İçeriğe atla

Hjelmslev teoremi

İki siyah çizgi üzerindeki kırmızı noktaların üçlüleri, her üçlü içinde aynı mesafelere sahiptir, bu nedenle Hjelmslev teoremine göre, karşılık gelen nokta çiftlerinin üç orta noktası tek bir (yeşil) doğru üzerindedir.

Geometride, Danimarkalı matematikçi Johannes Hjelmslev'in adını taşıyan Hjelmslev teoremi, bir doğru üzerindeki , , noktaları, aynı çizgideki başka bir doğrunun , , noktalarına izometrik olarak (ölçüleri eşit bir şekilde) eşlenirse düzlem, daha sonra , , doğru parçalarının orta noktaları da bir doğru üzerindedir.

Düzlem izometrilerinin sınıflandırılması varsayılırsa kanıtı kolaydır. Verilen izometri tekilse, bu durumda zorunlu olarak ya bir doğrudaki bir yansıma ya da bir ötelemeli yansıma (bir doğrudaki üç yansımanın ve ona dik olan iki yansımanın çarpımı), her ne olursa olsun düzlem: 'nün orta noktası herhangi bir için (ötelemeli-) yansımanın ekseni üzerindeyse o zaman ifade tüm noktalar için doğrudur. İzometri çift ise, , , üzerinde aynı etkiye sahip tek bir izometri elde etmek için doğrusunda yansıma ile oluşturun ve önceki açıklamayı uygulayın.

Teoremin önemi, paralellik postülatını önceden varsaymayan ve bu nedenle Öklid dışı geometride de geçerli olan farklı bir kanıta sahip olması gerçeğinde yatmaktadır. Onun yardımıyla, düzlemin her noktasını doğru parçasının orta noktasına eşleyen haritalama, burada ve , 'nin verilen bir merkez çevresindeki verilen bir dar açıyla rotasyon (her iki anlamda) altındaki görüntüleridir, tüm hiperbolik düzlemi bir diskin içine 1-1 yollu bir şekilde haritalayan, böylece hiperbolik düzlemin doğrusal yapısının iyi bir sezgisel notasyonunu sağlayan bir doğrudaşlama olarak görülür. Aslında buna Hjelmslev dönüşümü denir.

Hjelmslev teoremi

Bir düzlemde sırasıyla ve doğruları üzerindeki ve noktalarını alalım, daha sonra olduğundan , , doğruların orta noktaları , , aynı doğru üzerinde sıralanacaktır.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Üçgen</span> üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

<span class="mw-page-title-main">Öklid geometrisi</span> Öklide atfedilen matematiksel-geometrik sistem

Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.

Alman matematikçi David Hilbert'in 1871'deki bir makalesinde incelemiş olduğu hiperbolik geometri'nin Poincaré modeli için verdiği cebirsel geometrik yapı. Doğruların uçlarının oluşturduğu bir cisim ve bu cisim üzerinde tanımlı bir çarpımsal uzaklık fonksiyonu içeriyor. Öklit geometrisine ters olarak, doğruların koordinatları ve noktaların denklemleri bulunuyor.

Geometride, izdüşüm modeli olarak da adlandırılan Klein Modeli, geometrisindeki noktalar n-boyutlu bir küreye -ya da daireye- hapsolmuş ve geometrisindeki doğrular bu kürenin -ya da dairenin - içinde doğru parçaları olan n-boyutlu hiperbolik geometrinin bir modelidir. Poincaré yarı-düzlem modeli ve Poincaré daire modeli'nde olduğu gibi, Klein-Beltrami modeli de ilk kez, bu modelleri hiperbolik geometrinin Öklid Geometrisi ile eşit derecede tutarlı olduğunu ispatlamak için kullanan Eugenio Beltrami tarafından ortaya atılmıştır. Uzaklık fonksiyonu ilk kez Arthur Cayley tarafından ortaya atılmış ve Felix Klein tarafından hiperbolik geometride geometrik açıdan kaleme alınmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Ceva teoremi</span> Öklid düzlem geometrisinde bir üçgenin kenar doğru parçası çiftlerinin çarpımlarının oranının bire eşit olduğunu belirten teorem

Ceva Teoremi, herhangi bir ABC üçgeni verildiğinde, A, B ve C'den üçgenin zıt kenarlarına doğru olan doğru parçalarının üçgenin her iki kenarında oluşan doğru parçası çiftlerinin oranlarının çarpımı 1'e eşit olduğunda tek noktada kesiştiğini belirtir. Teorem adını İtalyan matematikçi Giovanni Ceva'dan alır.

Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, genel Möbius grubunun alt grubu olup ile gösterilir. Üst yarı düzlemi koruyan bu grup Riemann küresi üzerinde tanımlıdır. nin etkisi altında hiperbolik doğrular yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, hiperbolik uzunluk ve uzaklığın korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır. Bu özelliklerden önemli bir sonuca, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğuna, varmak mümkündür.

<span class="mw-page-title-main">Dik</span>

Geometride, iki doğru veya iki düzlem kesiştiklerinde oluşturdukları komşu açılar birbirine eşitse dik olarak kabul edilir.

