Küp problemi - Turkipedia

İstatistik bilimi içinde küp problemi (İngilizce urn problem) bir idealize edilmiş düşünce denemesi olup pratik hayatta ilgilenilen nesneler (atomlar, kişiler, otomobiller vb.) bir küp veya benzeri bir kap içinde bulunan renkli toplarla temsil edilmektedir. Bir veya daha fazla sayıda topun küpten çıkartıp alındığı düşünülür; bu düşüncenin hedefi, belli bir renkte ve diğer özellikte olan topların küpten çıkarılma olasılığını incelemektir.

Temel küp problemi

Bu olasılık kuramı kapsamında bulunan bu temel küp modelinde küpün sadece x sayıda beyaz ve y sayıda siyah top ihtiva ettiği düşünülür. Bu küpten tek bir top rassal olarak çekilir ve rengi gözlenir. Top tekrar küpe geri konulur ve bu seçim süreci tekrar ettirilir.

Bu temel problem modelinin yanıt sağlayabileceği sorular şunlar olabilir:

n sayıda çekim ve gözlem yapılırsa beyaz ve siyah topların oranı hakkında bir hüküme varmak mümkün müdür? Verilen bu karar için itimat derecesi ne olacaktır?
x ve y bilindiğine göre belirli bir seri topu arka arkaya çekme (örnegin önce beyaz sonra siyah vb) olasılığı nedir?
Yapılan çekişlerde yalnızca beyaz toplar elde edilmekte ise acaba küpte hiçbir siyah top bulunmadığına nasıl emin olunabilinir?

Diğer modeller

Çok daha çeşitli küp problem şekilleri bulunabilir. Bazıları

küpün içinde renkli toplar olacağına, üzerine numara yazılmış toplar bulunabilir;
küpün içinden birer birer çekilen top geriye konulmayabilir.

Küp problemlerine örnekler

Binom dağılıminın matematiksel geliştirilmemesi.
Hipergeometrik dağılımının matematiksel geliştirilemesi.
İstatistiksel fizik: enerji ve hız dağılımlarının türetilmesi
Ellsberg paradoksu
Pólya'nin küpü: Analize başlarken küpün içinde b sayıda beyaz ve s sayıda

siyah top bulunduğu düşünülsün. Küpten rassal olarak bir top seçilip çekilsin. Bu seçilip çekilen top (bir başka yerde saklanmakta olan) bir diğer top ile birlikte yine küp içine koyulsun. Bu demektir ki küp içindeki top sayısı her bir çekişte büyümektedir. Bu işlemin n defa tekrarlanması sonunda küp içinde bulunan beyaz top sayısı X_n olacaktır. Y_n=X_n olarak tarif edelim. Bu halde {n=1, 2, 3,... için y_n } n değeri arttıkça beta dağılımına yaklaşacak ve şekli de özel bir stokastik süreç olan martingale olacaktır.

Tarihsel görüş

1713 de Jakob Bernoulli tarafından Ars conjectandi adı verilmiş makalenin yayınlanmasından beri, küp problemleri olasılık kuramı içinde bir önemli yer kapsamaktadırlar. Bernoulli'yi bu makaleyi yazmaya iten nedenler pratik hayatta gözlemini yaptığı ve bir kabtan rassal olarak topların çekilmesini içeren piyangolar, seçimler veya kumar yani şans oyunları olmuştu.

Tarihçilerin yazdıklarına göre

Orta çağlarda ve rönesans devrinde Venedikte yapılan seçimlerde, Venedik Dukası seçimleri dahil, oy verecek seçmenlerin tayini çok kere bir küpten çekilen değişik renkte toplar kullanılması suretiyle yapılmaktaydı.

[1] 10 Ekim 2004 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Ars conjectandi adlı eserinde Bernoulli bir küp içinden çekilip alınan çakıl taşı sayısına dayanarak değişik renklerin oranlarının tayin edilme problemi üzerinde deney yaptığını bildirmektedir. Bu problem ters olasılık adı ile anılmaktaydı ve onsekizinci yüzyılda önemli bir araştırma konusu olmuştu ve tanınmış matematikçiler Abraham de Moivre ve Thomas Bayes bu alanda çalışmalar yapmışlardır.

