Kütleçekimsel potansiyel

Klasik mekanikte, bir yerdeki yerçekimi potansiyeli iş (dönüşen enerjiden) bölü birim ağırlığa eşittir. Sabit bir referans noktası için bir nesnenin yerçekimi kuvveti tarafından oluşan hareketidir. Yük rolü oynayan bir ağırlığın elektrik potansiyeline benzerdir. Referans noktasında potansiyel herhangi bir ağırlığın sonsuz uzaklıkta toplanmasından dolayı 0'dır ve sonlu bir uzunlukta negatif bir potansiyelle sonuçlanır. Matematikte, yerçekimi potansiyeli ayrıca Newton potansiyeli olarak bilinir ve potansiyel teorinin çalışmasının temelidir.

Potansiyel enerjinin U birim ağırlığa bölümü yerçekimi (V) potansiyeline eşittir.

${\displaystyle U=mV,}$

Burada m, nesnenin ağırlığıdır. Potansiyel enerji bir cismin sonsuzdan uzaydaki bir noktaya yerçekim alanı tarafından yapılan işe eşittir.

Bazı durumlarda, bu denklik konumundan neredeyse bağımsız gibi varsayılarak sadeleştirilmiş olabilir. Örneğin; günlük hayatta, Dünya yüzeyine yakın olan bir bölgede yerçekim ivmesi sabit olarak düşünülebilir. O halde, bir yükseklikle diğer bir yükseklik arasındaki potansiyel enerji farkı, uzunluklar arasındaki farkın iyi bir yaklaşımı ile ilgilidir.

${\displaystyle \Delta U=mg\Delta h.}$

M ağırlıklı kütlenin noktasal ağırlığından x kadar uzaklıktaki bir mesafede potansiyel V, sonsuzdan getirilen bir birim ağırlık tarafından oluşturulan yerçekim alanıyla tanımlanabilir.

${\displaystyle V(x)={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int \limits _{\infty }^{x}F\ dx={\frac {1}{m}}\int \limits _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},}$

Burada G, yerçekim sabitidir. MKS sistemde, potansiyel enerjinin birimi bölü kütlenin birimine(J/kg) eşittir. Bu hesaplamayla, tanımlandığı her yerde negatiftir ve x sonsuza eğilimlidir ve 0'a yaklaşır.

Yerçekim alanı ve iri nesne etrafında dolanan uzaydaki küçük nesnenin ivmesi yerçekim potansiyelinin negatif ivmesidir. Bu nedenle, negatif bir eğimin negatifi iri nesneye doğru olan pozitif ivmeyi kabul etmektedir. Potansiyelin hiç açısal bileşeni olmadığı için, eğimi;

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$

Burada x, küçük nesneye doğru olan noktasal ağırlıktan x noktasına kadar olan vektörün uzunluğu ve ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ise birim vektördür. İvmenin büyüklüğü;

${\displaystyle |\mathbf {a} |={\frac {GM}{x^{2}}}.}$

Kütle dağılımı ile ilişkili olan potansiyel noktasal kütlelerin potansiyellerinin çakışmasıdır. Kütle dağılımı noktasal ağırlıkların sonlu dağılması ise ve noktasal ağırlıklar x₁, ..., x_n üzerinde konumlandırılıyorsa ve ağırlıkları m₁, ..., m_n ise ve x üzerindeki potansiyel dağılımları;

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {x} -\mathbf {x_{i}} |}}.}$

Eğer kütle dağılımı üç boyutlu Öklid uzayında bir kütle ölçüsü dm olarak veriliyorsa, potansiyel dm −G/|r| 'nin konvülasyonlarıdır.^[1] en iyi durumda bu aşağıdaki integrale eşittir;

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,dm(\mathbf {r} ),}$

Burada |x − r|; x ve r noktaları arasındaki uzaklıktır. r üzerindeki dağılımın yoğunluğunu tanımlayan bir ρ(r) fonksiyonu varsa, bu dm(r)= ρ(r)dv(r), burada dv(r) Öklid hacim elementidir ve yerçekimi potansiyeli hacim integrali

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$

Eğer V sürekli kütle dağılımından ρ(r) gelen potansiyel bir fonksiyon ise ρ, Laplace operator, Δ kullanarak ortaya çıkarılır.

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$

Bu durumda ρ sınırlandırılmış bir setin dışında her zaman sürekli ve sıfırdır. Genellikle, Dağılımın hassaslığında Laplace operatör kullanırsak, kütle ölçüsü dm aynı yolla ortaya çıkarılabilir.

Shell teoremine göre, bütün ağırlıklar merkezde yoğunlaştırılmış olmasına rağmen, küresel simetrik bir kütle dağılımı tam olarak dağılımın dışındaki bir gözlemci gibi davranır. Dünya yüzeyinde, ivme sözde standart yer çekimi g olarak bilinen; yaklaşık 9.8 m/s² olarak ölçülmüştür. Bu değer, enlem ve rakımla azıcık da olsa çeşitlendirilebilmesine rağmen, ivme büyüklüğü kutuplarda ekvatordakinden bir miktar büyüktür, çünkü; Dünya kutuplardan basık ve küremsidir.

Küresel simetrik bir yük dağılımının içinde, küresel koordinatlarda Poisson denklemini çözmek mümkündür. Yarıçapı R olan homojen küresel bir ağırlığın içinde ve yoğunluğu ρ, yerçekim kuvveti g merkezden r uzaklıktaki bir kürede, kürenin içinde yerçekim potansiyeli;^[2]

${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho (r^{2}-3R^{2}),\qquad r\leq R,}$

Kürenin dışı için potansiyel fonksiyonu diferansiyel olarak bir bağlantı kurar.

Genel görelilikte, yerçekim potansiyeli ölçü dansörü tarafından değiştirilmiştir. Yerçekim alanı zayıf kaynaklar ışık hızına nazaran çok yavaş hareket ettiğinde genel görelilik, Newton yerçekimine indirgenir.

Bir x noktasındaki potansiyel

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$

Potansiyel Legendre polinom serilerinde genişletilebilir. x ve r noktalarındaki pozisyon vektörleri olarak kütle merkezine yakın olduğunu gösterilir. İntegralde bölen verilenin karesinin karekökü olarak açıklanabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\{}&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}G\,\left/\,{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}\right.\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

Son integralde r = |r| ve θ, x ve r arasındaki açıdır. İntegrant, katsayıların açık hesabıyla Z = r/|x|’deki bir Taylor seri olarak açıklanabilir. Aynı sonucu bulmanın bir zahmetli yolu da genelleştirilmiş binom teoremi kullanmaktır.^[3] Bu sonuçlanan seriler Legendre polinomları için genelleşmiş fonksiyonlardır.

${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$

|X| ≤ 1 ve |Z| < 1 için geçerlidir. P_n sabitleri, n derecede Legendre polinomlarıdır. Bu nedenle, integrantın Taylor sabitleri X = cos θ ‘daki Legendre polinomları tarafından verilir.

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\{}&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int r\cos \theta dm}$ integrali x yönünde kütle merkezinin bir bileşenidir: bu sıfırlanmanın nedeni kütle merkezinden çıkan x vektörüdür. Bu toplamın işareti integralden gelir;

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$

Yerçekimi potansiyelinin sayısal değeri yerçekiminin Dünya’dan, Güneş’ten ve Samanyolu’ ndan alınan değerleri tabloda verilmiştir.

Bu yerlerde yerçekimini kıyaslayınız.

• Applications of Legendre polynomials in physics
• Standard gravitational parameter (GM)
• Geoid