Köklü sayı

Köklü sayı üssü reel olan herhangi bir sayının kök içine alınarak gösterilmesine denir. Her üslü sayı bir köklü sayıya dönüşebilmektedir ancak bu durum üssü ${\displaystyle 1}$ olan sayılarda genellikle kullanılmaz zira herhangi bir ${\displaystyle a}$ sayısının ${\displaystyle a^{1}}$ şeklinde yazılması ${\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}}$ şeklinde yazılmasıyla aynı anlama gelmektedir.

Eğer bir sayının üssü tam sayıysa elde edilecek köklü sayı da tam sayıda bulunan gizli birden ötürü aynı anlama gelmektedir ve bu sayının kök içinde yazılması anlamsızdır ancak kökün kuvvetinde değişiklik yapılarak gösterim değiştirilebilir:

${\displaystyle 2={\sqrt[{1}]{2}}}$ normalde yapılacak gösterim budur ancak kuvvetin ${\displaystyle 1}$ olması bir anlam ifade etmeyeceğinden dolayı kökün kuvvetinde genişletme yapılır. Bu işlem şu şekilde gerçekleştirilir:

${\displaystyle 2={\sqrt[{1.n}]{2^{n}}}}$ yapılan çarpım sonucu sayı bir nitelik kazanarak kuvvetiyle beraber köke girmeyi başarır. Eğer genişletirken kuvveti ${\displaystyle 2}$ yapmak isteseydik sonuç şu olurdu:

${\displaystyle 2={\sqrt[{1.2}]{2^{2}}}={\sqrt[{2}]{4}}={\sqrt {4}}}$

Kuvveti iki olan sayılar karekök olarak adlandırılır ve kökün üstüne kuvvet yazılmaz. Kuvveti üç olan sayıların bir diğer ismi ise küpköktür.

Bir sayının üssü o sayının kök içine nasıl alınacağını belirler. Böyle bir durumda üssün paydası kök içindeki sayının kuvvetini belirtir. Farklı kuvvetlere sahip köklü sayılarda işlem yapılabilmesi için kuvvetlerin eşitlenmesi gerekir. Üssü ${\displaystyle 1/b}$ olan herhangi bir ${\displaystyle a}$ sayısı,

${\displaystyle a^{1/b}}$ ve

${\displaystyle {\sqrt[{b}]{a}}}$ ya eşittir.

Bir sayının kuvvetinin değişmesi için o sayının istenilen kuvveti elde etmemizi sağlayacak bir sayıyla çarpılması gerekir. Kuvvet çarpıldığından dolayı kökün içindeki sayının üssü de aynı sayıyla çarpılır.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$ sayısının kuvveti ${\displaystyle 6}$ yapılmak istenirse,

${\displaystyle {\sqrt[{3.2}]{5^{2.2}}}={\sqrt[{6}]{625}}}$ denilebilir.

Kök içindeki sayılar kuvvete bağlı olarak dışarıya çıkabilir,

${\displaystyle {\sqrt {18}}={\sqrt {9.2}}={\sqrt {{3^{2}}.{2^{1}}}}}$ buradaki ${\displaystyle 3^{2}}$ sayısı kökün kuvveti ${\displaystyle 2}$ olduğundan dolayı dışarıya ${\displaystyle 3}$ olarak çıkar yani sayı kökten çıkarken üssünün paydası kökün kuvvetiyle çarpılmıştır. Bu da ${\displaystyle 3.{\sqrt {2}}}$'e eşittir. Kök dışında çarpım haldeki bir sayının köke alınması için de bu işlemin tersi yapılır.

Temel çarpma hareketi uygulanır. Sayının katsayı kısımları kendi arasında kök kısımları kendi arasında çarpılır.

${\displaystyle (2.{\sqrt[{5}]{7}}).(3.{\sqrt[{5}]{4}})=(2.3){\sqrt[{5}]{7.4}}=6{\sqrt[{5}]{28}}}$

Eğer Köklerin kuvvetleri farklıysa Aşağıdaki işlemler yapılır.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.{\sqrt[{m}]{y}}={\sqrt[{m.n}]{x^{m}}}.{\sqrt[{m.n}]{y^{n}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}.{\sqrt[{5}]{7}}={\sqrt[{3.5}]{5^{5}}}.{\sqrt[{3.5}]{7^{3}}}}$

Temel bölme hareketi uygulanır. Sayının katsayı kısımları kendi arasında kök kısımları kendi arasında bölünür.

${\displaystyle (6.{\sqrt[{9}]{8}})/(3.{\sqrt[{9}]{4}})=(6/3){\sqrt[{9}]{8/4}}=2{\sqrt[{9}]{2}}}$

Eğer Köklerin kuvveti farklıysa aşağıdaki işlemler yapılır.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}/{\sqrt[{m}]{y}}={\sqrt[{m.n}]{x^{m}}}/{\sqrt[{m.n}]{y^{n}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}/{\sqrt[{5}]{7}}={\sqrt[{3.5}]{5^{5}}}/{\sqrt[{3.5}]{7^{3}}}}$

Toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabilmesi için kök içindeki sayıların ve kuvvetlerin aynı olması gerekmektedir. Kökler aynı değilse sadeleştirilme yapılarak kökün dışına sayı çıkarılır. Dışarı çıkan katsayılar çıkarılır ya da toplanır.

${\displaystyle (4.{\sqrt[{3}]{2}})+(2.{\sqrt[{3}]{2}})=6.{\sqrt[{3}]{2}}}$

${\displaystyle (4.{\sqrt[{3}]{2}})-(2.{\sqrt[{3}]{2}})=2.{\sqrt[{3}]{2}}}$

Birbirinin içinde olan köklerin, kökün katsayısı olsun ya da olmasın kuvvetleri çarpılarak tek kök haline getirilebilir.

Eğer sadece en içteki kökte sayı varsa kuvvetlerin çarpılması yeterlidir.

${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m.n}]{x}}}$

Eğer en dıştaki kök haricinde her kökün ${\displaystyle 1}$den farklı bir katsayısı varsa bütün katsayılar sırasıyla kendi içindeki köke girer en sonunda oluşacak sayının sadece en içteki kökünde bir sayı bulunacağından kuvvetler çarpılarak işlem yapılır.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2.{\sqrt[{4}]{5}}}}={\sqrt[{3}]{\sqrt[{4}]{2^{4}.5}}}={\sqrt[{12}]{80}}}$

En yaygın iç içe köklü ifadelerden biri :

${\displaystyle x=m+n}$ ve ${\displaystyle y=m*n}$ olmak üzere;

${\displaystyle {\sqrt {x\pm 2{\sqrt {y}}}}={\sqrt {m}}\pm {\sqrt {n}}}$

Bu şekilde ayrılabilir.

İspat :

x ile y nin arasındaki işaret + olsun.

${\displaystyle {\sqrt {x+2{\sqrt {y}}}}}$ = ${\displaystyle {\sqrt {m+n+2{\sqrt {m*n}}}}}$ = ${\displaystyle {\sqrt {({\sqrt {m}})^{2}+({\sqrt {n}})^{2}+2{\sqrt {m}}{\sqrt {n}}}}}$ = ${\displaystyle {\sqrt {({\sqrt {m}}+{\sqrt {n}})^{2}}}}$ = ${\displaystyle {\sqrt {m}}+{\sqrt {n}}}$