Kırılma Mekaniği

Kırılma mekaniği, malzemelerdeki çatlakların yayılmasının incelenmesiyle ilgili mekanik alanıdır. Bir çatlak üzerindeki itici kuvveti hesaplamak için analitik katı mekaniği yöntemlerini ve malzemenin kırılmaya karşı direncini karakterize etmek için deneysel katı mekaniği yöntemlerini kullanır.

Teorik olarak, keskin bir çatlak ucunun önündeki gerilim sonsuz hale gelir. Kırılma mekaniği, bir çatlak üzerindeki yükleri karakterize etmek için kullanılır. Genel olarak, çatlak ucundaki yükleme durumunu tanımlamak için tek bir parametre kullanılır. Çatlağın ucundaki plastik bölge, çatlak uzunluğuna göre küçük olduğunda, çatlak ucundaki stres durumu, malzeme içindeki elastik kuvvetlerin sonucudur ve lineer elastik kırılma mekaniği (LEKM) olarak adlandırılır ve gerilme şiddeti faktörü K kullanılarak karakterize edilebilir. Bir çatlak üzerindeki gerilme belirsiz olsa da, 1957'de G. Irwin, herhangi bir gerilme durumun üç bağımsız stres yoğunluğu faktörünün bir kombinasyonuna indirgenebileceğini bulmuştur:

• Mod I – Açma modu (çatlak düzlemine normal bir çekme gerilimi ),
• Mod II – Kayma modu (çatlak düzlemine paralel ve çatlak cephesine dik hareket eden bir kesme gerilimi ) ve
• Mod III – Yırtılma modu (çatlak düzlemine paralel ve çatlak cephesine paralel hareket eden bir kesme gerilimi).

Çatlak ucundaki plastik bölgenin boyutu çok büyük olduğunda, elastik-plastik kırılma mekaniği, J-integrali veya çatlak ucu açıklığının deplasmanı gibi parametrelerle kullanılabilir.

Karakterize edici parametre, mevcut çatlağın daha önceden test edilmiş koşullarla korelasyonunu/benzerliğini belirtir. Parametreler tipik olarak belirli kritik değerleri aştığında çatlak büyümesi meydana gelir. Korozyon, stres korozyon gerilme şiddeti eşiği aşıldığında bir çatlağın yavaşça büyümesine neden olabilir. Benzer şekilde, küçük kusurlar, devirli (döngüsel) yüklemeye maruz kaldığında çatlak büyümesine neden olabilir. Yorulma olarak bilinen, uzun çatlaklar için büyüme hızının büyük ölçüde gerilme şiddeti ile ilgili olduğu saptanmıştır. ${\displaystyle \Delta K}$ Uygulanan yükleme nedeniyle çatlakta meydana gelir. Gerilme şiddeti malzemenin kırılma tokluğunu aştığında hızla kırılır. Çatlak büyümesinin tahmini, hasar toleranslı mekanik tasarım disiplininin temelinde yer alır.

Malzeme üretimi, işlenmesi ve biçimlendirilmesi süreçleri, bitmiş bir mekanik bileşende kusurlara neden olabilir. İmalat sürecinden kaynaklanan tüm metal yapılarda iç ve yüzey kusurları bulunur. Bu tür kusurların tümü hizmet koşulları altında kararsız değildir. Kırılma mekaniği, çatlakların yayılmaya büyümeye meyilli olup olmadıklarının anlaşılması, yayılmaya meyilli çatlakların keşfedilmesi ve büyümeye meyilli çatlakların malzemenin servis süreci boyunca ne kadar sürede ne kadar büyüyeceğini tahmin etmeye çalışır. Bu doğal kusurlara rağmen, bir yapının güvenli işleyişini hasar tolerans analizi yoluyla elde etmek mümkündür. Eleştirel bir çalışma konusu olarak kırılma mekaniği neredeyse sadece bir asırdır kullanılıyor ve bu nedenle nispeten yeni bir mekanik bilim dalıdır.^[1][2]

Kırılma mekaniği aşağıdaki sorulara nicel cevaplar sağlamaya çalışmalıdır:^[2]

