Hipotez testi

Hipotez testi, bir hipotezin doğruluğunun istatistiksel bir güvenilirlik aralığında saptanması için kullanılan yöntem.

Hipotez testleri bir örneklem ortalaması ile bu örneklemin çekilmiş olduğu düşünülen ortalama değer etrafındaki farkın anlamlı olup olmadığını (yani önemli bir fark olup olmadığını) saptayan testlerdir.

Eğer iki ana kütlenin ortalamaları arasındaki fark sınanıyorsa bunlardan çekilen örneklemlerin ortalamaları üzerinde hipotez testleri yapılarak farkın doğru olup olmadığı anlaşılabilir.

• Örneğe alınan birimler birbirlerinden bağımsız olarak seçilmiş olmalıdırlar.
• Ana kütle normal dağılıma sahip olmalıdır.
• İki ana kütle söz konusu ise bunların varyansları eşit olmalıdır.

1. Hipotezlerin oluşturulması nasıl yapacağım?
2. Anlam düzeyinin (α- alfa) belirlenmesi.
3. Örnekleme dağılımının belirlenmesi.
4. Ret alanının ve kritik değerin belirlenmesi.
5. Karşılaştırmalar, sonuç ve yorum.

Null, Yokluk Hipotezi, İstatistiksel Hipotez => :Örneklemden elde edilen ortalama ile anakütleye ait ortalamanın farkı "sıfır","0" sayılabilir. Yani anakütle üzerinde yapılan deformasyonların anakütle aritmetik ortalamasını değiştirmeyeceği görüşünü savunur. Bu görüş savunulurken istatistiksel anlamlılık denilen (%99 %97 veya %95) yanılgı payı göz önüne alınır. Zaten yapılan işlemlerden sonra farkın çok küçük de olsa sıfırdan farklı olduğu görülür

Alternatif, Araştırma Hipotezi.:Yani yapılan deformasyonun anakütle aritmetik ortalamasını değiştireceği öngürüsüdür.

1. "H_o doğrudur": Hipotez testi sonunda biz doğru olduğunu buluyoruz. Yani "reddedemiyoruz" diyoruz. Reddettiğimizde yapacağımız hatayı biliriz ama kabul ettiğimizde yapacağımız hatayı bilemeyeceğimiz için yorumlarken "reddedemiyoruz" diyoruz. ((1-α) güven katsayısı ile bu çıkardığımız sonuç doğrudur.)
2. "H_o doğru" olmasına karşın hipotez testi sonunda biz onun yanlış olduğunu zannedip H_o'ı reddediyoruz. (I. tür hata veya α hata)
3. "H₀ hatalı veya yanlıştır": Biz onu doğru reddedemedik. Hata! (II. tür hata veya β hata)
4. "H₀ hatalı veya yanlıştır": Biz onun yanlış olduğunu bulduk; H₀'ı reddettik. ((1-β) veya testin gücü ile bu çıkardığımız sonuç doğrudur.

"Güç", bir hipotez testinin isabetliliği için önemli bir kriterdir ve her zaman maksimize edilmek istenir. Güç'ün 1 çıkması o testin ideal olduğunu gösterir ama pratikte "Güç = 1" olan testlere çok nadir rastlanır.

I. Tür - α ve II. Tür - β tipi hatalar bilinçli olarak yapılan hatalardır. Burada bu hataların bilinçli yapılmasının sebebi olaylara bir de tersinden bakma gereksiniminden dolayıdır.

Özetle:

	${\displaystyle H_{0}}$ gerçek	${\displaystyle H_{0}}$ hatalı
${\displaystyle H_{0}}$ kabulu	Doğru karar çıkarım	II.Tür hata (β)
${\displaystyle H_{0}}$ reddi	I.Tür hata (α)	Doğru karar çıkarım

α: Hatalı karar, H_o doğru, biz onu yanlış diye reddediyoruz. (I. Tip Hata)

β: Hatalı karar, H_o yanlış, biz onu doğru diye kabul ediyoruz.

(1-α) : Doğru bir H_o hipotezini kabul etmemiz olasılığı olup buna testin güvenilirlik düzeyi denir.

(1-β) : Yanlış bir H₀ hipotezini reddetmemiz olasılığı olup buna testin gücü denir.

