Holomorf fonksiyon

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Karmaşık anlamda türevlilik gerçel türevlilikten daha güçlüdür. Biraz daha açarsak, holomorf fonksiyon sonsuz kere türevlenebilir ve Taylor serisi ile tanımlanabilir. Her ne kadar daha geniş anlamda (gerçel, karmaşık veya daha genel bir çerçevede) fonksiyonun tanım kümesi içindeki her noktanın komşuluğunda fonksiyonun Taylor serisine eşit olması anlamına gelse de, analitik fonksiyon teriminin holomorf fonksiyon terimi yerine de kullanıldığı bolca yer vardır. Analitik fonksiyonlar sınıfının karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar sınıfı ile aynı olması karmaşık analizde önemli bir teoremdir. Holomorf fonksiyonlara bazen düzenli fonksiyonlar^[1] dendiği de olmaktadır. Karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan fonksiyona tam fonksiyon adı verilir. "a noktasında holomorf olma" terimi a noktasında türevli manasına gelmekle beraber aynı zamanda karmaşık düzlemde a noktası etrafındaki belli bir açık disk içindeki her noktada türevli anlamına da gelmektedir.

U kümesi C'nin açık bir kümesiyse, f : U → C, U üzerinde tanımlı karmaşık bir fonksiyonsa ve U kümesine ait bir z₀ noktasındaki

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

limiti varsa, f 'ye z₀ noktasında karmaşık (kompleks) türevli denilir. Burada limit z₀ noktasına yaklaşan karmaşık sayıların tüm dizileri üzerinden alınır ve bu tür tüm diziler için farkların oranı tek bir sayıya yaklaşmak zorundadır ki o sayı da f '(z₀) 'dır. Sezgisel olarak, f fonksiyonu z₀ 'da karmaşık türevliyse ve z₀ 'a r yönünden yaklaşılırsa, o zaman f altındaki görüntüler de f '(z₀) r çarpımı yönünden f(z₀) noktasına yaklaşır. Türevliliğin bu tip tanımı gerçel türevlilik ile belli başlı ortak özellikler taşımaktadır:

• her iki türev de doğrusaldır (lineerdir).
• her iki türev de türevdeki çarpma, bölme ve zincir kuralını sağlarlar.

f fonksiyonu U açık kümesi içindeki her z₀ noktasında kompleks türevli ise, f fonksiyonu U üzerinde holomorftur denilir. f fonksiyonu z₀ etrafındaki bir komşuluk içinde kompleks türevli ise z₀ noktasında holomorftur denilir. Açık olmayan bir A kümesinde f 'ye holomorf diyebilmek için ise f 'nin A kümesini de içeren bir açık küme üzerinde holomorf olması gerekmektedir.

Gerçel türevlilik ve karmaşık türevlilik arasındaki ilişki ise şudur: Eğer f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) karmaşık fonksiyonu holomorfsa, o zaman u ve v 'nin x ve y 'ye göre birinci kısmi türevleri vardır ve Cauchy-Riemann denklemleri olarak bilinen aşağıdaki ifadeyi sağlarlar:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{ve}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$.

Ancak bu ifadenin tersi her zaman doğru değildir. Doğru olan daha basit bir ters ifade ise şudur: u ve v 'nin sürekli birinci kısmi türevleri varsa ve u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f holomorftur.

"Holomorf" kelimesi ilk kez Cauchy'nin öğrencileri olan Briot (1817 - 1882) ve Bouquet (1819 - 1895) tarafından literatüre sokulmuştur ve Yunanca "tam" anlamına gelen őλoς (holos) ve "form","şekil" veya "görünüm" anlamlarına gelen μoρφń (morphe) kelimelerinden oluşur.^[2]

Günümüzde birçok matematikçi analitik fonksiyonun daha genel bir kavram olmasından dolayı holomorf fonksiyon kavramını kullanmayı tercih etmektedir. Bunun bir diğer nedeni ise karmaşık analizde her holomorf fonksiyonun karmaşık analitik olması gerektiğini ifade eden önemli bir sonuçtur. Ancak yine de, "analitik" terimi daha geniş anlamda kullanılmaktadır.