1. Parçanın dayanabileceği maksimum çatlak boyutu, tipi nedir?
2. Servis yüklemesi ve ömrü altında tolere edilebilir, yani izin verilen maksimum çatlak boyutu nedir?
3. Bir çatlağın belirli bir başlangıç boyutundan, örneğin tespit edilebilir minimum çatlak boyutundan izin verilen maksimum çatlak boyutuna dek büyümesi ne kadar sürer?
4. Önceden var olan belirli bir kusur boyutunun (örneğin bir üretim hatası) var olduğu varsayıldığında, bir yapının hizmet ömrü nedir?
5. Çatlak tespiti için mevcut olan süre boyunca, yapı çatlaklar için ne sıklıkla kontrol edilmelidir?

Kırılma mekaniği, I. Dünya Savaşı sırasında İngiliz havacılık mühendisi AA Griffith tarafından geliştirilmiştir. Griffith çatlağı terimi - gevrek malzemelerin kırılmasını açıklamak için geliştirilmiştir.^[5] Griffith çalışmasını iki çelişkili gerçeği açıklamak için gerçekleştirmiştir:

• Düz bir camı kırmak için gereken stres yaklaşık 100 megapascal (15.000 psi) .
• Camın atomik bağlarını kırmak için gereken teorik stres yaklaşık 10.000 megapascal (1.500.000 psi) . .

Bu çelişkili gözlemleri uzlaştırmak için bir teoriye ihtiyaç vardı. Ayrıca, Griffith'in cam elyafları üzerinde yaptığı deneyler, elyaf çapı küçüldükçe kırılma geriliminin arttığını göstermiştir. Bu nedenle, Griffith'ten önce malzeme mukavemetini test etmek için yaygın olarak kullanılan tek eksenli çekme testi, numuneden bağımsız bir malzeme özelliği olamazdı. Griffith, deneylerde gözlemlenen düşük kırılma mukavemetinin yanı sıra mukavemetin boyuta bağımlılığının, dökme malzemedeki mikroskobik kusurların varlığından kaynaklandığını öne sürdü.

Kusur hipotezini doğrulamak için Griffith, deneysel cam numunelerinde yapay bir çatlak oluşturdu. Yapay kusur, bir numunedeki diğer kusurlardan çok daha büyük olan bir yüzey çatlağı biçimindeydi. Deneyler, kusur uzunluğunun karekökünün çarpımının (${\displaystyle a}$ ) ve kırılmadaki stres (${\displaystyle \sigma _{f}}$ ) hemen hemen sabitti, aşağıdaki denklemle ifade edilir:

${\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}\approx C}$

Bu ilişkinin lineer elastisite teorisi açısından bir açıklaması problemlidir Lineer elastisite teorisi, doğrusal elastik bir malzemedeki keskin bir kusurun ucundaki gerilimin (ve dolayısıyla gerinmenin) sonsuz olduğunu kabul eder. Bu açıklama probleminden kaçınmak için Griffith, gözlemlediği ilişkiyi açıklamak için termodinamik bir yaklaşım geliştirdi.

Bir çatlağın büyümesi, çatlağın her iki tarafındaki yüzeylerin uzaması, yüzey enerjisinde bir artış gerektirir. Griffith sabit için elastik plakadaki yapay çatlağın elastikiyet problemini çözerek çatlağın yüzey enerjisi ${\displaystyle C}$ için matematiksel bir ifade buldu. Yaklaşımı özetle şuydu:

• Tek eksenli bir çekme yükü altında mükemmel bir numunede depolanması beklenen potansiyel enerji hesaplanır.
• Numune sabitlenir ve ardından numunede bir çatlak oluşturulur. Çatlak oluşumu, çatlağı oluşturmak için uygulanan gerilmeyi sönümler ve dolayısıyla çatlak yüzeylerinin yakınındaki elastik enerjiyi azaltır. Ancak diğer yandan, oluşturulan çatlak numunenin toplam yüzey enerjisini arttırır.
• Çatlak uzunluğunun bir fonksiyonu olarak serbest enerjideki (yüzey enerjisi - elastik enerji) değişimi hesaplanır. Kırılma, serbest enerji kritik bir çatlak uzunluğunda bir tepe değerine ulaştığında meydana gelir, bunun ötesinde, serbest enerji çatlak uzunluğu arttıkça azalır, yani kırılmaya neden olarak. Bu prosedürü kullanarak, Griffith aşağıdaki eşitliği buldu:

${\displaystyle C={\sqrt {\cfrac {2E\gamma }{\pi }}}}$

${\displaystyle E}$ malzemenin Young(elastisite) modülüdür ve ${\displaystyle \gamma }$ malzemenin yüzey enerji yoğunluğudur.

