İçeriğe atla

Julia kümesi

İkinci derece polinomların Julia kümeleri için bir animasyon

Bir fonksiyonun Julia kümesi, o fonksiyonun dinamiğini incelemek için kullanılan kümedir. Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemi (en genel durumda tıkız Riemann yüzeyini ) kendi dinamiklerine göre iki ayrık kümeye bölerler. Bu kümeler, Julia ve Fatou kümeleridir. Fonksiyon, Julia kümesi üzerinde kaotik davranış sergilerken, Fatau kümesinde normal davranış sergiler.

fonksiyonunun Julia kümesi genellikle ile, Fatau kümesi ile ve doldurulmuş Julia kümesi ile gösterilir. Bu kümeler, 20`nci yüzyılın başlarında Fransız matematikçiler Gaston Julia[1] ve Pierre Fatou[2] tarafından bulunmuşlardır. 20`nci yüzyılın sonlarında bilgisayar ve grafik biliminin keşfi ile, Julia kümelerinin kullanımları hızlanmıştır.

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Yani, bu polinomların Julia kümelerini tarif eden bir nevi kombinatorik atlasdır. Çok değişkenli polinomların veya rasyonel fonksiyonların parametre uzayları daha karmaşık yapıdadır.

Tanım

, bir tıkız Riemann yüzeyi olsun. genellikle 2-boyutlu küre olarak seçilir. uzayı bir analitik çokkatlı olduğundan, üzerinde analitik yapı vardır. sabit olmayan fonksiyonunun, bu analitik yapıya göre, çözümlenebilir olduğunu kabul edelim. ile, nin kendisiyle kere birleşiminden oluşan fonksiyonu gösterelim. kümesi, ailesini normal aile yapan küme şeklinde tanımlanır.[3] kümesi ise şeklinde tanımlanır.

Bu soyut tanımın anlamı şudur: Bir verildiğinde olacak şekilde komşuluğu vardır. bir çokkatlı olduğundan, ya sınırlandırılmış analitik yapı vardır. komşuluğu fonksiyonlarının tanım kümesinin bir altkümesi ise, analitik ailesi elde edilir. nin bir normal aile olması demek, nin kapanışının tıkız olması demektir. Burada, üzerinde iyi bilinen bir topoloji vardır. Mesela, durumunda Frechet uzayıdır. nin kapanışı da tıkızlığı da bu topolojiye göredir. kümesinin bir açık küme olması, her için böyle bir seçilebilmesindendir ve Fatou kümesinin tanımının direkt sonucudur. nin kapalı olması eşitliğinden bulunur.

nin de kaotik davranış göstermesi, nin iterasyonlarının normal olmamasından dolayıdır. Bazı kaynaklar "kaotik davranışı" değişik şekilde tanımladıklarından, burada kullanıdığımız tanımı belirtmemiz gerekir: Kaotik davranış demek, başlangıç değerine duyarlı olmak demektir. Başka bir deyişle, kaotiktir demek, birbirine çok yakın iki nokta alındığında ile lerin birbirlerinden çok uzak olması demektir.

Örnekler

  • formülüyle verilen polinomunu ele alalım. Yukarıda verilen soyut tanımı kullanarak, nin Julia kümesinin yarıçaplı çember olduğunu göstereceğiz. Bu çemberi ile gösterelim. in "dışı" dediğimiz bölge, çember ile sonsuz arasında kalan bölgedir. Dış kısımdan bir noktası ve bu nokta civarında ile kesişmeyen bir komşuluk alırsanız, bu komşuluğun polinomu altındaki imajı arttıkça sonsuza yaklaşır. Başka bir deyişle, in dış kısmında ailesi sabit fonksiyonuna yakınsar, yani de kapanışı tıkızdır. Benzer şekilde, noktası çemberin iç bölgesinde ise, ler 0 a yakınsar. Geri kalan kısım, yani çemberin kendisi, Julia kümesini verir.
  • Aşağıda bazı örnekler verilmiştir. Öncelikle, bu resimlerin bazılarının renkli bazılarının ise siyah-beyaz olduğunu gözlemleyiniz. Kombinatorik harita resminin bir Julia kümesi olmadığını, fakat tavşan fonksiyonunun Julia kümesinin bu harita kullanılarak açıklanabileceğini hemen belirtelim.

