Jakob Bernoulli

Jacob Bernoulli
Jacob Bernoulli
	Jacob Bernoulli
Doğum	6 Ocak 1655; Basel, İsviçre
Ölüm	16 Ağustos 1705 (50 yaşında); Basel, İsviçre
Vatandaşlık	İsviçre
Kariyeri
Dalı	Matematikçi
Çalıştığı kurumlar	Basel Üniversitesi
Doktora; danışmanı	Nicolas Malebranche; Peter Werenfels
Doktora öğrencileri	Johann Bernoulli; Jacob Hermann; Nicolaus I Bernoulli
Etkilendikleri	Gottfried Leibniz
	Johann Bernoulli'nin kardeşi.

Jacob Bernoulli (James ya da Jacques olarak da bilinir; d. 6 Ocak 1655 – ö. 16 Ağustos 1705), Bernoulli ailesindeki ünlü matematikçilerden biridir. Leibniz kalkülüsünün ilk savunucularındandır ve Leibniz- Newton kalkülüs tartışmasında Leibniz'in yanında yer almıştır. Kardeşi Johann Bernoulli ile kalkülüse yaptığı birçok katkıyla da ünlüdür. Ancak, matematiğe en önemli katkısı büyük sayılar yasası ile olasılık alanında olmuştur.^[1]

Hayatı

Babasının isteğiyle teoloji eğitimi almasına rağmen, matematik ve astronomiye olan ilgisi onu bu alanda önemli bir kariyere yöneltti. Seyahatleri sırasında dönemin önde gelen matematikçileri ve bilim insanlarıyla iletişim kurarak bilgi birikimini artırdı ve matematikteki yeni gelişmeleri yakından takip etti.

Bernoulli kardeşlerin matematik alanındaki çalışmaları, diferansiyel kalkülüs ve kalkülüsün çeşitli uygulamaları üzerine önemli katkılar sağladı. Jacob Bernoulli'nin, özellikle Ars Conjectandi adlı eseri, olasılık teorisi ve kombinatoryal matematiğin temellerini atmıştır.

Kardeşi Johann Bernoulli ile olan ilişkisi, matematiksel rekabetin örneklerinden biri olarak görülebilir. İkili, zorlu matematik problemleri üzerinde mücadele ederek birbirlerinin yeteneklerini test ettiler. Bu rekabet, matematikte yeni keşiflerin ve ilerlemelerin tetiklenmesine katkıda bulunmuş olabilir.

Jacob Bernoulli'nin hayatını kaybetmesine rağmen, matematik alanındaki çalışmaları ve etkisi uzun süre devam etmiştir. Mezar taşındaki logaritmik spiral figürü ve sloganı, onun matematikle olan bağını ve kalıcı etkisini simgeliyor gibi görünüyor. Bernoulli'nin matematiğe ve bilime olan katkıları, onun hatırasının yaşamasını sağlamıştır.

Önemli çalışmaları

Jacob Bernoulli'nin ilk önemli katkıları, 1685 yılında yayımlanan mantık ve cebrin paralelliği üzerine bir kitapçık, 1685 yılında yayımlanan olasılık ve 1687 yılında yayımlanan geometri üzerine çalışmalardır. Geometri üzerine yaptığı çalışmalar sonucunda herhangi bir üçgenin birbirine dik iki doğru ile dört eşit parçaya bölünebileceğini göstermiştir.

1689 yılına kadar sonsuz seriler üzerine olan önemli çalışmalarını ve olasılıkta büyük sayılar yasası kuramını yayımlamıştır. Jacob Bernoulli 1682 ve 1704 yılları arasında sonsuz seriler üzerine beş adet bilimsel inceleme yazmıştır. Bunlardan ikisi Bernoulli'nin yeni bir keşif olarak düşündüğü ancak Mengoli tarafından 40 yıl önce kanıtlanan $\sum 1/n$ ifadesinin ıraksadığı gibi sonuçları içeriyordu. Bernoulli $\sum 1/n^{2}$ ifadesi için kapalı bir form bulamadı fakat bu ifadenin 2'den az sonlu bir limite yakınsadığını gösterdi. Bunların yanı sıra bileşke faiz incelemeleri sırasında üstel seriler üzerine de çalışmalar yaptı. 1690 yılında yayımlanan Acta Eruditorium'da Jacob Bernoulli, eşoylum eğrisini belirleme probleminin çözümünün, birinci dereceden doğrusal olmayan diferansiyel denklem çözümü ile aynı olduğunu gösterdi. Eşoylum eğrisi ya da sabit azalım eğrisi, başlangıç noktasına bakılmaksızın herhangi bir noktadan yere tam olarak aynı sürede düşen bir parçacığın eğrisidir. Diferansiyel denklemi bulduktan sonra Bernoulli, bugün değişkenlerine ayırma dediğimiz yöntem ile çözmüştür. Jacob Bernoulli'nin 1690'da yayımlanan çalışması kalkülüs tarihi için oldukça önemlidir çünkü integral(tümlev) terimi ilk kez integrasyon (tümlevleme) anlamı ile kullanılmıştır. 1696 yılında, günümüzde Bernoulli Diferansiyel Denklemi denilen aşağıdaki denklemi çözmüştür.