Örneğin: ${\displaystyle E=62\ {\text{GPa}}}$ ve ${\displaystyle \gamma =1\ {\text{J/m}}^{2}}$ cam için deneysel sonuçlarla Griffith'in tahmin edilen kırılma gerilimi arasında mükemmel bir uyum sağlar.

Yüke dik bir çatlağa sahip ince bir dikdörtgen plakanın basit durumu için, enerji salınım hızı, ${\displaystyle G}$, olur:

${\displaystyle G={\frac {\pi \sigma ^{2}a}{E}}\,}$

${\displaystyle \sigma }$: uygulanan stres

${\displaystyle a}$: çatlak uzunluğunun yarısı

${\displaystyle E}$: düzlem gerinimi durumunda plaka sertlik faktörüne bölünmesi gereken Young modülüdür ${\displaystyle (1-\nu ^{2})}$ .

Gerinim enerjisi salınım hızı fiziksel olarak şu şekilde anlaşılabilir: enerjinin çatlağın büyümesi tarafından emilme hızı .

${\displaystyle \sigma _{f}}$ kullanılarak elde edilen aşağıdaki denklem çatlak büyüme kriterini verir:

${\displaystyle G_{c}={\frac {\pi \sigma _{f}^{2}a}{E}}\,}$

Eğer ${\displaystyle G}$ ≥ ${\displaystyle G_{c}}$, bu, çatlağın yayılmaya başlayacaktır.

Çatlak ilerlemesinden önce yüksek oranda deforme olmuş malzemeler için, doğrusal elastik kırılma mekaniği formülasyonu geçerli olmaz. Bu durumlar için yumuşak malzemelerin kırılması gibi çatlak ucuna yakın stres ve yer değiştirme alanını tanımlamak için uyarlanmış matematiksel konseptleri kullanmak gereklidir.

Griffith'in çalışmaları, 1950'lerin başına kadar mühendislik topluluğu tarafından büyük ölçüde göz ardı edildi.

Bunun nedenleri:

1-Metaller gibi yapısal malzemelerde kırılma için gereken enerji seviyesinin bu karşılık gelen yüzey enerjisinden çok daha yüksek olmasıdır.

2-Yapısal malzemelerde her zaman çatlak ucu çevresinde bazı plastik deformasyonların olması gibi görünmektedir. Bu nedenle çatlak ucunda sonsuz gerilimli lineer elastik ortam varsayımı plastik deforme olabilen malzemeler için doğru sonuç vermez.^[6]

Griffith'in teorisi, cam gibi kırılgan malzemeler için deneysel verilerle mükemmel bir uyum sağlar. Çelik gibi sünek malzemeler için ${\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}=C}$ hala geçerli olmasına rağmen, Griffith'in teorisi tarafından tahmin edilen yüzey enerjisi (γ) genellikle gerçekçi olmayacak kadar yüksektir. İkinci Dünya Savaşı sırasında ABD Deniz Araştırma Laboratuvarı'nda (NRL) GR Irwin^[7] altında çalışan bir grup, sünek malzemelerin kırılmasında plastisitenin önemli bir rolü olabileceğini fark etti.

Sünek malzemelerde (ve hatta kırılgan gibi görünen malzemelerde bile^[8] ), çatlağın ucunda bir plastik bölge oluşur. Uygulanan yük arttıkça, çatlak büyüyene ve çatlak ucunun arkasındaki elastik olarak gerilen malzeme boşalana kadar plastik bölgenin boyutu artar. Çatlak ucunun yakınındaki plastik yükleme ve boşaltma döngüsü, enerjinin ısı olarak dağılmasına yol açar. Bu nedenle, kırılgan malzemeler için Griffith tarafından geliştirilen enerji dengesini temsil eden bir formülasyon eklenmiştir. Fiziksel olarak, kırılgan malzemelerle karşılaştırıldığında sünek malzemelerde çatlak büyümesi için ek enerjiye ihtiyaç vardır.

