Matematik ; sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.
Matematik felsefesi, matematiğin varlıksal, bilgisel ve yöntemsel sorunlarını inceleyen, matematiğin temelleriyle ilgili ana kavramları irdeleyen bir felsefe dalıdır.
Matematik felsefesinde, sezgicilik ya da yeni sezgicilik akımı, matematiğe insanların oluşturucu etkinliği olarak bakan bir yaklaşımdır.
Matematiğin temelleri olarak bilinen matematik dalı matematiğin tümü için geçerli olan en temel kavramları ve mantıksal yapıları inceler. Sayı, küme, fonksiyon, matematiksel tanıt, matematiksel tanım, matematiksel aksiyom, algoritma gibi kavramlar Matematiksel mantık, Aksiyomatik Küme Teorisi, Tanıtlama Teorisi, Model Teorisi, Hesaplama teorisi, Kategori Teorisi gibi yine matematiğim temelleri olarak anılan alanlarda incelenir. Bununla birlikte matematiğin temellerinin araştırılması matematik felsefesinin ana konularından biridir. Bu daldaki can alıcı soru matematiksel önermelerin hangi nihai esaslara göre "doğru" ya da "gerçek" kabul edilebileceğidir.
Kümeler teorisi ile şunlar kastedilmiş olabilir:
- Kümeler kuramı; Alman matematikçi Georg Cantor'un 1874-1895 yılları arasında geliştirdiği, 20. yüzyıl matematiğinin temelini oluşturan teori.
- Zermelo-Freankel küme kuramı (ZFC); basit kümeler kuramındaki Russel paradoksu gibi zafiyetlere yanıt olarak geliştirilen, aksiyoma (belit) dayalı bir kuram.
Modeller kuramı, matematiksel konseptleri küme kuramı temelinde inceleyen ya da başka bir deyişle matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştıran matematik dalıdır. Modeller kuramı, 'dış dünyada' matematiksel nesnelerin var olduğunu varsayar ve nesneler, nesneler arasında bazı işlemler ya da bağıntılar ve bir aksiyomlar kümesi verildiğinde, nelerin nasıl tanıtlanabileceğine ilişkin sorular sorar.
Matematiksel ispat, matematiksel bir ifade için türetilmiş varsayımların mantıksal olarak doğru olduğu sonucunu garantileyen, çıkarımsal bir argümandır. Argüman, teoremler gibi önceden oluşturulmuş diğer ifadeleri kullanabilir; lakin prensipte her delil, kabul edilen çıkarım kurallarıyla birlikte yalnızca aksiyom olarak bilinen belirli temel veya orijinal varsayımlar kullanılarak oluşturulabilir.
Eksiklik Teoremi, Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında yer verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir.
Cebir sayılar teorisini, geometriyi ve analizi içine alan geniş bir matematik dalıdır. Temel matematik işlemlerinden, çember ve daire alanları bulmayı kapsayan geniş bir ilgi alanına sahiptir. Cebir, mühendislik ve eczacılık gibi birçok alanda kullanılmaktadır. Kuramsal cebir, ileri matematiğin bir dalı olmakla birlikte sadece uzmanlar tarafından çalışılan bir koldur.
Aritmetik; matematiğin sayılar arasındaki ilişkiler ile sayıların problem çözmede kullanımı ile ilgilenen dalı. Aritmetik kavramı ile genellikle sayılar teorisi, ölçme ve hesaplama kastedilir. Bununla birlikte bazı matematikçiler daha karmaşık çeşitli işlemleri de aritmetik başlığı altında değerlendirirler.
Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Cebirsel yapılar, elemanları üzerinde belirli işlemlerin uygulandığı kümelerdir ve gruplar, halkalar, alanlar, modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler içerir. Soyut cebir terimi, 20. yüzyılın başlarında temel cebirden ayırmak amacıyla türetilmiştir. Soyut cebir ileri matematik için temel hale geldikçe basitçe "cebir" olarak adlandırılırken, "soyut cebir" terimi pedagoji dışında nadiren kullanılır.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Alman matematikçi. Kümeler kuramının kurucusudur. Kümeler arasında birebir eşlemenin önemini ortaya koydu, "sonsuz küme" kavramına matematiksel bir tanım getirdi ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan "daha büyük" olduğunu ispatladı. Ayrıca kardinal sayı ve ordinal sayı kavramlarını ortaya atmış ve bu sayıların aritmetiğini tanımlamıştır. Cantor'un buluşlarının matematik ve felsefede önemli yeri vardır.
Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.