Hipotez testi yaparken, α ve β hatalarını en aza indirmek için örneklemdeki birim sayısını olabildiğince fazlalaştırmak gerekir. α hatası yapma olasılığı azalırsa β hatası yapma olasılığı artar. İki hatanın olasılığından biri azalırken diğeri artar. Aynı testte hem α hem de β hatası beraber yapılamaz. Hatasız bir test yapmak mümkün değildir. %1,0 doğru karar verilemez. Normal dağılım asimtotik olup x-ekseni ile kesişmediği için çok küçük de olsa bir risk söz konusudur.

Burada araştırma sorunu tek bir anakütle parametresi (anakütle ortalaması) hakkındadır. Bu anakütle ortalama değeri tam olarak bilinmemekte ve belirlenen bir hipotez değerde ${\displaystyle \mu _{0}}$ (Mü sıfır diye okunur) olduğu varsayılmaktadır. Hipotez testi anakütle ortalamasına verilen değer hakkındadır. "Sıfır hipotez" değeri bu parametre için belirtilen değerde olduğudur ve yani

H_o : μ = μ_o

alternatif hipotez ise

H_o : μ <> μ_o

Bir anakütleden "basit olasılık örnekleme yöntemi" kullanarak "n" örneklem büyüklüğü olan bir örneklem ele geçirilir; istenilen değerler ölçülür ve ${\displaystyle {\bar {x}}}$ (x bar diye okunur) değerindeki örneklem ortalaması bulunur. Hipotez testi yönteminde araştırma hedefi bu örneklemin söz konusu anakütleden çekilmiş olup olamayacağını ya da kaynağı olan anakütleden çekilmiş olabilmesinin olasılığının ne olabileceğini ortaya koymaktır.

Bir alçı dolum makinesi μ_o=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettirilir. Acaba yine μ_o=20kglık dolum yapabilecek midir?

Deneme yapıp görmek gerekir.

40 torba basit örneklem yöntemine göre seçilip bu 40 alçı torbası ağırlıkları şöyle ölçülmüştür:

${\displaystyle X_{1}}$ = 19,8 kg, ${\displaystyle X_{2}}$ = 20,5 kg, ${\displaystyle X_{3}}$ = 21,2 kg, ${\displaystyle X_{4}}$ = 18,9 kg, ..., ${\displaystyle X_{40}}$ = 20,8 kg

Örneklem istatistikleri şöyle hesaplanmıştır:

n = 40 torba

Örneklem ortalaması: ${\displaystyle {\bar {x}}}$ = 21,4 kg

Örneklem standart sapması: σ = 3,2 kg

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$ = ${\displaystyle 3,2/{\sqrt {4}}0=0,506}$

${\displaystyle {\bar {x}}\mp \sigma _{\bar {x}}}$ -> 21,4±0,506 kg

Buradan sonra hipotez testleri sürecine geçilir.

H_o: Elimizdeki örneklem anakütle ortalaması "M_o = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olup, örneklem ortalaması X- değeri anakütle ortalamasına eşit olarak kabul edilebilir. Aradaki 1,4 kg lık fark ise tesadüfe bağlanabilecek, önemli olmayan, anlam taşımayan çok küçük bir farktır. Dolayısıyla X- = Mo yazabiliriz. Yani elimizdeki örneklemin ait olduğu anakütle ortalamasını M ile gösteririz.

H₁: Bu örneklem "M_o = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olamaz. Aradaki 1,4 kg lık fark tesadüfe bağlı değil, ayarlamanın yapılmamış olması nedeni ile gerçekleşmiştir. Bu kadarlık farkın tesadüfen ortaya çıkmış olması olasılığı çok küçüktür. Dolayısıyla dolum ayarı iyi olmadığı için istenenden daha hafif ya da daha ağır dolumlarla karşılaşmamız olasıdır. Bu örneklemin çekilmiş olduğu anakütle 20 kg olamaz. Örneklemimiz kendine ait başka bir anakütleden çekilmiş olmalıdır.

Hatasız bir test yapamayacağımız için her testte bir miktar yanılma riskimiz vardır. Bunu 0,05; 0,01; 0,005; 0,0001;... gibi bir düzey olarak benimseyebiliriz. Yanılma payımız küçüldükçe, teste olan güven düzeyimiz yükselir. O nedenle istatistikçiler olabildiğince az yanılma ile test yapmak isterler. Yine de α =0,05 ve α=0,01 düzeyleri en çok kullanılanlardır.