Irwin'in stratejisi, çatlak ilerlemesi sırasında oluşan toplam enerjiyi iki parçaya bölmekti:

• Bir çatlak büyüdükçe salınan depolanmış elastik gerinim enerjisi. Bu kırılma için termodinamik itici güçtür.
• plastik yayılımı ve yüzey enerjisini (ve iş başında olabilecek diğer enerji tüketen kuvvetleri) içeren dağılmış enerji. Dağıtılan enerji, kırılmaya karşı termodinamik direnç sağlar. O zaman toplam enerji:

${\displaystyle G=2\gamma +G_{p}}$

${\displaystyle \gamma }$: Yüzey enerjisi.

${\displaystyle G_{p}}$: Çatlak büyümesinin birim alanı başına plastik yayılımı.

Griffith'in enerji kriterinin türetilmiş versiyonu şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}={\sqrt {\cfrac {E~G}{\pi }}}.}$

Cam gibi kırılgan malzemeler için yüzey enerjisi terimi baskındır ve ${\displaystyle G\approx 2\gamma =2\,\,{\text{J/m}}^{2}}$ .

Çelik gibi sünek malzemeler için, plastik dağılım terimi baskındır ve ${\displaystyle G\approx G_{p}=1000\,\,{\text{J/m}}^{2}}$ .

Camsı geçiş sıcaklığına yakın polimer, ara değerlere sahiptir. Yani, ${\displaystyle G}$ 2 ile 1000 ${\displaystyle {\text{J/m}}^{2}}$ arasındadır .

Irwin ve meslektaşlarının bir diğer önemli başarısı, doğrusal elastik bir katıda, çatlak cephesi etrafındaki asimptotik gerilim ve deformasyon alanları cinsinden kırılma için mevcut enerji miktarını hesaplamak için bir yöntem bulmaktı.^[7] Mod I yüklemesindeki gerilim alanı için bu asimptotik ifade, aşağıdaki gerilim yoğunluk faktörü K _I ile ilgilidir:^[9] ${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\cfrac {K_{I}}{\sqrt {2\pi r}}}\right)~f_{ij}(\theta )}$

σ _ij Cauchy gerilmeleri, r çatlak ucundan uzaklık, θ çatlağın çatlak düzlemine göre açısı, f _ij çatlak geometrisi ve yükleme koşullarına bağlı fonksiyonlardır. Irwin, K miktarını stres yoğunluğu faktörü olarak adlandırmıştır. f _ij miktarı boyutsuz olduğundan, gerilim yoğunluk faktörü birimleri cinsinden ifade edilebilir. ${\displaystyle {\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$ .

Gerilme yoğunluğu, gerinim enerjisi salınım oranının yerini almıştır ve kırılma tokluğu adı verilen bu terim, yüzey zayıflık enerjisinin yerini almıştır. Bu terimlerin her ikisi de Griffith'in kullandığı enerji terimleriyle ilgilidir:

${\displaystyle K_{I}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,}$

ve

${\displaystyle K_{c}={\sqrt {EG_{c}}}\,}$ ( düzlem gerilimi için)

${\displaystyle K_{c}={\sqrt {\frac {EG_{c}}{1-\nu ^{2}}}}\,}$ ( düzlem gerilimi için)

${\displaystyle K_{I}}$: Gerilme yoğunluğu.

${\displaystyle K_{c}}$: Kırılma tokluğu.

${\displaystyle \nu }$: Poisson oranıdır.

