Köklerin yer eğrisi

Köklerin yer eğrisi (İngilizce: Root Locus), kontrol teorisinde, bir kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarının sistemin ${\displaystyle K}$ kazancına göre değişimini gösteren çizimlerdir.

Kapalı çevirim döngüye sahip olan her sistem yandaki blok diyagramdaki gibi ifade edilebilir. Burada ${\displaystyle G(s)}$ açık sistemin transfer fonkisyonunu, ${\displaystyle H(s)}$ ise geribesleme sisteminin transfer fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu durumda bütün sistemin transfer fonksiyonu

${\displaystyle {\frac {KG(s)H(s)}{1+KG(s)H(s)}}}$ olmaktadır. Bu yöntemde K artarken bütün sistemin kutuplarının yani ${\displaystyle 1+KG(s)H(s)=0}$ ifadesinin köklerinin nasıl değiştiği sorusuna cevap aranmaktadır. Görüldüğü üzere K değiştikçe ${\displaystyle 1+KG(s)H(s)}$ ifadesi farklı s değerleri için sıfır olur. İşte çizilen bu eğriler K arttıkça değişen köklerin eğrileridir. Bu eğriler sistemin kazancı ${\displaystyle K}$ sıfırdan sonsuza artarken çizilir. Kural olarak sistemin kazancının negatif olduğu düşününülmez. Kök eğrileri her zaman açık sistemin bir kutubundan başlar ve kazanç arttıkça açık sistemin sıfırlarına ya da asimtotlara doğru hareket eder. Kök eğrileri her zaman reel eksene göre simetriktir.

Sistemin kutupları kararlılık açısından önemlidir. s-düzleminde bir transfer fonksiyonunun pozitif reel kısımlı kutubu olması sistemin kararlı olmadığı anlamına gelir. Başka bir ifadeyle kararlı bir sistemin s-düzleminin sağ yarısında kutubu bulunmaz. Köklerin eğrileri bize kutupların hareketini gösterdiğinden sistemin artan kazançla ne zaman kararlılığını yitirdiğini bu eğrilere bakarak kolaylıkla anlayabiliriz.

Köklerin yer eğrilerine bakarak sistem tasarımı yapılabilir. Sistemin kutupları kazanca göre hareket ettiği için kazanç değiştirilerek sistemin kutupları hareket ettirilebilir. Bu sistemin karalılık, sönümleme oranı, doğal frekans gibi birçok özelliğini değiştirir. Birçok kontrolcü tasarım teknikleri (led, lag, PD,PID, PI gibi) kök eğrileri çizimlerine bakılarak yapılabilir.

Açık döngü transfer fonksiyonu ${\displaystyle K(s+1)}$ olan bir sistemde birim geribesleme uygulandığını düşünelim. Bu durumda bütün sistemin transfer fonksiyonu ${\displaystyle K(s+1)/1+K(s+1)}$ olur. bu sistemin tek kutubu vardır o da paydayı sıfır yapan s değeri olan s = (-K-1)/K değeridir. Görüleceği üzere bu s değeri K değiştikçe değişmektedir. K sıfırdayken eksi sonsuza giden kutup, K sonsuza gittiğinde -1 e yaklaşmaktadır. Dolayısıyla bu sistemin kök eğrisi sonsuzdan -1e uzanan doğru parçasıdır.

Kök eğrileri çizilirken aşağıdaki yöntem izlenir.

• Açık sistemin transfer fonksiyonuna bakılarak s-düzlemine kutuplar ve sıfırlar yerleştirilir. Reel eksen üzerinde kök eğrilerinin geçebileceği yerler işaretlenir.

Reel eksen üzerinde kök eğrilerinin geçebileceği yerler açı şartını^[1] sağlar. Buna göre reel eksen üzerinde kendisinin sağında tek sayıda sıfır ya da kutup bulunduran doğru parçaları kök eğrilerinin geçmesi muhtemel bölgelerdir.

• Asimtotların sayısı ve aralarındaki açılar belirlenir.

Açık sistemin kutup sayısı ${\displaystyle P}$ sıfır sayısı ${\displaystyle Z}$ olmak üzere asimtot sayısı = ${\displaystyle P-Z}$ ifadesiyle bulunur. Asimtotlar arasındaki açı ise

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,...,P-Z}$ bağlantısıyla bulunur.

Örneğin 5 kutubu 2 sıfırı olan bir transfer fonksiyonunun pozitif reel eksenle 60,180,300 derece açı yapan üç asimtotu vardır.

• Asimtotların kesiştiği nokta belirlenir.

Asimtotların kesiştiği noktaya sentrioid denir. Reel eksen üzerinde olan bu nokta

${\displaystyle \alpha ={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}}$ formülüyle bulunur.