Karmaşık türevin doğrusal olması ve çarpma, bölme ve zincir kuralına uyması sebebiyle, holomorf fonksiyonların toplamları, çarpımları ve bileşkeleri yine holomorftur ve paydanın sıfır olmadığı yerlerde ise iki holomorf fonksiyonun bölümleri yine holomorftur.

Eğer C, R² olarak tanımlanırsa, o zaman holomorf fonksiyonlar, sürekli birinci türevi olan iki gerçel değişkenli ve iki denklemden oluşan kısmi türevsel denklemler kümesi olan Cauchy-Riemann denklemlerini çözen fonksiyonlara denk gelir.

Bütün holomorf fonksiyonlar gerçel ve sanal kısımlarına ayrılabilirler ve her bir kısım R² üzerinde Laplace denklemi'nin bir çözümüdür. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyon f(z) 'yi u(x, y) + i v(x, y) şeklinde ifade edersek, hem u hem de v harmonik fonksiyonlardır.

Birinci türevin sıfır olmadığı bölgelerde, holomorf fonksiyonlar açı ve şekil (büyüklük anlamında değil) bağlamında açıkorurdurlar.

Cauchy integral formülü ise bir disk içindeki her holomorf fonksiyonun, fonksiyonun diskin sınırları üzerindeki değerleriyle belirlendiğini ifade eder.

Her holomorf fonksiyon aynı zamanda analiktir. Yani, holomorf f 'nin tanım kümesindeki her a noktasında her mertebeden türevi vardır ve a etrafındaki bir komşulukta fonksiyonun a noktasındaki kendi Taylor serisi'ne denk gelir. Aslında, f fonksiyonu, a 'yı merkez alan ve f 'nin tanım kümesi içinde kalan her disk üzerinde kendi Taylor serisine denk gelir.

Cebirsel bakış açısıyla, açık bir küme üzerindeki holomorf fonksiyonlar kümesi değişmeli halkadır ve karmaşık vektör uzayıdır. Aslında, bu küme, yarı normun tıkız altkümeler üzerindeki supremumların olduğu bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayıdır.

Karmaşık değişkenli ve karmaşık katsayılı bütün polinomlar, sinüs, kosinüs ve üstel fonksiyonlar C üzerinde holomorftur. (Aslında trigonometrik fonksiyonlar üstel fonksiyonla ilişkilidir ve Euler formülü yardımıyla tanımlanabilirler).

Karmaşık logaritma'nın ana dallanması C \ {z ∈ R : z ≤ 0} kümesi üzerinde holomorftur. Karekök fonksiyonu

${\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\log z}}$

ifadesiyle tanımlanabilir ve bu yüzden log(z) 'nin holomorf olduğu her yerde holomorftur. 1/z fonksiyonu ise {z : z ≠ 0} üzerinde holomorftur.

Holomorf olmayan sürekli fonksiyonların tipik örnekleri ise karmaşık eşlenikler ve gerçel kısımlardır.

Birden fazla karmaşık değişkenli (çok karmaşık değişkenli) analitik bir fonksiyon, değişkenlerin yakınsak kuvvet serileri bağlamında yerel olarak genişletilebilirse (disklerin kartezyen çarpımı olan bir polidisk içinde) analitik veya holomorf olur. Bu koşul Cauchy-Riemann denklemlerinden daha güçlü bir koşuldur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Çok karmaşık değişkenli bir fonksiyonun holomorf olması ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamasıyla ve yerel olarak kare-integrallenebilmesiyle gerçekleşir.

Holomorf fonksiyon kavramı fonksiyonel analizdeki sonsuz boyutlu uzaylara genişletilebilir. Örneğin, karmaşık sayılar cismi üzerindeki bir Banach uzayı'nda holomorf fonksiyon fikri Fréchet ve Gâteaux türevi sayesinde gerçekleştirelebilir.

• Tersholomorf fonksiyon
• Meromorf fonksiyon