İçsel kaynaklar

Madeni para ile yazı tura denemeleri
Merkezsel olmayan hipergeometrik dağılım

Kaynakça

İlgili Araştırma Makaleleri

Jacob Bernoulli, Bernoulli ailesindeki ünlü matematikçilerden biridir. Leibniz kalkülüsünün ilk savunucularındandır ve Leibniz- Newton kalkülüs tartışmasında Leibniz'in yanında yer almıştır. Kardeşi Johann Bernoulli ile kalkülüse yaptığı birçok katkıyla da ünlüdür. Ancak, matematiğe en önemli katkısı büyük sayılar yasası ile olasılık alanında olmuştur.

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.

Olasılık ya da ihtimaliyet, bir şeyin olmasının veya olmamasının matematiksel değeri veya olabilirlik yüzdesi, değeridir. Olasılık kuramı istatistik, matematik, bilim ve felsefe alanlarında mümkün olayların olabilirliği ve karmaşık sistemlerin altında yatan mekanik işlevler hakkında sonuçlar ortaya atmak için çok geniş bir şekilde kullanılmaktadır.

İstatistik bilimi için mod bir veri kümesi içinde en sık görülen değerdir. Tepedeğer olarak da adlandırılır. Bazı kullanım alanlarında, özellikle eğitim alanında, örnek veriler çok kere puan olarak anılmakta ve örnek mod değerine ise mod puanı adı verilmektedir.

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet / hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p ile tam olarak tanımlanır. Matematik notasyon olarak bir rassal değişken X binom dağılım gösterirse şöyle ifade edilir:

X ~ B(n,p)

Olasılık kuramında ve istatistikte, hipergeometrik dağılım sonlu bir ana kütle içinden tekrar geri koymadan birbiri arkasına n tane nesnenin çekilmesi işlemi için başarı sayısının dağılımını bir ayrık olasılık dağılımı şekilde betimler.

Poisson dağılımı, olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında bir ayrık olasılık dağılımı olup belli bir sabit zaman birim aralığında meydana gelme sayısının olasılığını ifade eder. Bu zaman aralığında ortalama olay meydana gelme sayısının bilindiği ve herhangi bir olayla onu hemen takip eden olay arasındaki zaman farkının, önceki zaman farklarından bağımsız oluştuğu kabul edilir.

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve $\text{[math]}$ olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim insanı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında geometrik dağılım şu iki şekilde ifade edilebilen ayrık olasılık dağılımıdır:

Bütün tam sayılar setine, yani { 1, 2, 3, .... } üzerine, bağlı olarak X sayıda Bernoulli denemesinde ilk başarıyı elde etmenin olasılık dağılımı; veya
Bütün tam sayılar setine, yani {1, 2,3, ....} üzerine, bağlı olarak ilk başarıyı elde etmeden Y = X − 1 başarısızlık sayısı olasılık dağılımı.

Bir olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Değerler olay için mümkün olan tüm sonuçları kapsamalıdır ve olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır. Örneğin, bir rassal olay olarak madeni paranın tek bir defa havaya atılıp yere düşmesi ele alınsın; değerler 'yazı' veya 'tura' veya bunlar isimsel değişken ölçeğinde ifade edilirse 0 (yazı) veya 1 (tura) olur; olasılıklar ise her iki değer için ½ olacaktır. Böylece madeni bir paranın tek bir defa atılma olayı için iki değer ve ilişkili iki olasılık bu rassal olayın olasılık dağılımı olur. Bu dağılım ayrık olasılık dağılımıdır; çünkü sayılabilir şekilde ayrı ayrı sonuçlar ve bunlara bağlı olan pozitif olasılıklar vardır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında negatif binom dağılım bir ayrık olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya dağılımı bu dağılımın özel halleridir.

