İçeriğe atla

Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Teoremin ifadesi ve kanıtı

Hurwitz teoreminin değişik kaynaklarda yaygın iki ifadesi mevcuttur:

İfade 1:[1] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun. de D üzerinde tanımlı, her bir öğesi D üzerinde sıfır olmayan bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun (Yani, ). Eğer bu dizi D nin her tıkız altkümesinde bir fonksiyonuna düzgün yakınsak ise, o zaman ya 'dır ya da 'nin D üzerinde sıfırı yoktur.

Kanıt: Varsayalım ki D üzerindeki her noktada 0 olmasın (yani sıfır fonksiyonu olmasın) ama D 'nin en az bir noktasında da 0 değerini alsın. Diyelim ki bu nokta P olsun; yani olsun. Bir çelişki elde etmemiz lazım. İlk önce gözlemlemiz gereken 'nin de holomorf olacağıdır; çünkü holomorf fonksiyonların tıkız altkümeler üzerindeki düzgün yakınsadığı bir fonksiyondur. O yüzden, D üzerindeki herhangi bir noktada 'nin türevini almakta sakınca yoktur.
Öyle bir r>0 seçelim ki P merkezli ve r yarıçaplı kapalı daire D 'nin içinde kalsın ve aynı zamanda de bu kapalı daire üzerinde P noktasından başka bir yerde 0 değerini almasın. Böyle bir r bulabiliriz: Evvela, D bir bölgedir ve bu yüzden açık ve bağlantılı bir kümedir. Aynı zamanda, holomorf fonksiyonların sıfırları korunmalı noktalardır. Şimdi,
ifadesi 'nin P'deki sıfırının mertebesini verecektir. Yani varsayımımız üzerine en az 1 olacaktır. Diğer taraftan, her k için sıfır değerini almadığı için
ifadesi Cauchy integral teoremi sayesinde 0'a eşit olacaktır. Ancak, aynı zamanda en son yazdığımız bu integral iken ilk yazdığımız integral ifadesine yakınsayacaktır; çünkü tıkız bir kümedir ve bu küme üzerinde teoremin varsayımı gereği ve düzgün yakınsamaları vardır. İkinci yazdığımız her k için 0'a eşitti ve ilk yazdığımız ifade de 1'den büyüktü. Bu bir çelişkidir. O zaman teorem doğrudur.

İfade 2:[2] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun. de D üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun ve bu dizi de D üzerinde tanımlı bir fonksiyonuna yakınsasın. Eğer ve üzerinde ise, o zaman öyle bir vardır ki her için ve 'nin içinde aynı sayıda sıfırı vardır.

İkinci ifadenin kanıtı da birinci kanıta benzer olarak yapılabilir.

Örnekler

İlk ifadenin örneği olarak alabiliriz. Üstel fonksiyon 0 değerini almadığı için her n için dizinin fonksiyonları sıfır olmaz ve bu dizinin iken yakınsadığı fonksiyon fonksiyonudur.

İkinci ifadede, alınan dairenin sınırında koşulu önemlidir. Mesela, birim daire üzerinde

fonksiyonları noktalarında 0 değeri alır. Ancak, bu fonksiyonların yakınsadığı fonksiyonunun birim daire üzerinde sıfırı yoktur.

Notlar

  1. ^ Greene, Robert E. ve Krantz, Steven G., Function Theory of One Complex Variable, AMS, 3. baskı, sf.169, 2006.
  2. ^ Conway, John B., Functions of One Complex Variable I, Springer, 2. baskı, sf.152, 1978.

İlgili Araştırma Makaleleri

Karmaşık analizde, tam fonksiyon veya başka bir deyişle integral fonksiyonu, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların tipik örnekleri polinomlar, üstel fonksiyon ve bunların toplamları, çarpımları ve bileşkeleridir. Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona uzatılamaz.

<span class="mw-page-title-main">Morera teoremi</span> Matematik terimi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Harmonik fonksiyon</span>

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rn'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : UR şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

<span class="mw-page-title-main">Cauchy integral formülü</span>

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin adıyla adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Liouville teoremi tam fonksiyonların sınırlılığıyla ilgili temel bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Laurent serisi</span>

Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır. Karl Weierstrass 1841'de bu seriyi bulmuş olabilir ancak o zamanda ilk yayınlayan olamamıştır.

<span class="mw-page-title-main">Poligama fonksiyonu</span>

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1). türevi olarak tanımlanır.

<span class="mw-page-title-main">Digama fonksiyonu</span>

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıyla

Matematikte, bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı negatif olmayan bir gerçel sayı veya ∞ olan bir niceliktir. Verilen bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı serinin yakınsak olduğu bölgeyi gösterir. Bu yakınsaklık yarıçapının içinde kalan bölgede, kuvvet serisi mutlak yakınsak ve aynı zamanda tıkız yakınsaktır. Seri yakınsak ise, o zaman bu seri bir analitik fonksiyonun bu yakınsaklık yarıçapının belirlediği bölgenin içinde kalan bölgede yakınsayan bir Taylor serisidir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Blaschke çarpımı, açık birim dairede bütün sıfırlarının önceden belirli bir karmaşık dizinin elemanlarında olması için oluşturulmuş sınırlı, holomorf bir fonksiyondur.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

<span class="mw-page-title-main">Kök (matematik)</span>

Matematikte gerçel, karmaşık veya daha genel bir anlamda vektör değerli bir fonksiyonun kökü, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan ve fonksiyonun 0 değerini aldığı noktalardır. Yani, eğer bir V kümesinden bir W vektör uzayına tanımlı bir fonksiyonu

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hadamard üç çember teoremi veya sadece üç çember teoremi holomorf fonksiyonların çember üzerindeki maksimum değerleriyle ilgili bir sonuçtur.

Möbius fonksiyonu , 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

Matematikte, Bochner-Martinelli formülü, Cauchy integral formülünün birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlara yönelik genellemelerinden birisidir. Enzo Martinelli ve Salomon Bochner tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.

Matematiğin bir alanı olan çok değişkenli kompleks analizde, Bergman çekirdeği, karesi integrallenebilir holomorf fonksiyonlardan oluşan Hilbert uzayının doğuran çekirdeğidir. Stefan Bergman'ın ardından isimlendirilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Casorati-Weierstrass teoremi</span>

Karmaşık analizde Casorati-Weierstrass teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Hartogs teoremi, birden fazla karmaşık değişkenle tanımlı holomorf fonksiyonların her bir karmaşık değişkene göre ayrı ayrı holomorf olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu verdiğini ifade eden bir sonuçtur. Başka bir deyişle, eğer her için değişkeninde holomorf ise, sürekli bir fonksiyondur. Teorem, Friedrich Hartogs'un adını taşımaktadır.