
• Tepeden tepeye değeri = 3 x Tepe değeri

• Matematiksel fonksiyonların listesi

• RMS calculator2 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• An explanation of why RMS is a misnomer when applied to power30 Ağustos 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• RMS, Peak and Average for some waveforms12 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.