Kırılma ${\displaystyle K_{I}\geq K_{c}}$ olduğu durumda oluşur. Düzlem gerinim deformasyonunun özel durumu için, ${\displaystyle K_{c}}$ olur ${\displaystyle K_{Ic}}$ ve bir malzeme özelliği olarak kabul edilir. I alt simgesi, bir çatlağın yayılmasını sağlamak için bir malzemeyi yüklemenin farklı yollarından kaynaklanır . Mod II veya III'ün aksine "mod I" yüklemesini ifade eder:

${\displaystyle K_{I}}$ gerilme yoğunluğu denklemi, gerilme yoğunluğu faktörü ile ilgili makalede de tartışıldığı gibi, merkezi çatlaklı sonsuz levha dışındaki geometriler için farklı olacaktır. Sonuç olarak, geometriyi karakterize etmek için boyutsuz bir düzeltme faktörü (Y) eklemek gerekmiştir. Genellikle geometrik şekil faktörü olarak da adlandırılan bu düzeltme faktörü, ampirik olarak belirlenmiş seriler tarafından verilir ve çatlağın veya çentiğin tipini ve geometrisini açıklar. Böylece:

${\displaystyle K_{I}=Y\sigma {\sqrt {\pi a}}\,}$

burada Y, çatlak uzunluğu ve levha genişliğinin bir fonksiyonudur ve kalınlık boyunca çatlak uzunluğu 2 a olan sonlu W genişliğine sahip bir levha için şu şekilde verilir:

${\displaystyle Y\left({\frac {a}{W}}\right)={\sqrt {\sec \left({\frac {\pi a}{W}}\right)}}\,}$

Irwin, bir çatlağın etrafındaki plastik bölgenin boyutunun, çatlağın boyutuna kıyasla küçük olması durumunda, çatlağı büyütmek için gereken enerjinin kritik olarak gerilme durumunun çatlak ucundaki plastik bölgeye doğrudan bağlı olmadığını gözlemleyen ilk kişiydi.^[6] Başka bir deyişle, kırılma için mevcut enerji miktarını hesaplamak için tamamen elastik bir çözümün de kullanılabileceğini öne sürmüştür.

Çatlak büyümesi için enerji salma oranı veya gerinim enerjisi salma oranı daha sonra çatlak büyümesinin birim alanı başına elastik gerinim enerjisindeki değişiklik olarak hesaplanabilir, yani,

${\displaystyle G:=\left[{\cfrac {\partial U}{\partial a}}\right]_{P}=-\left[{\cfrac {\partial U}{\partial a}}\right]_{u}}$

burada U sistemin elastik enerjisi ve a çatlak uzunluğudur. Yukarıdaki ifadeler değerlendirilirken ya yük P ya da yer değiştirme u sabittir.

Irwin, çatlak mod I (açılma modu) için gerinim enerjisi salınım oranının ve gerilim yoğunluk faktörünün aşağıdakilerle ilişkili olduğunu gösterdi:

${\displaystyle G=G_{I}={\begin{cases}{\cfrac {K_{I}^{2}}{E}}&{\text{plane stress}}\\{\cfrac {(1-\nu ^{2})K_{I}^{2}}{E}}&{\text{plane strain}}\end{cases}}}$

E: Elastik modül ya da Young modülü.

ν: Poisson oranıdır

K _I: mod I'deki gerilim yoğunluk faktörüdür.

Irwin ayrıca doğrusal elastik bir cisimdeki düzlemsel bir çatlağın gerinim enerjisi salınım oranının mod cinsinden ifade edilebileceğini de göstermiştir. En genel yükleme koşulları için I, mod II (kayma modu) ve mod III (yırtılma modu) stres yoğunluğu faktörleridir.

Daha sonra Irwin, kırılgan kırılma sırasında enerji dağılım bölgesinin boyutunun ve şeklinin yaklaşık olarak sabit kaldığı ek varsayımını benimsemiştir. Bu varsayım, bir birim kırılma yüzeyi oluşturmak için gereken enerjinin yalnızca malzemeye bağlı olan bir sabit olduğunu öne sürer. Bu yeni malzeme özelliğine kırılma tokluğu adı verildi ve G _Ic olarak adlandırıldı. Bugün, lineer elastik kırılma mekaniğinde belirleyici özellik olarak kabul edilen, düzlem şekil değiştirme koşulunda bulunan kritik gerilim yoğunluk faktörü K _Ic'dir .