Resimlerdeki her renk, sayısal olarak ile ilgili bir nicelige denk gelir. Aynı renge sahip noktalar benzer özelliklere sahiptirler. Siyah-beyaz resimlerde, bu nicelikler belirtilmez ve siyah noktalarla Julia kümesinin noktaları beyaz renk ile de Fatou kümesinin noktaları işaretlenir. Renk kullanımına şöyle bir örnek verelim: fonksiyonunu ele alalım. Çemberden seçilen neredeyse her noktanın, altındaki yörüngesi çember içinde yoğundur. Çemberin dış kısmından, yani , bir nokta seçersek, yörüngesi sonsuza kaçar. Sonsuza kaçma hızı, değişik renklerle ifade edilir. Mesela, eğer nokta ilk 10 iterasyon sonunda yarıçapı 50 olan çemberin dışında kalıyorsa açık mavi renk, kalmıyorsa koyu mavi renk kullanılabilir. Renklerin nasıl kullanılacağını belirten genel bir kural yoktur.

Yukarıda verilen resimlerde(her bir resim bir kümedir) çoğunlukla ikinci derece polinomlarının kullanılmasının nedeni hesaplarının ve teorilerinin kolay olmasındandır. Kaotik davranış, bilgisayar tarafından çizilen resimlerde büyük sapmalar olmasına neden olur.

Bilgisayar çizimleri her zaman hatalı olduklarından, konunun bilimsel yönden önemi, nin deki dinamiğine topolojik ve kombinatorik olarak eşdeğer(konjuge) olan bir başka dinamik sistem bulup onu izah etmekten geçer.

Julia setine örnekler

Diğer Tanımlar

  • kümesi, en az üç nokta içeren ve altında değişmez olan kapalı kümedir. Bu özellik, yi biricik şekilde belirler.
  • kümesi, nin itici devirli noktalarının topolojik kapanışıdır.
  • nin en fazla iki noktası dışındaki bütün noktaları için, şeklinde tanımlanabilir.
  • , küre üzerinde analitik ise (mesela polinomlar), kümesi, altında sonsuza yakınsayan noktalar kümesinin topolojik sınıdır.
  • Polinomlar için, kümesi kümesinin topolojik sınırı şeklinde tanımlanabilir.

Temel Özellikler

  • ve kümeleri altında tam-değişmez kümelerdir. Yani, ve eşitlikleri doğrudur.
  • için dir.
  • derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, boş olamaz. Fakat, olması mümkündür. Berkovich uzayında bu önermenin tam tersi doğrudur. Yani, boş olabilir. Berkovich uzayı için, yukarıda verilen Julia kümesi tanımı kullanılamaz, çünkü bu uzay bir Riemann yüzeyi değildir. Detaylı bilgi için, ilgili makaleye bakınız.
  • Keyfi seçilsin. nin yörüngesi, yani kümesi de yoğundur.
  • derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, Julia kümesinin topolojik içi ya boştur ya da Fatou kümesinin kendisi boştur. Berkovich uzayı durumunda, Fatou boş olamaz.

Mandelbrot Kümesi İle İlişkisi

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Çok dereceli polinomlar ve rasyonel fonksiyonların parametre uzayları, Mandelbrot kümesinin çok boyutlu versiyonlarını verirler. polinomunu düşünelim. sayısı Mandelbrot kümesinin bir elemanı ise, kümesi topolojik bağlantılıdır. sayısı bir Misiurewicz noktası ise, Mandelbrot fraktalnın sayısına denk gelen noktasının civarı, fraktalına benzer.

Ölçü Teorisi İle İlişkisi

, küre üzerinde rasyonel olsun. Bu durumda, desteği olan ve her Borel kümesi için koşulunu sağlayan biricik ölçüsü vardır. Bu ölçüsüne nin Lyubich ölçüsü[4] denir. Bu ölçüsü, güçlü harmanlama özelliğine sahiptir, yani her için

eşitliği doğrudur.

Julia Kümelerinin Kullanım Alanları

  • Anten teknolojisinde, fraktal şeklindeki antenleri modellemek için kullanılırlar.
  • Modern sanatta sıklıkla kullanılırlar.
  • Fraktal sıkıştırma algoritmaları sayesinde, dijital veri sıkıştırmak için kullanılabilirler.[5]
  • Bilgisayar oyunlarında, sanal arazi üretmek için kullanılırlar.