Buradaki ${\displaystyle \sum _{P}}$ ifadesi bütün-sistemin kutuplarının toplamını, ${\displaystyle \sum _{Z}}$ ifadesi ise bütün-sistemin sıfırlarının toplamını ifade eder. Paydadaki ${\displaystyle P}$ ve ${\displaystyle Z}$ ise sırasıyla kutup ve sıfırların ‘sayısını’ belirtir.

• Kök eğrilerinin ayrılma ve birleşme noktaları belirlenir.

Kök eğrileri reel eksen üzerindeyken kazancın değişmesiyle reel ekseni terk eder. Bu durumda sistemin kutupları artık sadece reel değil karmaşık sayıdır. Bu noktalar artan kazançla köklerin hareketine göre ayrılma ya da birleşme noktaları olarak adlandırılır.Bu noktalar:

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0}$ formülüyle bulunur. Bu denklemin bütün çözümleri ayrılma/birleşme noktası değildir. İlk olarak ayrılma birleşme noktaları 1. adımda belirlenebilen kök eğrisi geçirebilecek aralıklar arasında olmalıdır. Bu aralıkta olmayan bir nokta ayrılma/birleşme noktası olamaz. İkinci olarak gerçek ayrılma noktaları transfer fonksiyonuna yazılıp çözüldüğünde pozitif K değeri verirken diğer noktalar negatif K değeri verir.

• Eğer karmaşık kutup/sıfır varsa: Ayrılma ve birleşme açıları belirlenir.

Kök eğrilerinin karmaşık kutup ve sıfırlara yakınlaşırken nasıl bir yörünge çizerek ulaştığı önemlidir. Bunu anlamak için ayrılma ve birleşme açıları incelenir. Eğer kutuplar/sıfırlar reel eksenin üzerinde ise bu açıların önemi yoktur. Çünkü bu durumda kök eğrileri reel ekseni takip ederek kutup/sıfırlara ulaşır. Dolayısıyla ayrılma/birleşme açıları sıfır ya da 180° dir.

• Karmaşık eksenin kesildiği noktalar belirlenir.

Kök eğrileri karmaşık ekseni kesebilir. Bu noktada sistemin kutupları tamamen imajiner hale gelir. Karmaşık düzlemin kesildiği noktada kök eğrisi yarı düzlemler arası geçiş yapar. Bu yüzden karmaşık eksenin kesildiği noktalar sistemin kararlılığı için eşik oluşturur. Karmaşık eksenin kesildiği noktalar routh hurwitz kriteriyle ya da transfer fonksiyonunda s yerine jw koyularak bulunabilir.

• Yukarıdaki adımlarda bulunan noktalar göz önünde bulundurularak kök eğrileri çizilir.

Transfer fonksiyonu ${\displaystyle G(s)={\frac {K}{s(s+1)(s^{2}+4s+13)}}}$ olan bir sistemin kök eğrilerini çizelim.

• Sistemin transfer fonksiyonuna bakılarak s-düzlemine kutuplar ve sıfırlar yerleştirilir.

Bu sistemin sıfırı yoktur. 0, -1, -2+3j ve -2-3j olmak üzere dört kutubu vardır. Bunları noktaları s-düzleminde işaretleriz. -1<s<0 aralığı sağında tek sayıda kutup/sıfır bulundurduğu için kök eğrisi geçirme olasılığı olan bir noktadır.

• Asimtotların sayısı ve aralarındaki açılar belirlenir.
• ${\displaystyle \phi _{1}={\frac {180^{\circ }}{4}}=45^{\circ }}$
• ${\displaystyle \phi _{2}={\frac {180^{\circ }+360^{\circ }}{4}}=135^{\circ }}$
• ${\displaystyle \phi _{3}={\frac {180^{\circ }+(2)360^{\circ }}{4}}=225^{\circ }}$
• ${\displaystyle \phi _{4}={\frac {180^{\circ }+(3)360^{\circ }}{4}}=315^{\circ }}$

P = 4, Z = 0 dır. Bu durumda asimtotlar 45°, 135°, 225° ve 315° lik açılar yaparlar.

• Asimtotların kesiştiği nokta belirlenir.

Asimtotların kesiştiği nokta:
${\displaystyle {\frac {[0-1-2+3j-2-3j]-[0]}{4-0}}={\frac {-5}{4}}}$ yani -1.25'tir. Bu noktadan geçen asimtotları bir önceki adımda bulduğumuz açıları gözeterek s düzlemine çizeriz.

• Kök eğrilerinin ayrılma ve birleşme noktaları belirlenir.

