Kare matris

Doğrusal cebirde, kare matris, satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrisdir. n ye n lik bir matris, boyutu n olan bir kare matris olarak bilinir. Aynı boyuta sahip herhangi iki matriste, toplama ve çarpma işlemleri yapılabilir.

Kare matrisler genellikle, kesme veya rotasyon gibi basit doğrusal dönüşümlerde kullanılır. Örneğin; R kare matrisi, bir rotasyonu (rotasyon matrisi) ifade etsin ve v, vektör uzayında bir noktanın konumunun sütun vektörünü açıklasın. Rv çarpımı, rotasyondan sonraki noktanın konumunun başka bir sütun vektörünü açıklar. Eğer v, bir satır vektör ise, vR^T kullanılarak aynı dönüşüm elde edilebilir. Burada R^T, R matrisinin transpozesidir.

İlkköşegen, bir kare matrisin a_ii (i = 1, ..., n) girişleridir. Bunlar, kare matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine uzanan bir düz imajiner (hayali) çizgi üzerinde bulunur. Örneğin, yukarıdaki 4'e 4'lük kare matrisin ilkköşegeninin ögeleri (elemanları) şunlardır: a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Kare matrisin, sağ alt köşesinden sol üst köşesine giden köşegen ters köşegen olarak adlandırılır.

Ad	n = 3'lük örnek
Köşegen matris	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Alt üçgen matris	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Üst üçgen matris	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Köşegen matris, ilkköşegenin dışında kalan girişlerin tümü sıfır olan bir matristir. Eğer ilkköşegenin üstündeki (veya altındaki) girişlerin tümü sıfır ise, bu matris üst (veya alt) üçgen matris olarak adlandırılır.

n boyutlu I_n birim matris, ilkköşegenin tüm ögeleri 1, geri kalanları 0 olan, n ye n lik matristir.

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Transpozesi (A^T) kendisine eşit olan bir A kare matrisine simetrik matris denir. A matrisi, transpozesinin negatifine eşit ise (A = −A^T), bu durumda A çarpık-simetrik matrisdir. Karmaşık matrislerde simetrik matris yerine daha çok Hermisyen matris kavramı kullanılır ve A^∗ = A ile sembolize edilir. Burada yıldız işareti, matrisin eşlenik transpozesidir. Örneğin, A matrisinin karmaşık eşlenik transpozesi gibi.

AB = BA = I_n eşitliğini sağlayan A kare matrisinin, terslenebilir matrisi (bazen ters matris olarak da anılır) B dir. Bu durumda B=A⁻¹'dir.

Pozitif tanımlı	Tanımsız
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1/4\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q(x,y) = 1/4 x2 + 1/4y2	Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Q(x,y) = 1 gibi noktalar (Elips).	Q(x,y) = 1 gibi noktalar (Hiperbol).

Bir n×n simetrik matrisi, :Q(x) = x^TAx ikinci dereceden formundaki x ∈ Rⁿ sıfırsız vektörlerin tümü için, yalnızca pozitif değerler (benzer şekilde yalnızca negatif değerler; hem biraz negatif hem de biraz pozitif değer) alıyorsa, bu matris, pozitif tanımlı (benzer şekilde negatif tanımlı; tanımsız) olarak adlandırılır. Eğer ikinci dereceden form, yalnızca negatif olmayan (benzer şekilde yalnızca pozitif olmayan) değer alıyorsa bu simetrik matris, pozitif yarı tanımlı (benzer şekilde negatif yarı tanımlı) olarak adlandırılır. Bu yüzden matris, ne pozitif yarı tanımlı ne de negatif yarı tanımlı değilse, bu durumda tanımsız olarak adlandırılır.

Pozitif tanımlı bir simetrik matris, kendi değerlerini tümü pozitiftir. Sağdaki tablo, 2'ye 2'lik bir matrisin iki ihtimalini gösteriyor.

A matrisinin çift doğrusal formu, iki farklı vektörlerle şöyle ifade edilir:

B_A (x, y) = x^TAy.

Dikey matris, tüm satır ve sütunları, reel giriş (öge) olan ve dikey birim vektörlerden meydana gelen bir kare matristir. Benzer şekilde eğer A matrisinin transpozesi ters matrisine eşitse bu matris dikey matristir ve şöyle ifade edilir:

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1},\,}$

Bu durumda

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A=AA^{\mathrm {T} }=I,\,}$

eşitlikleri sağlanır. Burada, I birim matrisdir.

Bir A kare matrisinin tr(A) ilkköşegen toplamı, köşegen girişlerinin toplamıdır. İki kare matrisin çarpımlarının ilkköşegen toplamı aynıdır. Yani matrislerin yerlerinin değiştirilmesi önemsizdir.

tr(AB) = tr(BA).

Matris çarpmanın genel ifadesi şöyle yazılabilir:

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {tr} ({\mathsf {AB}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} ({\mathsf {BA}}).}$

Ayrıca bir kare matrisin ilkköşegen toplamı, matrisin transpozesinin ilkköşegen toplamı eşittir.

tr(A) = tr(A^T).

.

Bir A kare matrisinin determinantı det(A) veya |A|, matrisin belirli özelliklerini saklayan bir sayıdır. Bir kare matrisin determinantı ancak ve ancak sıfırdan farklı ise terslenebilir matrisdir.

2'ye 2'lik kare matrislerin determinantı şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

3'e 3'lük kare matrisin determinantı, 6 terimden oluşur. (Sarrus kuralı).

Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, her bir matrisin determinantının çarpımına eşittir. Bu eşitlik şöyle ifade edilir:

det(AB) = det(A) · det(B).