Kaynakça

  1. ^ Gaston Julia (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles," Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 8, pages 47–245.
  2. ^ Pierre Fatou (1917) "Sur les substitutions rationnelles," Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 164, pages 806-808 and vol. 165, pages 992–995.
  3. ^ John W. Milnor, Dynamics in One Complex Variable (Third Edition), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (First appeared in 1990 as a Stony Brook IMS Preprint 24 Nisan 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., available as arXiV:math.DS/9201272 9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..)
  4. ^ M. Yu. Lyubich (1981) "The maximum-entropy measure of a rational endomorphism of the Riemann sphere ," Funkts. Anal. Prilozh.,, vol. 16:4 (1982), pages 78–79.
  5. ^ [1] 21 Haziran 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Fractal compression

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Grup teorisi</span> simetrileri inceleyen matematik dalı

Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

<span class="mw-page-title-main">Türev</span> Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

<span class="mw-page-title-main">Hiperbolik sayılar</span>

Gerçel sayılarda olmayan ve karesi 1 olan bir sayının kümeye katılmasıyla üretilen kümeye hiperbolik sayılar kümesi denir. Tıpkı karmaşık sayılarda olduğu gibi, hiperbolik sayılar şeklinde yazılabilen sayılardır, ancak karmaşık sayılardan tek farkı hiperbolik birim denilen sayının

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Açıkorur gönderim</span>

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

<span class="mw-page-title-main">Mandelbrot kümesi</span>

Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.

Pürüzsüz (gıcır) çokkatlı, türevli topolojide bir çeşit topolojik çokkatlı. Tanımı sayesinde, üzerinde türev alınabilir bir uzaydır. Örneğin türev ve integralin ilk tanımlandığı gerçel sayılar kümesi, 1 boyutlu pürüzsüz bir çokkatlıdır.

<span class="mw-page-title-main">Cebirsel topoloji</span>

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, genel Möbius grubunun alt grubu olup ile gösterilir. Üst yarı düzlemi koruyan bu grup Riemann küresi üzerinde tanımlıdır. nin etkisi altında hiperbolik doğrular yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, hiperbolik uzunluk ve uzaklığın korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır. Bu özelliklerden önemli bir sonuca, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğuna, varmak mümkündür.

Matematik'te Lp uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz tarafından Bourbaki grubu Bourbaki 1987 olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue Dunford & Schwartz 1958, III.3, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lp uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

<span class="mw-page-title-main">Birleşme özelliği (ikili işlemler)</span>

Matematikte birleşmeli özellik, bir küme üzerine tanımlanmış ikili işlemlerin ayırt edici özelliklerinden biridir. Bu özelliği sağlayan ikili işlemlere birleşmeli işlem denir. Açık olarak bu özellik, (xy)z = x(yz) demektedir, yani üç elemanı "çarparken" işlem sırasının önemli olmadığını söylemektedir, bir başka deyişle birleşmeli özellikte işlem yaparken paranteze gerek olmadığını söylemektedir. Örneğin tam sayılar kümesi Z üzerine tanımlanmış olan toplama işlemi birleşmeli bir işlemdir ancak çıkarma işlemi birleşmeli değildir, çünkü eşitliği her için sağlanmasına karşın, eşitliği için sağlanmaz.

<span class="mw-page-title-main">Casorati-Weierstrass teoremi</span>

Karmaşık analizde Casorati-Weierstrass teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.

Matematiğin bir dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Fatou-Bieberbach bölgesi, e biholomorf gönderim ile denk olan ve 'in özalt kümesi olan bölgelere verilen addır. Diğer deyişle,

Matematikte, bir càdlàg fonksiyon, gerçek sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlı ve bu tanım kümesinin her noktasında sağdan sürekli, soldan limitli olan bir fonksiyondur. Cadlàg fonksiyonlar, özellikle sıçramaları olan stokastik süreçlerin incelenmesinde önemlidir. Bir tanım kümesi üzerindeki càdlàg fonksiyonların kümesine Skorokhod uzayı denir.

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir.

<span class="mw-page-title-main">Trigonometrik polinom</span> Matematiksel bir fonksiyon

Sayısal analiz ve matematiksel analiz alt alanlarında, bir trigonometrik polinom, sin(nx) ve cos(nx) fonksiyonlarının sonlu bir doğrusal kombinasyonu olup n bir veya daha fazla doğal sayı değerini alır. Gerçel değerli fonksiyonlar için, katsayılar gerçel sayılar olarak alınabilir. Kompleks katsayılar için, böyle bir fonksiyon ile sonlu bir Fourier serisi arasında bir fark yoktur.