Kısmi diferansiyel denklem

Matematikte, bir kısmi diferansiyel denklem birkaç değişkenli bir fonksiyon ile bu fonksiyonun değişkenlere göre kısmi türevleri arasındaki ilişkiyi inceler.

Kısmi Türevli Denklemler

İçinde en az iki bağımsız ve en az bir bağımlı değişken ile bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre çeşitli basamaktan kısmi türevlerini belirten eşitliklere (özdeşlik değil) bir kısmi türevli denklem denir. $z$ bağımlı $x$ ve $y$ bağımsız değişkenler olmak üzere bir kısmi türevli denklem genel olarak

$F(x,y,z,zx,zy,zxx,zxy,zyy,...)=0$ şeklindedir.

Burada

$zx=dz/dx,zy=dz/dy,zxx=d2z/dx2,zxx=d2z/dx2,zxy=d2z/dxdy,zyy=d2z/dy2,...$ dir.

Cauchy-Riemann sistemi iki bağımlı,iki bağımsız değişkene sahip kısmi türevli denklemlere örneklerdir.

Kısmi Türevli Denklemlerin Elde Edilmesi

Verilen bir yüzey ailesinin sağladığı en küçük basamaktan kısmi türevli denklemi elde edebilmek için yüzey ailesindeki bağımlı değişken, bağımsız değişken, bağımsız değişkenlere göre yeterince türetilip verilen yüzey ile hesaplanan türevler arasında keyfi fonksiyonlar ve bunların türevleri yok edilir. Verilen yüzey ailesi, bu denklemin genel çözümü olabileceği gibi, genel çözümün parametremlere bağlı bir alt sınıfı da olabilir. Bu durumda verilen yüzeyle türevler arasında keyfi parametre yok edilir.

Ayrıca bakınız

Adomian bozunma metodu

Diferansiyel denklemler

Sınıflandırma

İşlemler	Diferansiyel operatörü Türevleme için gösterim Adi Kısmi Diferansiyel-cebirsel İntegro-diferansiyel Kesirli Doğrusal Doğrusal olmayan Holonomik
Değişkenlerin nitelikleri	Bağımlı ve bağımsız değişkenler \|Homojen Homojen olmayan İç içe geçmiş (Coupled) Ayrışmış (Decoupled) Mertebe (Order) Derece (Degree) Otonom Tam diferansiyel denklem Karmaşık diferansiyel denklem
Süreçlerle ilişkisi	Fark (ayrık analog) Stokastik Stokastik kısmi Gecikme

Çözümler

Çözüm konuları	Picard–Lindelöf teoremi (varlık ve teklik) Wronskiyen Faz portresi Faz uzayı Lyapunov kararlılığı Asimptotik kararlılık Üstel kararlılık Yakınsama oranı Seri çözümleri İntegral çözümleri Numerik entegrasyon Dirac delta fonksiyonu
Çözüm yöntemleri	Inspection Değişkenlerin ayrılması Belirsiz katsayılar metodu Parametrelerin değişimi İntegralleme çarpanı İntegral dönüşümleri\| Euler yöntemi Sonlu farklar yöntemi Crank-Nicolson yöntemi Runge-Kutta yöntemi Sonlu elemanlar yöntemi Sonlu hacim yöntemi Galerkin yöntemi Pertürbasyon teorisi

Uygulamalar

Adlandırılmış diferansiyel denklemler listesi

Matematikçiler

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm Leibniz
Leonhard Euler
Jacob Bernoulli
Émile Picard
Józef Maria Hoene-Wroński
Ernst Lindelöf
Rudolf Lipschitz
Joseph-Louis Lagrange
Augustin-Louis Cauchy
John Crank
Phyllis Nicolson
Carl David Tolmé Runge
Martin Kutta
Sofya Kovalevskaya

Kaynakça

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

İntegral veya tümlev, toplama işleminin sürekli bir aralıkta alınan hâlidir. Türev ile birlikte kalkülüsün temelini oluşturan iki işlemden birisidir. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde aynı zamanda türevin ters işlemidir.

Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevleriyse değerlerin değişim hızlarına denk gelir.

