Jacobi sembolü

Jacobi sembolü Legendre sembolünün bir genellemesidir. 1837 yılında Jacobi tarafından tanıtılan bu teori, modüler aritmetik ve sayılar teorisinin diğer dallarındandır ama ana kullanımı hesaplamada sayılar teorisi, özellikle asallık testi ve tam sayıları çarpanlara ayırma olarak kriptografide oldukça önemlidir.

Herhangi bir a tam sayısı ve herhangi bir n pozitif tek tam sayısı için Legendre sembolünün ana faktörlerine karşılık olarak Jacobi sembolünün bir ürünü olarak tanımlanır

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}{\mbox{ , }}n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$

${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ ve tüm tek sayılar için ${\displaystyle p}$tarafından sağlanan değerler

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }}a\equiv 0{\pmod {p}}\\+1{\mbox{ if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\mbox{ ve bazı x tamsayısı için, }}\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\mbox{ böyle bir x olmaması durumunda }}\end{cases}}}$

Normal kuralı takip eden boş bir ürün için ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{1}}\right)=1.}$aynı değere sahip alt argümanların ne zaman Legendre ne zaman Jacobi sembolleri olduğu ayırt edilemez.

Aşağıdaki gerçekler, jacobi sembolü ve legendre sembolü karşılıklılık yasalarına karşılık gelen özellikleri tanımından kesintiler bulundurur. Şunu belirtmek gerekir ki, Jacobi sembolü sadece üst argüman("pay")bir tam sayı, alt argüman ("payda")pozitif tek tam sayı olduğunda tanımlanır.

1) Eğer ${\displaystyle n}$tek asal sayı ise,sonrasında ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}}$ Jacobi sembolü aynı yazılmış olan Legendre sembolüne eşittir.

2) Eğer ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ise ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {b}{n}}\right)}$

3)${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ eğer }}\gcd(a,n)\neq 1\\\pm 1{\mbox{ eğer }}\gcd(a,n)=1\end{cases}}}$

Eğer üst veya alt argüman sabit ise,tamamen çarpımsal fonksiyon içinde kalan argüman Jacobi sembolüdür:

4) ${\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)={\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}\left({\frac {b}{n}}\right)}$, bu yüzden ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{n}}\right)=1{\textrm {\ yada\ }}0}$

5) ${\displaystyle \left({\frac {a}{mn}}\right)=\left({\frac {a}{m}}\right)\left({\frac {a}{n}}\right)}$, yani ${\displaystyle \left({\frac {a}{n^{2}}}\right)=1{\textrm {\ yada\ }}0}$

karesel karışıklık yasası:Eğer m ve n göreceli tek asal tam sayılar ise

6) ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{{\tfrac {m-1}{2}}{\tfrac {n-1}{2}}}={\begin{cases}\;\;\;\left({\frac {n}{m}}\right)&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ ya da }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\-\left({\frac {n}{m}}\right)&{\text{if }}n\equiv m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

ve ekleri

7) ${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\tfrac {n-1}{2}}={\begin{cases}\;\;\,1&{\text{eğer }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{eğer }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

8) ${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\tfrac {n^{2}-1}{8}}={\begin{cases}\;\;\,1&{\text{eğer }}n\equiv 1,7{\pmod {8}}\\-1&{\text{eğer }}n\equiv 3,5{\pmod {8}}\end{cases}}}$

Legendre sembolü gibi,

Eğer ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1}$ ise ${\displaystyle a}$bir kuadratik kalan olmayandır ${\displaystyle {\pmod {n}}}$ e göre.

Eğer ${\displaystyle a}$ bir kuadratik kalan ise ${\displaystyle {\pmod {n}}}$ ve ${\displaystyle a\not \equiv 0{\pmod {n}}}$, sonrasında ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1}$

Fakat Legendre sembolü gibi değilse,

Eğer ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1}$ ise ${\displaystyle a}$ bir kuadratik kalan olabilir veya olmayabilir ${\displaystyle {\pmod {n}}}$.

yukarıdaki formüller için etkin yol ((log a)(log b)) dir.Jacobi sembolünün hesaplanmasında kullanılan algoritma,iki sayının obebini bulan Öklid algortiması ile benzerdir.

1. kural 2 kullanılarak "pay" mod "payda" azaltılır.
2. kural 4 ve kural 8 kullanılarak "pay"dan herhangi 2 faktör ayıklanır.
3. Eğer "pay" 1 ise, kural 3 ve 4 sonucu 1 verir.Eğer "pay" ve "payda" aralarında asal değilse, kural 3 sonucu 0 verir.
4. Aksi takdirde "pay" ve "payda" şu an göreceli tek pozitif tam sayıdır, bu yüzden kural 6 yı ters çevirip sonrasında 1.adıma dönebiliriz.

Legendre sembolü ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$ sadece tek asal sayılar için tanımlanır.Bu Jacobi sembolü olarak aynı kurallara itaat eder (yani, karşılıklılık ve ek için formüller ${\displaystyle ({\tfrac {-1}{p}})}$ ve ${\displaystyle ({\tfrac {2}{p}})}$ "pay"ın çarpımsalıdır

${\displaystyle \left({\frac {1001}{9907}}\right)=\left({\frac {7}{9907}}\right)\left({\frac {11}{9907}}\right)\left({\frac {13}{9907}}\right).}$

${\displaystyle \left({\frac {7}{9907}}\right)=-\left({\frac {9907}{7}}\right)=-\left({\frac {2}{7}}\right)=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {11}{9907}}\right)=-\left({\frac {9907}{11}}\right)=-\left({\frac {7}{11}}\right)=\left({\frac {11}{7}}\right)=\left({\frac {4}{7}}\right)=1}$

${\displaystyle \left({\frac {13}{9907}}\right)=\left({\frac {9907}{13}}\right)=\left({\frac {1}{13}}\right)=1}$

${\displaystyle \left({\frac {1001}{9907}}\right)=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {1001}{9907}}\right)=\left({\frac {9907}{1001}}\right)=\left({\frac {898}{1001}}\right)=\left({\frac {2}{1001}}\right)\left({\frac {449}{1001}}\right)=\left({\frac {449}{1001}}\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {1001}{449}}\right)=\left({\frac {103}{449}}\right)=\left({\frac {449}{103}}\right)=\left({\frac {37}{103}}\right)=\left({\frac {103}{37}}\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {29}{37}}\right)=\left({\frac {37}{29}}\right)=\left({\frac {8}{29}}\right)=\left({\frac {2}{29}}\right)^{3}=-1.}$

Legendre ve Jacobi sembolünün farklı başka yolları yoktur.Eğer Euler kriteri asal olmayan bir sayı için uygulanırsa, sonuç Jacobi sembol değeri ile farklı olabilir ve hatta gerçek değer -1 veya 1 olmayabilir.

${\displaystyle \left({\frac {19}{45}}\right)=1\quad {\textrm {ve}}\quad 19^{(45-1)/2}\equiv 1{\pmod {45}}}$

${\displaystyle \left({\frac {8}{21}}\right)=-1\quad {\textrm {ama}}\quad 8^{(21-1)/2}\equiv 1{\pmod {21}}}$

${\displaystyle \left({\frac {5}{21}}\right)=1\quad {\textrm {ama}}\quad 5^{(21-1)/2}\equiv 16{\pmod {21}}}$

• The Kronecker symbol is a generalization of the Jacobi symbol to all integers.
• The power residue symbol is a generalization for third, fourth, and higher powers.

• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Berlin: Springer, ISBN 3-540-55640-0 

• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X 

• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66957-4