${\displaystyle {\frac {d(K)}{ds}}=4s^{3}+15s^{2}+34s+13-0}$
denkeminin çözümünden üç tane kök elde ederiz. -0.467,-1.642+2.067j ve -1.642-2.067j ayrılma/birleşme noktaları tanımı gereği reel eksen üzerinde bulunmalıdır buna göre ikinci ve üçüncü kökler ayrılma ya da birleşme noktası olamaz. s=-0.467 ise reel eksen üzerinde bulunduğundan ve -1<s<0 aralığında olduğundan ayrılma noktası olabilecek bir adaydır. ilk değeri denkleme koyup K için çözdüğümüzde K = 2.825 buluruz. Bu kök pozitif bir K değerini sağladığı için ayrılma noktasıdır.

• Eğer karmaşık kutup/sıfır varsa: Ayrılma ve birleşme açıları belirlenir.

Sistemimizde bir çift karmaşık kök bulumaktadır. Kök eğrilerinin bu kutuplardan nasıl çıktığını anlamamız için ayrılma açılarını bilmemiz gerekmektedir. Bunun için açı şartını göz önüne alırız.

${\displaystyle \angle {G(s)}=180*(2k+1)}$ bu ifadeyi kompleks cebir işlemlerini kullanarak açarsak:

${\displaystyle \angle {K}-\angle {s}-\angle {s+1}-\angle {s+2+3j}-\angle {s+2-3j}=180^{\circ }*(2k+1)}$

${\displaystyle \angle {s+2-3j}=180^{\circ }*(2k+1)-\angle {K}+\angle {s}+\angle {s+1}+\angle {s+2+3j}}$

${\displaystyle \angle {s+2-3j}=180^{\circ }*(2k+1)-0^{\circ }-90^{\circ }-123.69^{\circ }-108.43^{\circ }=-142.13^{\circ }}$

Eğrilerin s= -2+3j kutbundan -142.13 derecelik açıyla ayrıldığını görürüz. Kök eğrileri reel eksene göre simetrik olması gerektiğinden s= -2-3j kutbundan 142.13 derecelik açıyla ayırılmalıdır.

• Karmaşık eksenin kesildiği noktalar belirlenir.

Sıfırımız olmadığı için kutuplarda başlayan kök eğrileri asimtotlarda son bulmak durumundadır. Kök eğrilerinin asimtotları izlediğinde imajiner ekseni keseceğini görürüz. Transfer fonksiyonunda s yerine jw yazdığımızda:

${\displaystyle K=-w^{4}+5w^{3}j+17w^{2}-13wj}$

Denklemini elde ederiz. Bu ifadeyi çözüdüğümüzde imajiner eksenin s= +-1.612j noktalarında kesildiğini görürüz.Bu noktada sistemin kazancı K=37.44 tür.

• Yukarıdaki adımlarda bulunan noktalar göz önünde bulundurularak kök eğrileri çizilir.

Bütün bu adımları geçtikten sonra geriye kök eğrilerini çizmek kalır. Her kutuptan bir tane kök eğrisi çıkar. Zira o kök eğrisi artan kazançla kutubun hareketini gösterir. Bu eğriler daha sonra bu örnekte sıfır olmadığı için asimtotlara hareket edeceklerdir.

-1 ve 0 kutuplarından çıkan kök eğrileri reel ekseni takip edecek ve ayrılma noktası olan -0.467 noktasında reel ekseni terk ederek yukarı doğru hareket edeceklerdir. 6. adımda bulduğumuz üzere +-1.612j noktalarında karmaşık eksen kesilecek ve kök eğrileri bu noktadan sonra tamamen asimtotları takip edecektir
Kompleks kutuplardan çıkan kök eğrileri ise 5. adımda bulunan açılarla çıkış yapacak ve asimtotları takip edecektir. Kompleks kutupların kök eğrilerinin belirleyici özelliği bu çıkış açılarıdır.

Bu örneğin kararlılık durumunu düşünecek olursak; kutupların sağ yarı düzlemi geçtiği anı göz önüne almamız gerekir. -1 ve 0 kutupları kazanç K=37.44 iken imajiner ekseni keserek diğer yarı düzleme geçmişlerdir. Bu noktadan sonra sistemin sağ yarı düzlemde kutubu olacağından sistem kararsız olur. Diğer bir deyişle sistemin kararlılığını koruyarak kazancı 37.44'e kadar yükseltebiliriz.

Ogata, K Modern Control Engineering, 5th edition

Kocaoğlan, E, Lecture Notes on Feedback Systems

• Kontrol Mühendisliği
• Otomatik Kontrol Sistemleri
• Nyquist’in kararlılık kriteri

• Kontrol teorisi (İngilizce Vikipedi) 7 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Köklerin yer eğrisi metodu (İngilizce)
• aerostudents.com kök eğrileri (İngilizce)