İçeriğe atla

Kare matris

4 boyutlu bir kare matris. aii girişleri kare matrisin ilkköşegenidir. Örneğin, yukarıdaki 4'e 4'lük kare matrisin ilkköşegeninin ögeleri (elemanları) şunlardır: a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.

Doğrusal cebirde, kare matris, satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrisdir. n ye n lik bir matris, boyutu n olan bir kare matris olarak bilinir. Aynı boyuta sahip herhangi iki matriste, toplama ve çarpma işlemleri yapılabilir.

Kare matrisler genellikle, kesme veya rotasyon gibi basit doğrusal dönüşümlerde kullanılır. Örneğin; R kare matrisi, bir rotasyonu (rotasyon matrisi) ifade etsin ve v, vektör uzayında bir noktanın konumunun sütun vektörünü açıklasın. Rv çarpımı, rotasyondan sonraki noktanın konumunun başka bir sütun vektörünü açıklar. Eğer v, bir satır vektör ise, vRT kullanılarak aynı dönüşüm elde edilebilir. Burada RT, R matrisinin transpozesidir.

İlkköşegen

İlkköşegen, bir kare matrisin aii (i = 1, ..., n) girişleridir. Bunlar, kare matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine uzanan bir düz imajiner (hayali) çizgi üzerinde bulunur. Örneğin, yukarıdaki 4'e 4'lük kare matrisin ilkköşegeninin ögeleri (elemanları) şunlardır: a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.

Kare matrisin, sağ alt köşesinden sol üst köşesine giden köşegen ters köşegen olarak adlandırılır.

Özel kare matrisler

Adn = 3'lük örnek
Köşegen matris
Alt üçgen matris
Üst üçgen matris

Köşegen veya üçgen matris

Köşegen matris, ilkköşegenin dışında kalan girişlerin tümü sıfır olan bir matristir. Eğer ilkköşegenin üstündeki (veya altındaki) girişlerin tümü sıfır ise, bu matris üst (veya alt) üçgen matris olarak adlandırılır.

Birim matris

n boyutlu In birim matris, ilkköşegenin tüm ögeleri 1, geri kalanları 0 olan, n ye n lik matristir.

Simetrik ve çarpık-simetrik matris

Transpozesi (AT) kendisine eşit olan bir A kare matrisine simetrik matris denir. A matrisi, transpozesinin negatifine eşit ise (A = −AT), bu durumda A çarpık-simetrik matrisdir. Karmaşık matrislerde simetrik matris yerine daha çok Hermisyen matris kavramı kullanılır ve A = A ile sembolize edilir. Burada yıldız işareti, matrisin eşlenik transpozesidir. Örneğin, A matrisinin karmaşık eşlenik transpozesi gibi.

Terslenebilir matris ve tersi

AB = BA = In eşitliğini sağlayan A kare matrisinin, terslenebilir matrisi (bazen ters matris olarak da anılır) B dir. Bu durumda B=A−1'dir.

Pozitif tanımlı matris

Pozitif tanımlıTanımsız
Q(x,y) = 1/4 x2 + 1/4y2Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2

Q(x,y) = 1 gibi noktalar
(Elips).

Q(x,y) = 1 gibi noktalar
(Hiperbol).

Bir n×n simetrik matrisi, :Q(x) = xTAx ikinci dereceden formundaki x ∈ Rn sıfırsız vektörlerin tümü için, yalnızca pozitif değerler (benzer şekilde yalnızca negatif değerler; hem biraz negatif hem de biraz pozitif değer) alıyorsa, bu matris, pozitif tanımlı (benzer şekilde negatif tanımlı; tanımsız) olarak adlandırılır. Eğer ikinci dereceden form, yalnızca negatif olmayan (benzer şekilde yalnızca pozitif olmayan) değer alıyorsa bu simetrik matris, pozitif yarı tanımlı (benzer şekilde negatif yarı tanımlı) olarak adlandırılır. Bu yüzden matris, ne pozitif yarı tanımlı ne de negatif yarı tanımlı değilse, bu durumda tanımsız olarak adlandırılır.