En genel anlamda, soyut matematik, matematiğin soyut kavramlarını inceleyen bir kolu olarak adlandırılabilir. 18. yüzyıldan bu yana, soyut matematik matematiksel aktivitenin bir kategorisi olarak kabul edilmiştir. Bazen spekülatif matematik olarak da kategorize edildiği olur. Soyut matematik navigasyon, mühendislik, fizik, astronomi gibi çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Soyut matematiğe dair en güçlü öngörülerden biri de soyut matematiğin ille de uygulamalı matematik olmak zorunda olmadığıdır; soyut şeylerleri onların içsel doğasını anlayarak çalışmak onların doğada nasıl apaçık biçimde nasıl olduğu ile ilgili olmak zorunda değildir. Soyut matematik ve uygulamalı matematik arasındaki felsefi açı farkına rağmen pratikte birçok örtüşme noktalarının olduğu da aşikardır.
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, çalışmalarının matematiğin temelleri üzerinde büyük etkileri olan bir Alman mantıkçı ve matematikçiydi. Zermelo–Fraenkel aksiyomatik küme teorisini geliştirmedeki rolü ve iyi-sıralılık ilkesi için kanıtıyla tanınır. Ayrıca, 1929'da satranç oyuncularını sıralama üzerine çalışması, ikili karşılaştırma için bu yöntemi kullanan çeşitli uygulamalı alanlar üzerinde derin bir etkisi olmaya devam eden bir modelin ilk tanımıdır.
Tarih boyunca matematiğin konu çeşitliliği ve derinliği artmaktadır, matematiği kavrama, birçok konuyu matematiğin daha genel alanlarına göre sınıflandırma ve düzenleme için bir sistem gerektirir. Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıkları vardır. Ek olarak, matematik geliştirilmeye devam ettikçe, bu sınıflandırma şemaları da yeni oluşturulan alanları veya farklı alanlar arasında yeni keşfedilen bağlantıları dikkate alacak şekilde değişmelidir. Farklı alanlar arasındaki sınırı aşan, genellikle en aktif olan bazı konuların sınıflandırılması daha zor hale gelir.
Makalenin kısa özeti; farklı nesnelerin koleksiyonları olarak kümeler hakkında konuşur, matematikte birçok kullanımları olduğunu ve matematiğin set teorisinde kodlanabileceğini ve matematiğin çoğunu yapmak için yeterince küme teorisinin aksiyomatize edilebileceğini belirtir. Konunun aksiyomları veya amaçlanan yorumu ile tanımlanıp tanımlanmadığı konusunda tarafsız kalır. Antinomilerden bahsedilirse, aksiyomatizasyonun çözüm olduğunu iddia etmemeli, ancak bazılarının onları aksiyomatizasyon ile çözüldüğünü, diğerleri de kümülatif hiyerarşi ile değerlendirdiğini belirtmelidir. -> 
Venn diyagramı, ikisinin set matematik Kümeleri. Küme teorisi, gayri resmi olarak nesne koleksiyonları olan matematiksel mantığın ' kümeleri üzerinde çalışan bir dalıdır. Herhangi bir nesne türü bir kümede toplanabilse de, küme teorisi çoğunlukla matematikle ilgili nesnelere uygulanır. Küme teorisinin dili neredeyse tüm matematiksel nesne leri tanımlamak için kullanılabilir.
Matematik, sayı, uzay, matematiksel yapı ve değişim gibi konuları araştıran bir çalışma alanıdır. Matematik ve bilim arasındaki ilişki hakkında daha fazla bilgi Matematik ve bilim bölümünde bulunabilir.
Tarihte birleşik bir matematik teorisine ulaşmak için çeşitli girişimlerde bulunulmuştur. En büyük matematikçilerden bazıları, tüm konunun tek bir teoriye sığdırılması gerektiği görüşünü dile getirdiler.
Matematikte, Alman matematikçi David Hilbert tarafından 1920'lerin başında formüle edilen Hilbert'in programı, matematiğin temellerini açıklığa kavuşturmaya yönelik ilk girişimlerin tutarsız olduğu bulunduğunda, matematiğin temel krizine önerilen bir çözümdü. Çözüm olarak Hilbert, mevcut tüm teorileri sonlu, sonlu bir aksiyom dizisine dayandırmayı ve bu aksiyomların tutarlı olduğuna dair bir kanıt sunmayı önerdi. Hilbert, gerçek analiz gibi daha karmaşık sistemlerin tutarlılığının daha basit sistemleri kullanarak kanıtlayabileceğini gösterdi.Sonuçta matematiğin tamamının tutarlılığı temel aritmetiğe indirgenebilir.