Regresyon analizi, iki ya da daha çok nicel değişken arasındaki ilişkiyi ölçmek için kullanılan analiz metodudur. Eğer tek bir değişken kullanılarak analiz yapılıyorsa buna tek değişkenli regresyon, birden çok değişken kullanılıyorsa çok değişkenli regresyon analizi olarak isimlendirilir. Regresyon analizi ile değişkenler arasındaki ilişkinin varlığı, eğer ilişki var ise bunun gücü hakkında bilgi edinilebilir. Regresyon terimi için öz Türkçe olarak bağlanım sözcüğü kullanılması teklif edilmiş ise de Türk ekonometriciler arasında bu kullanım yaygın değildir.

Matematikte adi diferansiyel denklem, tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Adi diferansiyel denklemler adı daha yaygındır. Kapalı olarak $\text{[math]}$ şeklinde gösterilirler. Bu ifadede $\text{[math]}$ denklemin derecesini gosterir.

Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin(fonksiyon), sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Boyut analizi fiziksel büyüklüklerin farklı çeşitlerinin karışımını içeren fiziksel durumları içeren ve sıklıkla fizik, kimya ve mühendislikte kullanılan kavramsal bir yöntemdir.Fizikçiler ve mühendisler tarafından türevli denklemlerin ve hesaplamaların olasılıklarının kontrolünde kullanılır.Ayrıca deneylerle veya kavramın daha karmaşık teorileriyle denenebilen karmaşık fiziksel durumlarla ilgili mantıklı hipotezler oluşturmak için de kullanılır.

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

$\text{[math]}$ üzerinde pozitif veya sıfır değerleri alır;
$\text{[math]}$ üzerinde integral değeri bulunabilir;
$\text{[math]}$ koşuluna uyar, yani eğri altındaki tüm alan bire eşittir.

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

Doğrusal olmayan regresyon, istatistik bilimde gözlemi yapılan verilerin bir veya birden fazla bağımsız değişkenin model parametrelerinin doğrusal olmayan bileşiği olan ve bir veya daha çok sayıda bağımsız değişken ihtiva eden bir fonksiyonla modelleştirilmesini içeren bir regresyon (bağlanım) analizi türüdür. Veriler arka-arkaya yapılan yaklaşımlarla kurulan modele uydurularak çözümleme yapılır.

Doğrusal denklem dizgesi, birkaç tane aynı tip değişkenleri içeren birkaç tane doğrusal denklemlerin oluşturduğu topluluktur. Örneğin:

Olasılık kuramında iki olayın bağımsız olması bu olaylardan birinin gerçekleşme olasılığının diğer olayın gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlı olmaması anlamına gelmektedir. Örneğin;

Bir zarın ilk atışta 6 gelmesi olayı ile ikinci atışta 6 gelmesi olayı bağımsızdır.
Öte yandan, bir zarın ilk atışta 6 gelmesi olayı ilk iki atış sonunda elde edilen sayılar toplamının 8 olması olayına bağlıdır.
Bir kart destesinden seçilen ilk kartın kırmızı olması olayı ile ikinci kartın aynı renkte olması olayı bağımsızdır. Ne var ki, seçilen kartın desteye geri konulmaması durumunda bu iki olay bağımlıdır.

Sinyal (işaret), fiziksel değişkenlerin durumu hakkında bilgi taşıyan ve matematiksel olarak fonksiyon (İşlev) biçiminde gösterilen kavrama denir.

Değişken değiştirme, İntegral, çarpanlara ayırma, denklemler, üslü denklemler, trigonometri ve diferansiyel denklemler başta olmak üzere matematiğin her alanında işlemi basitleştirmek için kullanılan matematiksel bir yöntemdir.

Maxwell ilişkileri İkinci dereceden türevlerin simetri ve termodinamik potansiyellerin tanımlarından türetilebilen termodinamik denklemler dizisidir. Bu ilişkiler 19.yüzyıl fizikçisi James Clerk Maxwell tarafından adlandırılmıştır.

Matematikte dördey analizi ya da kuaternion analizi dördey değerli fonksiyonları inceleyen bir matematik alanıdır. Matematikte başka bir isim olarak dördey değerli fonksiyonların teorisi olarak da adlandırılabilir.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.