α=0,05 olsun. Testin güven düzeyi = 1 - α = 0,95 olur.

Elimizdeki veriler tartma yoluyla elde edilmiş sürekli, nitelik, nicel bir değişkene aittir. Bu tip veriler genelde normal dağılım gösterirler. Yani örneklemimiz "normal dağılım" lı bir anakütleden çekilmiştir. Anakütle sonsuz büyüklüktedir. Seçim iadesiz seçimdir ve tamamen rassal bir süreçle yapılmıştır. Yani torbaların ağırlıkları birbirini etkilememiştir. n>30 olduğu için büyük bir örneklem ile çalışıyoruz. Aynı anakütleden n=40 birimli pek çok sayıda örneklem çekmiş olsak, bunların X- ortalama dağılımı bir normal dağılım olur. Bu ortalamaların ortalaması anakütle ortalamasını verir. "kg" biriminden kurtulmak için X- ortalama değerlerini standardize edersek, verilerimiz z değerlerine dönüşür ve dağılımımız bir standart normal dağılım olan z dağılımı na dönüşür.

Kritik değerin saptanması

Ret alanı demek; normal dağılım eğrisi altında seçtiğimiz güven alanı (H_o'ın kabul alanı) dışında kalan H_o'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı çift yönlü olabilir. (eksi taraf, artı taraf) veya tek taraflı olabilir. (Yani ya sol tarafta ya da sağ tarafta) Bunun anlaşılması için H₁ hipotezine bakarız.

Elimizdeki örnekleme ait zh değeri örneklemin bir istatistiğidir. Bu istatistik yardımıyla hipotez testini sonuçlandıracağız. O nedenle, z_h değerine Test İstatistiği adını veriyoruz.

${\displaystyle z_{h}={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}$

= (21,4-20)/0,51 = 2,74

Bir hipotez testinde; z_h < z_α ise; H_o kabul edilir. Bu elimizdeki X-in, M ye yakın kabul edilebilecek bir konumda (H_o'ın kabul alanında) bulunduğunu gösterir.

Eğer z_h > z_α ise; H_o reddedilir. Elimizdeki örneklemin, M_o ortalamalı bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem olmayacağı çünkü böyle bir şeyin gerçekleşmesi olasılığının çok küçük (p<0,05 veya p<0,01) olduğu sonucuna ulaşılır.

zh = 2,74 > z0,05 = 1,96 --> Ho RET

Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, ilgilendiğim anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir. O nedenle iki ortalama arasındaki farkı z değerine dönüştürdüğümde, bulduğum z_h = 2,74 değeri de z_0,05 = 1,96 nın ötesine düşmüştür. Yani %5'lik ret alanına düşmüştür. Bu durumda X- = M_o biçiminde ifade ettiğim ve oradan M=M_o düzeyine yükselttiğim H_o hipotezini kabul edemem. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir. Aynı deneyi n=40 olan 100 örneklem ile tekrarlarsam, bunun 95inde gene aynı sonuçla karşılaşmayı beklerim. Belki yalnızca 5inde makinenin ayarı iyiymiş gibi hatalı bir sonuca ulaşabilirim.

Dolayısıyla; verdiğim kararın doğru olması olasılığı %95 iken hatalı olması olasılığı en fazla %5 tir.

1) z_h<z_α olduğunda, H_o hipotezini kabul ediyoruz ve;

• Bu iki örneklemin çekilmiş olduğu anakütle ortalamalarının birbirlerine eşit olduklarını,
• Bu iki anakütlenin aynı anakütleden çekilmiş birer rassal örneklem olduğunu,
• İki örneklem ortalaması arasında gözlediğimiz farkın bir olasılık eseri olarak ortaya çıkmış, istatistik bakımından anlamlı olmayan, önemli olmayan küçük bir fark olduğunu düşünürüz.

2) z_h>z_α olduğunda, H_o hipotezini reddediyoruz ve;

• Ho hipotezine ait olan düşüncemizin tersini kabul ediyoruz, yani H₁'i kabul ediyoruz.
• Bu büyüklükteki z_h değerinin olasılığa bağlı olarak ortaya çıkmış olması olasılığı (ihtimali) çok düşüktür. Bu olasılık (p değeri) seçtiğimiz α değerinden de küçüktür. Bu kadar küçük bir olasılıkla ortaya çıkan bu z değerini artık rastgeleliğe değil anakütlenin gerçekten farklı olmasına bağlarız.