y'=p(x)y+q(x)y^{n}.

Bernoulli'nin kelebek eğrisi Bernoulli tarafından 1694 yılında tasarlanmıştır. 1695 yılında kablo boyunca kayan ağırlığın köprüyü sürekli dengede tutması için bir eğri gerektiren asma köprü problemini incelemiştir.

Jacob Bernoulli'nin en özgün eseri Ars Conjectandi 1713 yılında Basel'de ölümünden 8 yıl sonra yayımlanmıştır. Öldüğünde bu yapıt henüz tamamlanmamış dahi olsa hâlâ olasılık kuramı için büyük bir öneme sahiptir. Kitapta Bernoulli, van Schooten, Leibniz ve Pretstet'in olasılık üzerine yaptığı çalışmaları incelemiştir. Bernoulli sayıları üstel işlev üzerine olan tartışmalarda görülür. Kitapta bir kişinin oynadığı çeşitli şans oyunlarında ne kadar kazanmasının beklendiğine dair birçok örnek yer almaktadır. Bernoulli denemeleri terimi buradan gelmektedir. Kitapta ayrıca olasılığın ne olduğuna dair ilginç görüşler bulunmaktadır:

“ …ölçülebilir kesinlik değeri olarak olasılık; gereklilik ve ihtimal; ahlak matematiksel beklentiye karşı; öncül ve soncul olasılık; oyuncular maharetlerine göre ayrıldığında kazanma olasılığı; bütün mevcut savların göz önüne alınması, bunların değerlendirilmesi ve hesaplanabilir değerlendirmesi; büyük sayılar kuralı…”

Matematiksel sabit e’nin bulunuşu

Bernoulli, matematiksel bir sabit olan e sayısını bileşke faiz ile ilgili olan ve ona aşağıdaki ifadenin değerini ( $e$ : sayısı) bulmasını gerektiren bir soru üzerinde çalışırken keşfetti.

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Bu durum şu şekilde örneklendirilebilir:

$1.00'lık bir banka hesabı yıllık yüzde 100 faiz ile açılıyor. Eğer faiz, yıl sonunda, bir kere uygulanırsa para $2.00 olmaktadır. Ancak eğer faiz hesaplanıp yılda iki kez uygulanırsa (yüzde 50 olarak iki kez), $1.00 1.5 ile iki kez çarpılır, elde edilecek para $1.00×1.5² = $2.25 olur. Yılda dört kere hesaplanıp uygulanırsa (yüzde 25 olarak dört kez) elde edilecek para $1.00×1.25⁴ = $2.4414... olmaktadır. Eğer bu faiz hesaplanıp aylık uygulanırsa elde edilecek para $1.00×(1.0833...)¹² = $2.613035.... olmaktadır.

Bernoulli bu dizinin daha çok ve daha küçük bileşke aralıkları için bir limite yaklaştığını fark etti. Faizi haftalık hesaplayınca elde edilen para $ 2.692597…, günlük hesaplayınca ise $2.714567…, yani sadece 2 sent fazla olmaktadır. Bileşke aralığı olarak $n$ kullanıldığında ve her aralık için 100%/ $n$ faizle, büyük $n$ sayıları için elde edilen sayı $e$ olarak bilinen sabittir. Yani, eğer sürekli bileşik faiz uygulanmaya devam edilirse hesap $2.7182818.... değerine ulaşacaktır. Daha genel olarak $1 ile açılan ve basit faiz ile (1+ $R$ ) dolar değerine, ulaşan bir hesap sürekli bileşik faiz ile $e$ ^$R$ değerine ulaşacaktır.