Pozitif tanımlı bir simetrik matris, kendi değerlerini tümü pozitiftir. Sağdaki tablo, 2'ye 2'lik bir matrisin iki ihtimalini gösteriyor.

A matrisinin çift doğrusal formu, iki farklı vektörlerle şöyle ifade edilir:

BA (x, y) = xTAy.

Dikey matris

Dikey matris, tüm satır ve sütunları, reel giriş (öge) olan ve dikey birim vektörlerden meydana gelen bir kare matristir. Benzer şekilde eğer A matrisinin transpozesi ters matrisine eşitse bu matris dikey matristir ve şöyle ifade edilir:

Bu durumda

eşitlikleri sağlanır. Burada, I birim matrisdir.

İşlemler

İlkköşegen toplamı

Bir A kare matrisinin tr(A) ilkköşegen toplamı, köşegen girişlerinin toplamıdır. İki kare matrisin çarpımlarının ilkköşegen toplamı aynıdır. Yani matrislerin yerlerinin değiştirilmesi önemsizdir.

tr(AB) = tr(BA).

Matris çarpmanın genel ifadesi şöyle yazılabilir:

Ayrıca bir kare matrisin ilkköşegen toplamı, matrisin transpozesinin ilkköşegen toplamı eşittir.

tr(A) = tr(AT).

Determinant

R2'deki bir doğrusal dönüşüm matris ile ifade edilir. Bu matrisin determinantı -1'dir. Bu durumda sağdaki yeşil paralel kenarın alanı 1'dir

.

Bir A kare matrisinin determinantı det(A) veya |A|, matrisin belirli özelliklerini saklayan bir sayıdır. Bir kare matrisin determinantı ancak ve ancak sıfırdan farklı ise terslenebilir matrisdir.

2'ye 2'lik kare matrislerin determinantı şöyle ifade edilir:

3'e 3'lük kare matrisin determinantı, 6 terimden oluşur. (Sarrus kuralı).

Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, her bir matrisin determinantının çarpımına eşittir. Bu eşitlik şöyle ifade edilir:

det(AB) = det(A) · det(B).

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matris (matematik)</span>

Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

Hermisyen matris karmaşık eşleniğinin transpozesi kendisine eşit olan matrislere verilen genel addır. Transpozesinin kendisine eşit olması şartı bu matrislerin kare matris olmaları kısıtlamasını getirir. Ayrıca köşegen elemanları düşünürsek bu elemanların transpozeleri de kendi yerlerinde olduğu için eşlenik alma işlemi altında değişmez kalabilmeleri ancak gerçel sayı olmaları durumunda sağlanacağından her Hermisyen matrisin tüm köşegen elemanları tanımın getirdiği bir kısıtlamadan dolayı gerçel olmak zorundadır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, çokdeğişirli normal dağılım veya çokdeğişirli Gauss-tipi dağılım, tek değişirli bir dağılım olan normal dağılımın çoklu değişirli hallere genelleştirilmesidir.

<span class="mw-page-title-main">Doğrusal denklem dizgesi</span>

Doğrusal denklem dizgesi, birkaç tane aynı tip değişkenleri içeren birkaç tane doğrusal denklemlerin oluşturduğu topluluktur. Örneğin:

<span class="mw-page-title-main">Kovaryans matrisi</span>

İstatistik'te, kovaryans matrisi, rassal vektörlerin elemanları arasındaki kovaryansları içeren matristir. Kovaryans matrisi, skaler-değerli rassal değişkenler için var olan varyans kavramının çok boyutlu durumlara genelleştirilmesidir.