<span class="mw-page-title-main">Desargues teoremi</span>

Projektif geometride, Desargues teoremi, adını Girard Desargues'den alır, şunu belirtir:

İki üçgen, ancak ve ancak merkezi olarak perspektif içindeyse eksenel olarak perspektif içindedir.

Matematikte açık birim disk, P noktasına uzaklığı 1'den küçük noktalar kümesidir.

<span class="mw-page-title-main">Crossbar (Pasch) teoremi</span> Diğer iki ışın arasındaki bir ışın, ilk iki ışın arasındaki herhangi bir çizgi parçasını keser.

Geometride Crossbar (Pasch) teoremi, ışını ışını ile ışını arasındaysa, ışınının doğrusu parçasını keseceğini belirtir.

<span class="mw-page-title-main">Gnomon teoremi</span> Bir gnomonda meydana gelen belirli paralelkenarlar eşit büyüklükte alanlara sahiptir.

Gnomon teoremi, bir gnomon'da meydana gelen belirli paralelkenarların eşit büyüklükte alanlara sahip olduğunu belirtir. Gnomon, geometride benzer bir paralelkenarı daha büyük bir paralelkenarın bir köşesinden çıkararak oluşturulan bir düzlem şeklidir; veya daha genel olarak, belirli bir şekle eklendiğinde, aynı şekle sahip daha büyük bir şekil oluşturan bir şekildir.

<span class="mw-page-title-main">Brianchon teoremi</span>

Geometride Brianchon teoremi, bir konik kesit etrafındaki bir altıgen ile sınırlandırıldığında, ana köşegenlerinin tek bir noktada kesiştiğini belirten bir teoremdir. Adını Fransız matematikçi Charles Julien Brianchon'dan (1783–1864) almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Bézout teoremi</span> aciklama

Bézout teoremi, cebirsel geometride n değişkenli n polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Eş iç teğet çemberler teoremi</span>

Geometride, eş iç teğet çemberler teoremi bir Japon Sangaku'sundan türetilir ve aşağıdaki yapıya ilişkindir: belirli bir noktadan belirli bir çizgiye bir dizi ışın çizilir, öyle ki bitişik ışınlar ve taban çizgisi tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberleri eşittir. Çizimde eş mavi çemberler, açıklandığı gibi ışınlar arasındaki mesafeyi tanımlar.

Dış açı teoremi, bir üçgenin bir dış açısının ölçüsünün, uzak iç açılarının ölçülerinden daha büyük olduğunu belirten Ökllid'in Elemanlar'ı Önerme 1.16'dır. Bu, mutlak geometride temel bir sonuçtur çünkü ispatı paralellik postülatına bağlı değildir.

Geometride demet teoremi; en basit durumda, gerçek Öklid düzlemindeki altı çember ve sekiz nokta üzerine bir ifadedir. Genel olarak, sadece oval Möbius düzlemleri tarafından meydana getirilen bir Möbius düzleminin bir özelliğidir. Demet teoremi Miquel teoremi ile karıştırılmamalıdır.

<span class="mw-page-title-main">Geometrik ortalama teoremi</span> Dik üçgenler hakkında bir teorem

Dik üçgen yükseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi, bir dik üçgendeki hipotenüs üzerindeki yükseklik uzunluğu ile hipotenüs üzerinde oluşturduğu iki doğru parçası arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel geometrinin bir sonucudur. İki doğru parçasının geometrik ortalamasının yüksekliğe eşit olduğunu belirtir.

<span class="mw-page-title-main">Dönüşüm geometrisi</span>

Matematikte, dönüşüm geometrisi veya dönüşümsel geometri, geometrik dönüşüm gruplarına ve bunların içindeki değişmez özelliklere odaklanarak geometri çalışmalarına verilen matematiksel ve pedagojik yaklaşımın adıdır. Teoremleri ispatlamaya odaklanan Öklid geometrisinin klasik sentetik geometri yaklaşımına karşıdır.

Geometride, Jung teoremi, herhangi bir Öklid uzayındaki bir dizi noktanın çapı ile bu kümenin minimum çevreleyen topunun yarıçapı arasındaki bir eşitsizliktir. Bu eşitsizliği ilk kez 1901'de inceleyen Heinrich Jung'un adını almıştır. En küçük çember problemini açık bir biçimde çözmek için algoritmalar da mevcuttur.

<span class="mw-page-title-main">Reuschle teoremi</span> Ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar

Temel geometride, Reuschle teoremi, ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar ve adını Alman matematikçi Karl Gustav Reuschle (1812-1875)'den alır. Ayrıca Fransız matematikçi Olry Terquem (1782-1862)'in adıyla 1842'de yayınlayan Terquem teoremi olarak da bilinir. Teorem, Euler doğrusu ve Feuerbach'ın dokuz nokta çemberi ile bağlantılı olarak benzer biçimde bulunan belirli köşe çaprazlarının kesişim özellikleriyle ilgili bir problemi ele almaktadır. Reuschle teoreminin ispatı, sekant teoreminin yanı sıra Ceva teoremi ve onun karşıt teoremine dayanmaktadır.