Iraksak seri

Matematikte ıraksak seri yakınsak olmayan bir sonsuz seridir. Bu, serinin kısmi toplamlarının herhangi bir limit değeri olmadığı anlamına gelmektedir.

Bir seri yakınsıyorsa bu serinin terimleri sıfıra yaklaşmalıdır. Bu nedenle, en az bir terimi sıfıra yaklaşmayan seriler ıraksaktır. Ne var ki, terimleri sıfıra yaklaşan tüm seriler yakınsak değillerdir. Harmonik seri bu duruma örnek olarak gösterilebilir.

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

Harmonik serinin ıraksak olduğu Orta Çağ matematikçisi Nicole Oresme tarafından kanıtlanmıştır.

Özelleşmiş matematiksel yöntemler, kısmi toplamlar serisi ıraksayan belli serilere değerler atamaktadır. Toplam yöntemi, serinin kısmi toplamlar kümesinden değerlere tanımlı bir parçalı işlevdir. Örneğin, Cesàro toplamı Grandi ıraksak serisine ¹/₂ değerini atamaktadır. Kısmi toplamların aritmetik ortalamasına dayanan Cesàro toplamı ortalayıcı bir yöntemdir. Diğer yöntemler ise serinin çözümlemeli sürekliliğini göz önüne almaktadır. Fizik bu tür farklı toplam yöntemlerinin en sık kullanıldığı bilim dalıdır.

Bir M toplam yöntemi tüm yakınsak serilerin limit değerleriyle koşutluk gösteriyorsa düzenlidir. Bu sonuç Abel Teoremi olarak adlandırılır. Alfred Tauber tarafından bulunan ve bu teoreme kısmen karşıt sonuçlar üreten Tauber teoremleri ise daha çok ilgi çekmektedir. Buradaki kısmen karşıt terimi, M'nin Σ serisini toplayabildiğinde Σ'nın yakınsak olması gerektiğini belirtmektedir.

Iraksak bir serinin toplamına değer atayabilen yöntemler doğrusaldır. Bu sonuç, yöntemin sınırlı kısmi toplamlara sahip olan serileri toplayabilecek biçimde geliştirilebilmesini öngören Hahn-Banach teoreminden çıkarılmaktadır. Bu olgu uygulamada çok yararlı değildir. Bunun nedeni, birbirleriyle tutarsız yöntemlerin çokluğu ve bu yöntemlerin gerçekte var olduklarını kanıtlamanın seçme beliti ya da Zorn önermesi gibi yöntemler kullanmayı gerektirmesidir.

Iraksak serilerin matematiksel çözümlemedeki kullanım alanı Abel toplamı, Cesàro toplamı ve Borel toplamı gibi somut ve doğal yöntemler ve bunlar arasındaki ilişkilerdir. Wiener'in Tauber teoremi bu alanda bir milat olmuş ve Fourier çözümlemesindeki Banach cebiri yöntemleri üzerinde beklenmeyen bazı düzeltmeler yapmıştır.

Iraksak seri toplam yöntemleri ekstrapolasyon ve seri dönüşümü yöntemleriyle de ilintilidir. Padé yaklaşıkları, Levin seri dönüşümleri ve nicem mekaniğindeki düzensizlik teoremini düzeltme yöntemlerine ilişkin düzeye bağlı eşlemeler bu yöntemlere örnek olarak gösterilebilir.

Toplam yöntemleri genellikle serinin kısmi toplamlar kümesine odaklanmaktadır. Bu seri her ne kadar yakınsamıyorsa da, serinin ilk terimlerinin ortalaması alınarak limit hesaplaması gerekliliği ortadan kaldırılabilmektedir. a = a₀ + a₁ + a₂ + ... ifadesini hesaplayabilmek için öncelikle s serisi bulunmalıdır. Bu seri, s₀ = a₀ ve s_n+1 = s_n + a_n eşitliklerini sağlar. Yakınsak seriler için s, a limitine yaklaşmaktadır. Toplam yöntemi, kısmi toplamlar serisinden değerlere tanımlı bir işlev olarak görülebilir. A, bir seri kümesine değer atayabilen bir toplam yöntemi ise bu, karşılık gelen tüm serilere değer atayabilen bir seri toplam yöntemine dönüştürülebilir. Bu yöntemlerin belirli limit ve toplam değerlerine karşılık gelebilmeleri için sahip olmaları gereken bazı özellikler bulunmaktadır.

1. Düzenlilik. s serisi x'e yakınsarken A(s) = x koşulu sağlanıyorsa bu toplam yöntemi düzenlidir. Buna karşılık gelen seri toplam yöntemi de A^Σ(a) = x sonucuna ulaşmaktadır.
2. Doğrusallık. A, seri üzerinde tanımlı olduğu noktalarda doğrusal ise bu yöntem doğrusaldır. Bu, A(r + s) = A(r) + A(s) ve k bir sayı (gerçel ya da karmaşık) olmak koşuluyla A(ks) = k A(s) eşitliklerinin sağlanması anlamına gelmektedir. a serisinin a_n = s_n+1 − s_n terimleri s serisi üzerinde doğrusal olduklarından A^Σ, seri terimleri üzerinde doğrusaldır.
3. Kararlılık. s, s₀ ile başlayan bir seriyse ve s′_n = s_n+1 − s₀ koşulu sağlanıyorsa A(s) ancak ve ancak A(s′)'nin tanımlı olması durumunda tanımlıdır ve A(s) = s₀ + A(s′) eşitliği sağlanır. Başka bir deyişle, a′_n = a_n+1 koşulu tüm n değerleri için sağlanıyorsa A^Σ(a) = a₀ + A^Σ(a′) eşitliği elde edilir.