İsim	Formül	Varsayımlar
Tek-örneklem z-testi	${\displaystyle z={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}$	(Normal dağılım veya n > 30) ve bilinen σ değeri. (z standard sapmalar sayı birimleri ile ölçülen ortalamaya uzaklıktır. n standard sapma aralığına düşen bir anakütlenin oranin en küçük değerini hesaplamak mümkündür; (bakin: Chebyshev'in eşitsizliği).
Tek-örneklem t-testi	${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{\frac {s}{\sqrt {n}}}},}$ ${\displaystyle df=n-1\ }$	(Normal anakütle veya n < 30) ve bilinmeyen σ değeri
Tek-oran için z-testi	${\displaystyle z={\frac {{\hat {p}}-p}{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}}$	n .p > 10 ve n (1 − p) > 10

İsim	Formül	Varsayımlar
İki-örneklem z-testi	${\displaystyle z={\frac {({\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}$	Normal dağılım ve bağımsız gözlemler ve (bilinen σ1 ve σ1 değerleri)
İki-örneklem pool edilmiş t-testi	${\displaystyle t={\frac {({\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{s_{p}{\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}}}},}$ ${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}},}$ ${\displaystyle df=n_{1}+n_{2}-2\ }$	(Normal anakütle veya n1+n2 > 40) ve bağımsız gözlemler ve σ1 = σ2 ve (bilinmeyen σ1 ve σ2 değerleri)
İki-örneklem pool edilmemiş t-testi	${\displaystyle t={\frac {({\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}},}$ ${\displaystyle df={\frac {(n_{1}-1)(n_{2}-1)}{(n_{2}-1)c^{2}+(n_{1}-1)(1-c)^{2}}},}$ ${\displaystyle c={\frac {\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}{{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$ veya ${\displaystyle sd=\min\{n_{1},n_{2}\}-1\ }$	(Normal anakütleler veya n1+n2 > 40) ve bağımsız gözlemler ve σ1 ≠ σ2 ve (bilinmeyen σ1 ve σ2 değerleri)
Çiftleştirilmiş t-testi	${\displaystyle t={\frac {{\overline {d}}-d_{0}}{s_{d}}},}$ ${\displaystyle sd=n-1\ }$	(Normal farklar anakütlesi veya n < 30) ve bilinmeyen σ değeri
İki-oran için z-testi, eşit varyanslar	${\displaystyle z={\frac {{p}_{1}-{p}_{2}}{\sqrt {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}})}}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$	n1.p1 >  5  ve n1(1 − p1) >  5  ve n2.p2 > 5  ve n2(1 − p2) >  5  ve bağımsız gözlemler
İki-oran için z-testi, eşit olmayan varyanslar	${\displaystyle z={\frac {({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})-(p_{1}-p_{2})}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{2}(1-{\hat {p}}_{2})}{n_{2}}}}}}}$	n1.p1 >  5  ve n1(1 − p1) >  5  ve n2.p2 > 5  ve n2(1 − p2) >  5  ve bağımsız gözlemler

• ${\displaystyle n}$ = örneklem büyüklüğü
• ${\displaystyle {\overline {x}}}$ = örneklem ortalaması
• ${\displaystyle \mu _{0}}$ = anakütle ortalaması
• ${\displaystyle \sigma }$ = anakütle standart sapması
• ${\displaystyle t}$ = t istatistiği
• ${\displaystyle sd}$ = serbestlik derecesi
• ${\displaystyle n_{1}}$ = örneklem 1 büyüklüğü
• ${\displaystyle n_{2}}$ = örneklem 2 büyüklüğü
• ${\displaystyle s_{1}}$ = örneklem 1 std. sapması
• ${\displaystyle s_{2}}$ = örneklem 2 std. sapması
• ${\displaystyle p_{1}}$ = oran 1
• ${\displaystyle p_{2}}$ = oran 2
• ${\displaystyle \mu _{1}}$ = anakütle 1 ortalaması
• ${\displaystyle \mu _{2}}$ = anakütle 2 ortalaması
• ${\displaystyle \min\{n_{1},n_{2}\}}$ = n1 veya n2 için en küçük değer

• Klasik hipotez test etmenin Bayes tipi görüşle tenkiti18 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Uzun zamandan beri istatistikçileri düşündüren klasik hipotez test etmenin tenkitlerinin açığa konulması24 Kasım 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.