Sürekli tekdüze dağılım (İngilizce: continuous uniform distribution) olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, her elemanı, olasılığın desteklendiği aynı büyüklükteki aralık içinde bulunabilir, her sürekli değer için aynı sabit olasılık gösteren bir olasılık dağılımları ailesidir. Desteklenen aralık iki parametre ile, yani minimum değer a ve maksimum değer b ile, tanımlanmaktadır. Bu dağılım kısa olarak U(a,b) olarak anılır.

Olasılık kuramı ve bir dereceye kadar istatistik bilim dallarında basıklık kavramı 1905da K. Pearson tarafından ilk defa açıklanmıştır. Basıklık kavramı bir reel değerli rassal değişken için olasılık dağılımının, grafik gösteriminden tanımlanarak ortaya çıkarılan bir kavram olan, sivriliği veya basıklığı özelliğinin ölçümüdür. Basıklık kavramının ayrıntıları olasılık kuramı içinde geliştirilmiştir. Betimsel istatistik için bir veri setinin basıklık karakteri pek dikkate alınmayan bir özellik olarak görülmektedir. Buna bir neden parametrik çıkarımsal istatistik alanında basıklık hakkında hemen hemen hiçbir kestirim veya sınama bulunmamasındandır ve pratik istatistik kullanımda basıklık pek önemsiz bir karakter olarak görülmektedir. Belki de basıklık ölçüsünün elle hesaplanmasının hemen hemen imkânsızlığı buna bir neden olmuştur.

Olasılık teorisi ya da ihtimaliyet teorisi rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır. Olasılık teorisinin ana ögeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuç büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.

Olasılık kuramı içinde bir olasılık dağılımı eğer bir olasılık kütle fonksiyonu ile karakterize edilmiş ise ayrık olarak anılır. Böylelikle bir rassal değişken olan X için dağılım ayrık ise o zaman X bir ayrık rassal değişken olarak bilinir. Bu halde

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Büyük sayılar yasası</span>

Büyük Sayılar Kanunu ya da Büyük Sayılar Yasası, bir rassal değişkenin uzun vadeli kararlılığını tanımlayan bir olasılık teoremidir. Sonlu bir beklenen değere sahip birbirinden bağımsız ve eşit dağılıma sahip bir rassal değişkenler örneklemi verildiğinde, bu gözlemlerin ortalaması sonuçta bu beklenen değere yakınsayacak ve bu değere yakın bir seyir izleyecektir.

Matematik bilimi içinde moment kavramı fizik bilimi için ortaya çıkartılmış olan moment kavramından geliştirilmiştir. Bir bir reel değişkenin reel-değerli fonksiyon olan f(x)in c değeri etrafında ninci momenti şöyle ifade edilir:

\text{[math]}

Olasılık kuramı bilim dalında matematiksel beklenti veya beklenen değer veya ortalama birçok defa tekrarlanan ve her tekrarda mümkün tüm olasılıklarını değiştirmeyen rastgele deneyler sonuçlarından beklenen ortalama değeri temsil eder. Bir ayrık rassal değişkennin alabileceği bütün sonuç değerlerin olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Bir sürekli rassal değişken için rassal değişken ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpımının aralığı belirsiz integralidir. Fakat dikkat edilmelidir ki bu değerin genel pratik anlamla rasyonel olarak beklenmesi pek uygun olmayabilir, çünkü matematiksel beklentiin olasılığı çok düşük belki sıfıra çok yakın olabilir ve hatta pratikte matematiksel beklenti bulunmaz. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki değerler ağırlık katsayıları verilen olasılık kütle fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Matematiksel istatistik, istatistiksel veri toplama tekniklerinin aksine, matematiğin bir dalı olan olasılık teorisinin istatistiğe uygulanmasıdır. Bunun için kullanılan özel matematiksel teknikler arasında matematiksel analiz, doğrusal cebir, stokastik analiz, diferansiyel denklemler ve ölçü teorisi bulunur.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.