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) AT şeklinde ifade edilir. Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:

<span class="mw-page-title-main">Boşuzay</span>

Doğrusal cebirde, bir matrisinin boşuzayı (kernel, null space) bağıntısını sağlayan tüm vektörlerinin oluşturduğu kümedir. Bir matrisinin 'boşuzay' boyutu, matrisine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız yöneylerine göre hesaplanır.

Matematik ve özellikle doğrusal cebirde, bir çarpık-simetrik matris, transpozu aynı zamanda olumsuzu olan bir kare matristir; yani durumunu sağlar. Eğer satırı ve sütunundaki giriş ise, çarpık-simetrik matris ilişkisine sahiptir. Örneğin, aşağıdaki matris çarpık-simetriktir:

Doğrusal cebirde sütun vektör veya sütun matris, m × 1 matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;

Doğrusal cebirde köşegen matris, (↘) ilkköşegenin dışında kalan girişlerin tümü sıfır ve genellikle kare matris olan bir matrisdir. n sütun ve n satırdan oluşan D = (di,j) matrisi şöyledir:

,
<span class="mw-page-title-main">Üçgen matris</span>

Doğrusal cebirde üçgen matris, bir özel kare matris tir. Kare matrisin ilkköşegeninin üstündeki girişlerin tümü sıfır ise alt üçgen matris, benzer şekilde ilkköşegenin altındaki girişlerinin tümü sıfır ise üst üçgen matris olarak adlandırılır. Üçgen matris, ya alt üçgen ya da üst üçgen olabilir. Hem üst hem de alt üçgen matris köşegen matris olarak adlandırılır. Matris denklemlerinden dolayı üçgen matrislerin çözümü kolaydır. Bu matrisler sayısal analizde çok sık kullanılır.

Doğrusal cebirde, satır vektör veya satır matris, 1 × m matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris toplamı, iki matrisin ilgili girişlerinin eklenmesi işlemidir. Matrisler için diğer bir toplama işlemi türü doğrudan toplamdır.

Successive Over-Relaxation (SOR) lineer denklem sistemlerini çözmek ve sonuca daha hızlı yakınsamak için sayısal lineer cebirde kullanılan bir çeşit Gauss-Seidel metodudur. Daha yavaş yakınsamalar içinse benzer bir metot olan iterative metot kullanılır.

<span class="mw-page-title-main">Hesse matrisi</span>

Matematikte, Hesse matrisi bir skaler değerli fonksiyonun ya da skaler alanın ikinci-dereceden kısmi türevlerinden oluşan kare matristir. Çok değişkenli bir fonksiyonun yerel eğriliğini ifade eder. Hesse matrisi, 19. yüzyılda Alman matematikçi Otto Hesse tarafından bulunmuştur ve ismini bu kişiden alır. Hesse'nin ilk kullandığı terim fonksiyonel determinantlardır.

<span class="mw-page-title-main">Jacobi matrisi</span>

Vektör hesabında, Jacobi matrisi bir vektör-değerli fonksiyonun bütün birinci-derece kısmi türevlerini içeren matristir. Bu matris bir kare matris olduğunda, yani fonksiyonun girdi sayısı çıktı sayısının vektör bileşenleriyle aynı sayıdaysa, bu matrisin determinantı Jacobi determinantı olarak adlandırılır. Literatürde sıklıkla Jacobi olarak anılır.

<span class="mw-page-title-main">Birim matris</span> asal köşegendeki sayıları bir, diğer sayıları sıfır olan kare matris

Lineer cebirde, n boyutlu birim matris, ana köşegeni birlerden ve diğer elemanları sıfırlardan oluşan n × n boyutlu bir kare matristir. In ya da sadece I ile gösterilir. Kuantum mekaniği gibi bazı alanlarda, birim matris kalın bir rakamı 1 ile de gösterilir. Nadiren, bazı kitaplarda İngilizce ve Almanca kelimelerin baş harfleri olan U ya da E ile gösterildiği olur.

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.