Üçüncü koşul daha az önem taşımaktadır. Borel toplamı gibi bazı önemli yöntemler bu koşula sahip değillerdir.

A ve B gibi iki farklı toplam yönteminde ortak olarak bulunması yeğlenen özellik tutarlılıktır. A ve B'nin değer atadığı her s serisi için A(s) = B(s) koşulu sağlanıyorsa bu yöntemler tutarlıdır. İki yöntem tutarlıysa ve bunlardan biri diğerinden daha çok sayıda seriyi toplayabiliyorsa o yöntem diğerinden güçlüdür.

Düzenlilik, doğrusallık ve tutarlılık birer belit olarak tanımlandığında birçok ıraksak seriyi temel cebirsel ifade değişiklikleriyle toplamak olanaklıdır. Örneğin, r ≠ 1 olmak koşuluyla

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\mbox{ (tutarlılık) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\mbox{ (doğrusallık) }}\\&=c+r\,G(r,c)&&{\mbox{ ve }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}}&&\\\end{aligned}}}$

geometrik serisi yakınsak olup olmadığına bakılmaksızın toplanabilir. Bu özelliklere sahip olan ve geometrik serilere değer atayabilen toplam yöntemleri bu seriye de değer atayabilmelidirler. Ne var ki, r'nin 1'den büyük bir gerçel sayı olması durumunda kısmi toplamlar sınır tanımaksızın artmakta ve ortalamaya dayanan yöntemler ∞ limit göstermektedirler.

p_n'nin pozitif terimlerden oluşan ve p₀'dan başlayan bir seri olduğu varsayılsın. Ayrıca,

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0}$

koşulu da sağlanmış olsun. Bir s serisi p cinsinden ağırlıklı ortalamalar verecek biçimde düzenlenirse

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

n sonsuza giderken t_n'nin limiti Nörlund ortalaması (N_p(s)) olarak adlandırılan ortalama değere eşit olur.

Nörlund ortalaması düzenli, doğrusal ve kararlı olmasının yanı sıra iki Nörlund ortalaması tutarlıdır. Nörlund ortalamalarının en önemlileri kuşkusuz Cesàro toplamlarıdır. p^k serisi

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}={\frac {\Gamma (n+k)}{\Gamma (k)}}}$

olarak tanımlandığında Cesàro toplamı C_k, C_k(s) = N_(p^k)(s) koşulunu sağlamaktadır. k ≥ 0 ise Cesàro toplamları Nörlund ortalamalarıdır. C₀ olağan toplamayı, C₁ ise olağan Cesàro toplamını göstermektedir. h > k koşulu sağlanıyorsa C_h C_k'den güçlüdür.

λ = {λ₀, λ₁, λ₂, ...} sonsuza yönelen artan bir seri olsun ve λ₀ ≥ 0 koşulunun sağlandığı varsayılsın.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)}$

toplamı tüm x pozitif gerçel sayıları için yakınsıyorsa Abel ortalaması A_λ

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x)}$

biçiminde ifade edilebilir.

Bu tür seriler genel Dirichlet serileri olarak adlandırılır. Fiziksel uygulamalarda ise ısı-öz düzenlemesi adını alırlar.

Abel ortalamaları düzenli, doğrusal ve kararlıdırlar ancak farklı λ değerleri için tutarlı değillerdir. Buna karşın, bazı özel durumlar önemli toplam yöntemleri oluşturmaktadır.

λ_n = n koşulu sağlandığında Abel toplamına ulaşılmaktadır.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-nx)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

Burada z = exp(−x) eşitliği sağlanmaktadır. Böylece, x pozitif gerçel sayılardan 0'a yaklaşırken ƒ(x)'in limiti, z 1'e aşağıdan yaklaşırken ƒ(z)'nin limitine eşit olur. Bu durumda Abel toplamı A(s)

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

biçiminde tanımlanır.

Abel toplamı Cesàro toplamı ile tutarlıdır ancak ondan güçlüdür. C_k(s)'nin tanımlı olduğu tüm noktalarda A(s) = C_k(s) eşitliği sağlanmaktadır.

λ_n = n ln(n) koşulu sağlanıyorsa

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots }$

eşitliğine ulaşılır.

Lindelöf toplamı (L(s)), x sıfıra giderken ƒ(x)'in limitine eşittir. Birçok uygulama alanı bulunan bu yöntem Mittag-Leffler yıldızındaki güçlü serileri toplayabilmesiyle ünlüdür.

g(z) sıfır çevresinde analitik ise ve bir Maclaurin serisine sahipse Mittag-Leffler yıldızında L(G(z)) = g(z) eşitliği sağlanır.

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• Grandi serisi